2022年高数部分知识点总结2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 高数部分1.1 高数第一章函数、极限、连续求极限题最常用的解题方向： 1. 利用等价无穷小； 2. 利用洛必达法就,对于 0 型和 型的题目直接用洛必达法就,对于 0 、0 、1 型 0的题目就是先转化为 0 型或 型,再使用洛比达法就； 3. 利用重要极 01限,包括 lim x 0 sin xx 1、lim x 0 1 x x e、lim x 1 1x x e；4. 夹逼定理；1.2 高数其次章导数与微分章定积分、第三章不定积分 、第四其次章导数与微分与前面的第一章函数、极限、连续、后面的第三章不定

2、积分 、第四章定积分都是基础性学问,一方面有单独出题的情形,如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的敏捷运用,基础；故特别有必要打牢对于第三章 不定积分,陈文灯复习指南分类争论的特别全面,范畴远大于考试可能涉及的范畴；在此只提示一点：不定积分fxdxFxC中的积分常数 C简洁被忽视,而考试时假如在答案中少写这个 C会失一分；所以可以这样建立起二者之间的联系以加名师归纳总结 深印象：定积分fxdx的结果可以写为 Fx+1 ,1 指的就是那一分,第 1 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐

3、进 ,熟读而精思把它折弯后就是fxdxFxC中的那个 C,漏掉了 C也就漏掉了这 1 分；第四章定积分及广义积分 可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用,解题的关键除了运用各种积分方法以外仍要留意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中第一可能在积分上下a限 上做 文章 ：对于 a f x dx 型 定 积分 , 如 fx 是奇 函数 就有a a aa f x dx =0；如 fx 为偶函数就有 a f x dx =2 0 f x dx；对于20 f x dx 型积分,fx 一般含三角函数, 此时用 t2 x 的代换是常用方法；所以解这一部分题的思路应当是先看是否能从积分上下限中入手,对于

4、对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换 x=-u 和利a a a用性质 a奇函数 0、a 偶函数 2 0 偶函数；在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解；这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.3 高数第五章中值定理的证明技巧由本章中值定理的证明技巧 争论一下证明题的应对方法；用以下这组规律公式来作模型： 假如有规律推导公式 A E、A B C、C D E F, 由这样一组规律关系可以构造出如干难易程度不等的证

5、明题,其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D,求证 F 成立；为了证明 F 成立可以从条件、 结论两个方向入手, 我们把从条件 入手证明称之为正方向, 把从结论入手证明称之为反方向；正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1. 已知的规律推导公式太多, 难以从中找出有用的一个；如对于证明 F 成立必备规律公式中的 A E 就可能有 A H、A I K、A B M等等公式同时存在,有的规律公式看起来最有可能用到, 如A B M,由于其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个,但这恰恰走不通； 2. 对于解题必需的关键逻辑推导关系不清晰, 在该用到的时候想不起来或者弄错；如对于模型中的A B C

6、,假如不知道或弄错就肯定无法得出结论；从反方向入手证明时也会遇到同样的问题；通过对这个模型的分析可以看出,对可用学问点把握的不坚固、不娴熟和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大缘由；针对以上分析, 解证明题时其一要敏捷, 在一条思路走不通时必须快速转换思路, 而不应当再从头开头反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题； 另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地猎取信息；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当我们解证明题遇到困难时,最常见的情形是拿到题莫名其

7、妙,感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西,长时间无法入手；好不简洁找到一个大致方向, 在做如干步以后却再也无法与结论拉近 距离了；从出题人的角度来看, 这是由于没能够有效地从条件中猎取 信息；“ 尽可能多地从条件中猎取信息” 是最明显的一条解题思路,同时出题老师也正是这样支配的,但从题目的“ 欲证结论” 中猎取信 息有时也特别有效； 如在上面提到的模型中, 假如做题时一开头就想到了公式 CD E F 再倒推测到 AB C、 AE就可以证明了；假如把主要靠分析条件入手的证明题叫做“ 条件启示型”的证明题,那么主要靠“ 倒推结论” 入手的“ 结论启示型” 证明题在中值定理证明问题中有很典型的

8、表现；其中的规律性很明显, 甚至可以以表格的形式表示出来；下表列出了中值定理证明问题的几种类型：条件欲证结论可用定理使A 关于闭区间存在一个介值定理（结论部分为：存在一个满 足 某得fk）使上的连续函数,常常是个式子零值定理（结论部分为：存在一个只有连续性得f0）已知名师归纳总结 B 条件包括函存在一个费尔马定理（结论部分为：fx 00）第 4 页,共 26 页数在闭区间满足洛尔定理（结论部分为：存在一个使上连续、在fn0得f0）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思开区间上可 导C 条件包括函存在一个拉格朗日中值定理

9、（结论部分为：存在满足一个使得ffbfa）数在闭区间ba上连续、在fnk柯西中值定理（结论部分为：存在一个开区间上可使得ffbfa）导ggbga另外仍常利用构造帮助函数法,转化为 可用费尔马或洛尔定理的形式来证明 从上表中可以发觉, 有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱,如表格中 B、C的条件是一样的,同时A也只多了一条“ 可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时,假如把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较, 会比从题目条件上挖掘信息更简洁找到入手处；故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的把握重点应当放在熟记定理的结论部分上；假如能够做到想到介值定理时就能同

10、时想起结论“ 存在一个 使得 f k” 、看到题目欲证结论中显现类似 “ 存在一个 使得 f k” 的形式时也能马上想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子 f 0；而见f f b f a 到式子 g g b g a 也犹如见到拉格朗日中值定理一样,那么在处理本部分的题目时就会轻松的多,常常仍会收到“ 豁然开朗” 的成效；所以说,“ 牢记定理的结论部分” 对作证明题的好处在中值定理的证名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思明问题上表达的最为明显；综上所述,针对包括中值定理证明在内的

11、证明题的大策略应当是“ 尽一切可能挖掘题目的信息,不仅仅要从条件上充分考虑, 也要重视题目欲证结论的提示作用, 正推和倒推相结合； 同时保持清醒理智,降低出错的可能” ；期望这些想法对你能有一点启示；不过仅仅弄明 白这些离实战要求仍差得很远, 由于在实战中证明题难就难在答案中 用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；许多结论、性质和定理自己感觉的确是弄懂了、也差不多记住了, 但是在做题时那种没有提示、 或者提示很少的条件下仍是无法做到敏捷运用；这也就 是自身感觉与实战要求之间的差别；这就像在记英语单词时, 看到英语能想到汉语与看到汉语能想到 英语的把握程度是不同的一样,对于考研数学大纲

12、中“ 懂得” 和“ 掌 握” 这两个词的熟悉其实是在做题的过程中才渐渐清晰的；我们需要 做的就是靠足量、 高效的练习来透彻把握定理性质及娴熟运用各种变 形转换技巧,从而达到大纲的相应要求, 提高实战条件下解题的胜算；依我看,最大的技巧就是不依靠技巧, 做题的问题必需要靠做题来解 决；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.4 高数第六章常微分方程本章常微分方程部分的结构简洁, 陈文灯复习指南对一阶微分方 程、可降阶的高阶方程、 高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表 格；历年真题

13、中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题显现 的,也常常以大题的形式显现,一般是通过函数在某点处的切线、法 线、积分方程等问题来引出；从历年考察情形和大纲要求来看,高阶 部分不太可能考大题,而且考察到的类型一般都不是很复杂；对于本章的题目, 第一步应当是辨明类型, 实践证明这是必需放 在第一位的；分清类型以后依据对应的求解方法按部就班求解即可；这是由于其实并非全部的微分方程都是可解的,在高校高等数学中只争论了有限的可解类型, 所以出题的敏捷度有限, 很难将不同的学问 点紧密结合或是敏捷转换； 这样的学问点特点就打算了我们可以实行 相对机械的“ 辨明类型套用对应方法求解” 的套路,而且各 种类

14、型的求解方法正好也都是格式化的,便于以这样的方式使用；先争论一下一阶方程部分； 这一部分结构清晰, 对于各种方程的 通式必需牢记, 仍要能够对易混淆的题目做出精确判定；各种类型都有自己对应的格式化解题方法,这些方法死记硬背并不简洁, 但有规律可循这些方法最终的目的都是统一的,就是把以各种形式显现的方程都化为 fxdx=fydy这样的形式, 再积分得到答案； 对于可名师归纳总结 分 离 变 量 型 方 程f1x g1y dxf2xg2ydyy0, 就 是 变 形 为第 7 页,共 26 页f1xdx=-g2y dy,再积分求解；对于齐次方程fy x就做变量f2xg 1y- - - - - - -

15、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思替换uy,就 y 化为uxdu,原方程就可化为关于u和 的可分xdx离变量方程,变形积分即可解；对于一阶线性方程 y p x y q x 第一步先求 y p x y 0 的通解,然后将变形得到的 dyy p x dx积分,其次步将通解中的 C变为 Cx 代入原方程 y p x y q x 解出 Cx 后代入即可得解； 对于贝努利方程 y p x y q x y ,先做1 n变量代换 z y 代入可得到关于 z、x 的一阶线性方程,求解以后将z 仍原即可；全微分方程 Mx,ydx+Nx,ydy 比较特别,由于

16、其有条M N件 y x,而 且 解 题 时 直 接 套 用 通 解 公 式x yx 0 M x , y 0 dx y 0 N x , y dy C . 所以,对于一阶方程的解法有规律可循,不用死记硬背步骤和最后结果公式；对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律；对于y n f x 型方程,就是先把 y n 1 当作未知函数 Z,就 y nZ原方程就化为 dz f x dx 的一阶方程形式,积分即得；再对y n 2 、y n 3 依次做上述处理即可求解；y f x , y 叫不显含 y 的二阶方程,解法是通过变量替换y p、y p p 为 x 的 函 数 将 原 方 程 化为 一 阶 方 程 ；y

17、 f y , y 叫不显含 x 的二阶方程,变量替换也是令 y p（但dp dy dp此中的 p 为 y 的函数）,就 y dy dx p dy p p,也可化为一阶形式；所以就像在前面解一阶方程部分记 “ 求解齐次方程就用变量替换名师归纳总结 yu”,“ 求解贝努利方程就用变量替换z1 yn” 一样,在这里也第 8 页,共 26 页x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思要记住“ 求解不显含 y 的二阶方程就用变量替换yp、yp” 、“ 求解不显含 x 的二阶方程就用变量替换yp、yp p” ；大纲对于高阶方程部分的

18、要求不高,只需记住相应的公式即可；其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理特别相像,可以对比记忆：如 y 1x 、y 2x 是 齐 次 方 程 如齐次方程组 Ax=0 的基础解系有y p x y q x y 0 的两个线性无 n-r 个线性无关的解向量, 就齐次方关 的 特 解 , 就 该 齐 次 方 程 的 通 解 为 程 组 的 通 解 为 x c 1 y 1 x c 2 y 2 x x k 1 y 1 k 2 y 2 k n r y n r非 齐 次 方 程 非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于y p x y q x y f x 的通解为 Ax=b的一个特解与

19、其导出组齐次方程y c 1 y 1 x c 2 y 2 x y 1 x , 其 中 Ax=0 的通解之和y 1x 是 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解 ,c 1 y 1 x c 2 y 2 x 是 对 应 齐 次 方 程y p x y q x y 0 的通解如非齐次方程有两个特解 y 1x y 2x ,如 1r 、2r 是方程组 Ax=b的两个特解,就 对 应 齐 次 方 程 的 一 个 解 为 就 1r -2r 是其对应齐次方程组 Ax=0y x y 1 x y 2 x 的解由以上的争论可以看到, 本章并不应当成为高数部分中比较难办的章节, 由于这一章假如有难点的话也仅在于“ 如何精确

20、无误地记忆各种方程类型及对应解法”在记忆量大上；,也可以说本章难就难名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.5 高数第七章一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两部分,其中导数应用在大题中显现较少, 而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真 题的大题中常常显现, 常与常微分方程结合； 典型的构题方式是利用 变区间上的面积、 体积或弧长引出积分方程, 一般需要把积分方程中的变上限积分xftdt单独分别到方程的一端形成“xftdtaa” 的形式,在两边求导得到微分方程

21、后套用相关方程的对应解法求 解；对于导数应用,有以下一些小学问点：1. 利用导数判定函数的单调性和争论极、最值；其中判定函数增减 性可用定义法或求导判定, 判定极、最值时就须留意以下两点： A. 极值的定义是：对于x 的邻域内异于 00x 的任一点都有fxfx0或fxfx0, 留意是或而不是或； B. 极,值点包括图1、图2两种可能所 以 只 有 在fx 在0x处可导且在0x处取极值时才有fx0；以上两点都是实际做题中常常忘掉的地方,故有必要加深一下印象；名师归纳总结 2.争论方程根的情形；这一部分常用定理有零值定理（结论部分第 10 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 -

22、 - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思为f0）、洛尔定理（结论部分为f0）；常用到构造帮助函数法；在作题时,画帮助图会起到很好的作用,特别是对于讨论方程根个数的题目,结合函数图象会比较简洁判定；3. 懂得区分函数图形的凸凹性和极大微小值的不同判定条件：A. 如函数 f x 在 区间 I 上的 f x 0,就 f x 在 I 上是凸的； 如f x 在 I 上的 f x 0,就 f x 在 I 上是凹的；B. 如 f x 在点 0x 处有 f x 0 且 f x 0 0,就当 f x 0 0 时 f x 0 为极大值,当 f x 0 0 时 f 0x 为微小值；其

23、中,A是判定函数凸凹性的充要条件, 依据导数定义,f x 是 f x 的变化率,f x 是 f x 的变化率；f x 0 可以说明函数是增函数,典型图像是；f x 0可以说明函数fx的变化率在区间I 上是递减的,包括以下两种可能：a.此时fx为正,且随 x 变大而名师归纳总结 变小（大小关系可参考图3）；第 11 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思b.此时fx为负,随 x 变大而变小（大小关系可参考图 3）；同样,f x 0 也只有两种对应图像：c. 此时 f x 为正,随着 x 变大而变大；d.此

24、时fx 为负,随 x 变大而变大；所以,当fx0时,对应或的函数图像,是凸的；当fx0时,对应或的函数图像,是凹的；相比之下,判定函数极大微小值的充分条件比判定函数凸凹性的充要条件多了“f x 0且fx00” ,这从图像上也很简洁懂得：满意fx0或,当的图像必是凸的,即名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思f x0且fx 00时不就肯定是的情形吗；对于定积分的应用部分, 第一需要对微元法娴熟把握； 在历年考研真题中, 有大量的题是利用微元法来获得方程式的,微元法的娴熟应用是倍受出

25、题老师青睐的学问点之一；但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳动, 对于这种敏捷有效的方法必需通过足量的练习才 能真正体会其思想； 在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳 微元法的三种常见类型：1. 薄桶型 .本例求的是由平面图型axb,0 yfx 绕 y 轴旋转所形成的旋转体体积；方法是在旋转体 上取一薄桶型形体（如上图阴影部分所示） ,就依据微元法思想可得 薄 桶 体 积dv2xfx dx , 其 中fx是 薄 桶 的 高 ,2xfx是薄桶绽开变成薄板后的底面积,dx 就是薄板的厚度；二者相乘即得体积；对dv2xfxdx积分可得V2xfxdx；在这个例子中,表达微元法特色的地方在于：1

26、. 虽然薄桶的高是个变化量,名师归纳总结 但 却 用fx来 表 示 ； 2. 用 dx 表 示 薄 桶 的 厚 度 ； 3. 核 心 式第 13 页,共 26 页dv2xfxdx；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2. 薄饼型 .本例求的是由抛物线yx2及y4x2绕 y 轴旋转形成的高H的旋转体体积,方法是取如上图 阴 影 部 分 所 示 的 一 个 薄 饼 型 形 体 , 可 得 微 元 法 核 心 式dv2y4 ydy；其中yy是薄饼的底面积,薄饼与4yx旋 转 面 相 交 的 圆 圈 成 的 面 积是r2,

27、rx, r2x2y ；同理薄饼与y4x2旋转面相交的圆圈成的面积是y, 二者相减即得薄饼底面积；核心式中的dy是薄4饼的高；这个例子中的薄饼其实并不是上下一般粗的圆柱,而是 上大下小的圆台,但将其视为上下等粗来求解,这一点也表达了 微元法的特色；3. 薄球型 .本例求球体质量,半径为R,2 密度 r, 其中 r 指球内任意一点到球心的距离；方法是 取球体中的一个薄球形形体,其内径为 r 厚度为 dr ,对于这 个薄球的体积有 dv 4 rr 2 dr,其中 4 r 2 是薄球表面积, dr 是 厚度；该核心式可以想象成是将薄球绽开、摊平得到一个薄面以后再用底面积乘高得到的；由于dr 很小,故可

28、认为薄球内质量均名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思匀,为r2,就薄球质量dm4r2r2dr4r4dr,积分可得结果；本例中“ 用内表面的表面积4 r2乘以薄球厚度 dr 得到核心式” 、“ 将dv内的薄球密度视为匀称”表达了微元法的特色；通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点熟悉；这种方法的敏捷运用必需通过自己动手做题体会才能实现,由于 其中一些规律表面上并不符合常规思维,但或许这正是争论生入 学考试出题老师喜爱微元法的缘由；关于定积分的应用,以下补充列出了定积分各种

29、应用的公式 表格：求平面图 形面积sbfxdxa求旋转体 体积（可 用微元法名师归纳总结 也可用公体 积Vxbbf2x 左图中图形绕x 轴旋转体的第 15 页,共 26 页式）dx, 绕 y 轴 旋 转 体 得 体 积aVy2xfx dxa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思左图中图形绕 x 轴旋转体的体积Vx2bbf2x f12x dx,绕 y 轴旋转体得体a2积Vyx 2x f1xfdxa已知平行截面面积求立体体Vbs xdx积a求平面曲线的弧长名师归纳总结 lb1y2dx第 16 页,共 26 页a- - -

30、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.6 高数第九章矢量代数与空间解析几何本章并不算很难, 但其中有大量的公式需要记忆,故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题；抓住本章前后学问点的联系来复习是一种有效的策略,由于这样做既可以防止重复记忆、削减记忆量,又可以保证记忆的精确性；同时,学问点前后联系亲密也正是本章的突出特点之一；系的学问点：以以下出本章中前后联a 矢量间关系在争论线线关系、 线面关系中的应用； 这个联系很明显,举例来说, 平面与直线平行时,平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直,而由矢量关系性质知此时二矢量的数

31、积为 0,如直线方x x 0 y y 0 z z 0程为 l m n,平面方程为 Ax By Cz D 0,就有 Al Bm Cn 0；同理可对线面、线线、面面关系进行判定；b 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系；数积定义式为ab|a|b|cos,故有cos|ab|,这个式子是全部线线、线a| b面 、 面 面 夹 角 公 式 的 源 公 式 ； 举 例 来 说 , 设 直 线l1:xlx 1l2 1yy 1m 2lzz 1n,直线l1:xlx 2yy2zz 2,就二直线1m 1n 12m 2n 2夹角ll 12m 1n 1 n2ab|,其中 a 、 b 分别是两条直线的方m 1 2n

32、 1 22 2m 2 22 2|a|b向矢量；对于线面、面面夹角同样适用,只需留意一点就是线面夹角名师归纳总结 公 式 中 不 是c o s而 是s i n, 因 为 如 右 图 所 示第 17 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由于直线的方向矢量与直线的走向平行,而平面的法矢量却与平面垂直,所以线面夹角 是两矢量夹角 的余角,即 90 ,故求夹角公式的左端是 sin；对于线线夹角和面面夹角就无此问题；c 平面方程各形式间的相互联系；平面方程的一般式、点法式、三点式、截距式中,点法式和截距式都可以化

33、为一般式；点法式A x x 0 B y y 0 C z z 0 0（点 x 0 , y 0 , z 0 为平面上已知 点, A , B , C 为 法 矢 量）可 变 形 为Ax By Cz Ax 0 By 0 Cz 0 0,符 合 一 般 式Ax By Cz D 0 的形式；截距式 a xb y zc 1（a , b , c 为平面在三个坐标轴上的截距） 可变形为 bcx acy abz abc 0,也符合一般式的形式； 这样的转化不仅仅是为了更好地记公式,更主要是由于在考试中可能需要将这些式子相互转化以便利答题（这种情形在历年真题中曾经显现过） ；同样,直线方程各形式之间也有类似联系,直线

34、方程的参数形式xx0lt名师归纳总结 和标准式之间可以相互转化；直线方程的参数形式yy0mt第 18 页,共 26 页zntz 0（x0,y0,z 0是平面上已知点,l,m ,n 为方向矢量）可变形为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思xx0t, 即 为 标 准 式xlx 0yy 0zz 0； 标 准 式lyy 0tmmnzz 0tnxlx 0yy 0zz 0如变形为xlx 0yy 0zz 0t就也可以mnmn转化为参数形式；这个转化在历年真题中应用过不止一次；d 空间曲面投影方程、 柱面方程、 柱面准线方程之间的区

35、分与联系；关于这些方程的基础性学问包括：F x , y , z 0 表示的是一个空间曲面； 由于空间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的,故空F 1 x , y , z 0 2 2 2间曲面方程为 F 2 x , y , z 0；柱面方程如圆柱面 x y R、2 2x y椭圆柱面a 2 b 2 1 可视为是二元函数 f x , y 0 在三维坐标系中的形式；在这些基础上分析, 柱面方程的准线方程如fx ,y z0可视为z0是由空间曲面柱面与特别的空间曲面坐标平面0相交形成的空间曲线, 即右图 间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事,中的曲线 2；而空 如上图中曲线 1 的名师归纳总结 投影

36、是由过曲线 1 的投影柱面与坐标平面相交得到的,所以也就是图第 19 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思中的柱面准线；在由空间曲线方程F 1x ,y,z 0求投影方程时,x ,y ,z 0F2需要先从方程组中消去z 得到一个母线平行于 z 轴的柱面方程；再名师归纳总结 与z0联立刻可得投影方程fx ,y ,z 0；第 20 页,共 26 页z0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.7 高数第十章多元函数微分学复习本章内容时可以先将多元函数各学问点与一元函数对应部分作对比, 这样做即可以将相像学问点区分开以防止混淆,又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的懂得；本章主要内容可以整理成一个大表格：二元函数的定义（略）相一元函数的定义（略）似二元函数的连续性及极限：一元函数的连续性及极限：二元函数的极限要求点x ,y以任何不一元函数的极限与路径无关,由等价式lim x x 0ff