2022年高数公式大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学公式 导数公式：tan 2 secxxarcsinx11x21x2cot 2 cscxarccos 1sec sec xtanx1csc csc xcotarctanx1 axaxlnax2log ax 1arccotx11x2xlna基本积分表：kdxkxC （k 为常数）xCu x dxxu1CCtanxCu11dxlnxC112dxarctanxxx11x2dxarcsinxCcosxdxsinxCC1xdx2 secxdxsinxdxcosxC2 cos1xdx2 cscxdxcotsec tanxdxsec xsin2csc

2、cotxdxcscxCx e dxx eCx a dxaxClna两个重要极限：lim x 0sin xxx1elim1 x1 x三角函数公式：sin 22sincoscos212cos2112sin2cos2sin2sin22 cos12 sectan21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 零点定理：设函数 fx在闭区间a b上连续, 且f afb0,那么在开区间a b上至少一点,使f0；（考点：利用定理证明方程根的存在性；当涉及唯独根时,仍需证明方程对应的函数的单调性）罗尔定理： 假如函数 fx满意三个条件：fa

3、f b ,（1）在闭区间a b 上连续；（2）在开区间a b 内可导；（3）在区间端点处的函数值相等,即那么在,a b 内至少有一点ab ,使得f0；（挑选题：挑选符合罗尔定理条件的函数；证明题）拉格朗日中值定理：假如函数 fx 满意f bf afba 成立；（证明题）（1）在闭区间a b 上连续；（2）在开区间a b 内可导,那么在,a b 内至少有一点ab ,使等式定积分应用相关公式函数的平均值yb1abfx dxa空间解析几何和向量代数：空间两点的距离dM M2x 2x 12y 1y22z 1z 22r 向量 b在向量 ar方向上的投影Pr jr abr bcosr ra ba b z是

4、一个数,为 ar与 b r的夹角；设r aa ay,a z,r bb b b z,就两向量的数量积r ra br ar bcosa b xa b yar与 b r的夹角cosa2a b xa by2 b xa b z2 b z；a2 y2 a zb2 yx两向量的向量积a rr br ir jr k,a rr ba rr bsin；（考点：利用向量积求三角形的面积）a xayazb xb yb z2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 平面的方程：1、点 法 式 方 程 ：A xx 0B yy 0C zz 00, 其

5、中r nA B C为 平 面 的 法 线 向 量 ,M0x 0,y 0,z 0为平面上的一点；A B C；2、一般式方程：AxByCzD0,其中平面的一个法线向量n r3、截距式方程：xyz1,a b c 为平面在x y z轴上的截距；abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx 0By 02Cz 02D；、2 ABC空间直线的方程：1、直线的点向式方程（对称式方程）xx 0yny0zpz 0t,其中直线的一方向向量s rm n p；m2、直线的参数方程：xx 0mtyy 0ntzz 0pt多元函数微分法及应用全微分：dzzdxzdyduudxyu ydyyudzxyxz全微分的近似运算：zdz

6、fxx ,y xfx,y多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfux ,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,vdxvdyduudxudydvxyxy隐函数的求导公式：隐函数Fx ,y0,dydxFx y2,ddxyxF xyF xdyF2FyFydx隐函数Fx ,y ,z 0,zxF x,zyFyF zF z微分法在几何上的应用：3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间曲线xt在点Mx0,y0,z 0 处的切线方程：xtx 0yy0zz0yt0t

7、0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0t0yy0t0zz 00Fy,y0,z 0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z0,就切向量TFyFz,FzF x,FxGx ,y,z0GyGzGzGxGxFGy曲面Fx ,y,z0上一点Mx 0,y0,z0,就：1、过此点的法向量：nFxx0,y0,z 0,Fyx0,y0,z 0,Fzx0,y 0,z0zx2、过此点的切平面方程：Fxx 0,y0,z0xx0Fyx 0,y0,z0yy003、过此点的法线方程：Fxx,x0,z 0Fyy,y0z0Fzz,z0z 0x 0y0x0y 0,x0y0,方向导数与梯度：函数zfx ,y 在一点p x ,y

8、沿任一方向l的方向导数为：fjf xcosjf ysinl其中为x 轴到方向l的转角；函数zfx ,y 在一点p x ,y 的梯度：grad fx,y fifxysin,为l方向上的它与方向导数的关系是：flgradfx ,ye,其中ecosi单位向量；f是grad fx,y 在l上的投影；A,fxyx0,y0B,fyyx0,y0Cl多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx0,y00,令：fxxx0,y 0ACB20 时,A0,x 0,y 0 为极大值A0,x 0,y 0 为微小值就：ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,

9、就：yxtt设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx,ydsft,t2t2t特殊情形：L4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐 标的曲线积分）：设L的参数方程为yx t ,就： t t tQ t,ttdtyP x ,y dxQ x , dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x

10、y L三个常用的正项级数：当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L1、等比级数平面上曲线积分与路径 aq n 1无关的条件：n 11、G 是一个单连通区域；2、当 P q x , y 1 时,该级数收敛于,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数1 aq,且 QxPy；留意奇点,如 ,0 0 ,应减去对此奇点的积分,留意方向相反！当 q 1 时,该级数发散；二元函数的全微分求积：2、 p 级数 在 QxPy 时,n 1 n 1 Pdxp Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中： x , y u 当 x ,

11、 y p 1 时,该级数收敛；P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 当 p 1 时,该级数发散；特殊地,当 p 1 时,1称为调和级数；n 1 n级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：1 时,级数收敛设：lim nnun,就s n1 时,级数发散散；1 时,不确定2、比值审敛法：1 时,级数收敛设：lim nUnn1,就1 时,级数发散U1 时,不确定3、定义法：存在,就收敛；否就发s nu 1u 2u n;lim n5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - -

12、 - - - 交叉级数u 1u2u 3u 4 或u 1u2u3,un0 的审敛法莱布尼兹定理：假如交叉级数满意u nu n1,那么级数收敛且其和 0su 1,其余项rn 的确定值rnun1；lim nu n确定收敛与条件收敛： 1 u 1 u 2 u n,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：1p 时发散n p 1 时收敛幂级数：1xx2x3xnax1 时,收敛于11x10对于级数3 a

13、0a 1xx1 时,发散2x2anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR 时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设lim nan1xR 时不定0 时,R,其中an,an1是3 的系数,就0 时,Ran时,R函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fxn1fx0xx 0fx 0xx02fnx0xx0n2 .n .余项：R nfn1 xx 0,fx可以绽开成泰勒级数的2充要条件是：lim nR n0n1 .f0f0xf0 xfn0 xnx 00 时即为麦克劳林公式：fx2 .n .一些函数绽开成幂级数：6 名师归纳总结 - - - - - -

14、-第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1x m1mxm m1x212 xm m1 mn1 xn1x1.2n .sinxx3 xx51 nn1x.3.52 n1 .微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx ,y 或P x,y dxQ x,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy dyfx dx 的形式,解法：gy dyfx dx得：G y Fx C 称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx ,yx ,y,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就dyuxdu,udu u,dxduu分别变量,积分后将y代替xdxdxdxx ux即得齐

15、次方程通解；一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyPx yQxdx当Qx0 时,为齐次方程,yCePxdx当Qx0 时,为非齐次方程,yQxePxdxdxCePxdx2、贝努力方程：dyPx yQxyn, n01, dx全微分方程：假如Px ,ydxQx,ydy0 中左端是某函数的全微分方程,即：dux,yPx ,y dxQx,ydy0,其中：uPx,y,uQx,yxyux,yC 应当是该全微分方程的通解；二阶微分方程：d2yP x dyQx yfx ,fx 0 时为齐次2fx 0 时为非齐次dxdx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7

16、页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - *yp yqy0,其中p ,q 为常数；求解步骤：1、写出特点方程：r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是*式中y,y,y 的系数；2、求出 式的两个根r 1,r 2出*式的通解：3、依据r 1r2 的不怜悯形,按下表写r 1,r 2的形式p24q0 0 * 式的通解c2er 2xc2sinx 两个不相等实根yc 1er 1x两个相等实根p24qyc 1c2x re 1x一对共轭复根p24q0 yexc 1cosxr 1i,r2i4 qp2p 2,2二阶常系数非齐次线性微分方程yxpyexqyfx,p,q 为常数x 型fP mx型,为常数；fxexPxcosxP nx sin8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页