2022年高中数学-柱锥台和球的体积教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 柱、锥、台和球的体积示范教案整体设计 教学分析本节教材介绍了祖暅原理,并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积直接给出了球的体积公式值得留意的是教学重点放在体积的运算和应用,尽量在体积公式的推导上少“ 蛮缠” 三维目标 1把握柱、锥、台和球的体积公式,培育同学的探究才能2能够利用体积公式解决有关应用问题,提高同学解决实际问题的才能重点难点 教学重点：体积的运算和应用教学难点：体积公式的推导课时支配 1 课时教学过程 导入新课 设计 1. 我们在中学的学习中已经会依据长方体的长、宽、高来运算长方体的体积了,那么,

2、棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何运算呢？设计 2. 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔,在 1889 年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中,胡夫大金字塔始终是世界上最高的建筑物在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此雄伟的大金字塔的,真是一个非常难解的谜胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑,塔底边长,塔高,假设知道每块石块的体积,你能运算出建此金字塔用了多少石块吗？推动新课新知探究提出问题1 回忆长方体、正方体和圆柱的体积公式,你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？, 2 比较柱体、 锥体、

3、台体的体积公式： ,V 柱体Sh S 为底面积,h 为柱体的高；,V 锥体1 3Sh S 为底面积, h 为锥体的高； ,V 台体13 S rSS Sh S 、S 分别为上、 下底面积, h 为台体的高 ., 你能发觉三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“ 特别” 的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“ 特别”形式？争论结果：1 棱长为 a 的正方体的体积 Va 3a 2a Sh；长方体的长、宽和高分别为 a、b、c,其体积为 Vabcabc Sh；底面半径为 r 高为 h 的圆柱的体积是 V r 2hSh,可以类比,一般的柱体的体积也是VSh,其中 S 是底面面积, h 为柱体的

4、高名师归纳总结 圆锥的体积公式是V1 3ShS 为底面面积, h 为高 ,它是同底等高的圆柱的体积的1 3. 第 1 页,共 8 页棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的1 3,即棱锥的体积V1 3ShS 为底面面积, h 为高 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由此可见, 棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似,都是底面面积乘高的1 3. 得到圆台 棱 h 为圆台 棱由于圆台 棱台 是由圆锥 棱锥 截成的,因此可以利用两个锥体的体积差,台 的体积公式V1 3S SS Sh,其中 S 、 S 分别为上、下底面面积,台 高留意：

5、不要求推导公式,也不要求记忆2 柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体因此柱体、锥体可以看作“ 特别” 的台体当S 0 时,台体的体积公式变为锥体的体积公式；当 S S 时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此,柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“ 特别” 形式柱体和锥体可以看作由台体变化得到,柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此很简洁得出它们之间的体积关系,如以下图：应用例如思路 1例 1 如以下图所示, 在长方体 ABCDABCD 中, 用截面截下一个棱锥 CADD ,求棱锥 CADD 的体积与剩余部

6、分的体积之比解： 已知长方体可以看成直四棱柱 ADDA BCCB ,设它的底面 ADDA 面积为S,高为 h,就它的体积为VSh. DD 的体积VCA DD 由于棱锥 CADD 的底面面积为1 2S,高是 h,所以棱锥 CA1 31 2Sh1 6Sh. 余下的体积是Sh1 6Sh5 6Sh. 所以棱锥 CADD 的体积与剩余部分的体积之比为15.变式训练已知一正四棱台的上底边长为4 cm,下底边长为8 cm,高为 3 cm. 求其体积解： V1 3S上S 下S上 S下h 1 3428 24 2 82 3 112cm3 即正四棱台的体积为112 cm3. 例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯 以

7、下图 ,共重 5.8 kg. 已知螺帽的底面六边形边名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 长是 12 mm,高是 10 mm,内孔直径是10 mm,这一堆螺帽约有多少个 铁的密度是7.8 g/cm3, 3.14.解： 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差由于 V正六棱柱 61 2 12 12 sin60 103 1223 2 103.74 103mm 3 ,3 V圆柱3.14 10 22 100.785 103mm 3 ,所以一个螺帽的体积V3.74 1030.785 1032.96 103mm 3

8、 2.96cm因此约有 5.8 103 7.8 2.96 2.5 102 个 答：这堆螺帽约有250 个变式训练埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年,其外形为正四棱锥金字塔高146.6 m ,底面边长 230.4 m 问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？解： 如以下图, AC为高, BC为底面的边心距,就AC146.6 ,BC115.2 ,底面周长c4 230.4.S侧面积 1 2c AB1 2 4 230.4 错误 . 85 91 6.2m2 ,V1 3S AC12 146.6 2 594 046.0m3 2 594 046.0 m3. 3答：金字塔的侧面积约是85 916.2 m2,体

9、积约是思路 2例 3 如以下图所示, 一个空间几何体的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形,假如直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为1 A1 B.1 2 C.1 3 D.6活动：让同学将三视图复原为实物图,争论和沟通该几何体的结构特点名师归纳总结 解析： 依据三视图, 可知该几何体是三棱锥,以下图所示为该三棱锥的直观图,并且侧第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 棱 PAAB, PAAC,ABAC.就该三棱锥的高是何体的体积为V1 3S ABCPA1 31 2 11 6. 答案： D PA,底面三角形是直角三角形

10、,所以这个几点评： 此题主要考查几何体的三视图和体积给出几何体的三视图,求该几何体的体积或面积时, 第一依据三视图确定该几何体的结构特点,再利用公式求得此类题目成为新课标高考的热点,应引起重视变式训练1假如一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为 22,A.3 B.23 C.3 D.333解析： 由三视图知该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径就圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3,所以这个几何体的体积为V1 3 133 3. 答案： A 以下图所示的矩形,正视图 或称主视图 是一个底边长为8、高为 4 的

11、等腰三角形,侧视图 或称左视图 是一个底边长为1 求该几何体的体积 V；2 求该几何体的侧面积 S. 6、高为 4 的等腰三角形解： 以下图所示, AB8,BC6,高 VO 4. 1V 1 3 8 6 4 64. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形,侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形,AB 8在 VBC中, BC边上的高为 h1VO 22 24 22 24 2,在 VAB中, AB边上的高为 h2VO 2BC 24 26 25. 2 21 1所以此几何体的侧面积 S

12、2 2 6 4 22 8 5 4024 2. 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式：一是给出三视图, 求其面积或体积；二是与组合体有关的面积和体积的运算；三是在解答题中,作为最终一问, 求出几何体的面积或体积32022 山东省烟台市高三期末统考,文6已知一个全面积为24 的正方体,内有一3个与每条棱都相切的球,就此球的体积为 A.4 3 B43C.246 D.8233解析： 设正方体的棱长为a,就 6a224,解得 a2,又球与正方体的每条棱都相切,就正方体的截面对角线长22等于球的直径,就球的半径是2,就此球的体积为4 3 282 3 .答案： D 点评：球与其他几何体的简洁组合体问

13、题,通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特点及其联系,此题利用正方体的面的对角线长等于球的直径这一隐含条件使得问题顺当获解知能训练 1三个球的半径之比为 123,那么最大球的外表积是其余两个球的外表积之和的 A1 倍 B 2 倍4 倍,可设最小的一个半径为r ,就另两个为C.9 5倍 D.7 4倍解析： 依据球的外表积等于其大圆面积的2r 、 3r ,所以各球的外表积分别为4 r2、16 r2、36 r2,36 r229 5 倍 4 r216 r答案： C 22022 天津高考,理12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3 ,就此球的外表积为

14、_14,就球的外表积为解析： 长方体的对角线为12223214,就球的半径为24 14 2 214 .答案： 14名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,假设该球的体积为43 ,就该正方体的外表积为 _解析： 43 4 3 R 3,R3R 为球的半径 3a2R23. a 2a 为正方体棱长 S表6a224. 答案： 24 以下图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证：1 球的体积等于圆柱体积的2 3；2 球的外表积等于圆柱的侧面积活动： 同学摸索圆柱和球的结构特点,并绽开空间想

15、象老师可以使用信息技术帮忙学生读懂图形证明： 1 设球的半径为 R,就圆柱的底面半径为 R,高为 2R. 就有 V 球4 3 R 3, V 圆柱 R 2 2R2 R 3,2所以 V球3V 圆柱2 由于 S 球4 R 2,S 圆柱侧 2 R 2R4 R 2,所以 S 球S 圆柱侧5养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐 供融解高速大路上的积雪之用 ,已建的仓库的底面直径为 12 m,高 4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原先大 4 m高不变 ；二是高度增加 4 m底面直径不变 1 分别运算按这两种方案所建的仓库的体积；2 分别运算按这两种方案所

16、建的仓库的侧面积；3 哪个方案更经济些？名师归纳总结 m解： 1 假如按方案一,仓库的底面直径变成16 m,就仓库的体积第 6 页,共 8 页V11 3Sh1 3 16 2 2 4256 3 m3 假如按方案二,仓库的高变成8 m,就仓库的体积V21 3Sh1 3 12 2 2 828833 42 假如按方案一, 仓库的底面直径变成16 m,半径为 8 m棱锥的母线长为l 8 24 25. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就仓库的外表积S1 8 45325 m2 假如按方案二,仓库的高变成8 m,棱锥的母线长为l 8 26 210,就仓库的侧面积S2

17、 6 1060 m2 3 V2V1,S2S1,方案二比方案一更加经济拓展提升1如左以下图,一个正三棱柱形容器,底面边长为a,高为 2a,内装水假设干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如右以下图, 这时水面恰好为中截面,就左以下图中容器内水面的高度是 _分析： 右上图中容器内水面的高度为h,水的体积为V,就 VS ABCh. 又右上图中水组成了一个直四棱柱,其底面积为3 就 V4S ABC 2a,3 4S ABC 2a 3hS ABC2a. 答案：3 2a 3 4S ABC,高度为 2a,2圆台的两个底面半径分别为2、4,截得这个圆台的圆锥的高为6,就这个圆台的体积是 _解析： 设这个圆台的高为

18、h,画出圆台的轴截面,可得46h,解得 h3,所以这个圆台的体积是 3 222 4 42 328 .答案： 28 课堂小结 本节学习了：1简洁几何体的体积公式2解决有关运算问题设计感想 新课标对本节内容的要求是明白柱体、锥体、台体的外表积和体积的运算公式 不要求 记忆公式 ,也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求,按通常的懂得是会名师归纳总结 求体积和面积, 以及很简洁的应用即可因此本节教学设计中就表达了这一点,把重点放在第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 了对公式的简洁应用上由于本节图形较多,建议在使用时,尽量结合信息

19、技术备课资料从洗澡的故事说起关于阿基米德, 流传着这样一段好玩的故事金的王冠, 做好后, 国王疑心工匠在金冠中掺了假,一样重, 究竟工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假,王,也使诸大臣们面面相觑相传叙拉古赫国王让工匠替他做了一顶纯 但这顶金冠的确与起初交给金匠的纯金 又不能破坏王冠, 这个问题不仅难倒了国后来,国王请阿基米德来检验最初,阿基米德也是冥思苦想而不得要领一天,他去澡堂洗澡, 当他坐进澡盆里时,看到水往外溢,同时感到身体被轻轻托起他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的方法,来确定金冠的比重他兴奋地跳出澡盆,连衣服都顾不得穿就跑了出去,大声喊着：“ 尤里卡！尤里卡！”Fureka ,意思是“ 我知道了” 他经过了进一步的试验以后来到王宫,他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里,比较两盆溢出来的水,发觉放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大,所以证明白王冠里掺进了其他金属他的这一发觉在物理学课本上被称作“ 阿基米德原理” ,是流体静力学中的第一个基本原理名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页