2022年高二数学-空间向量与立体几何测试题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高二数学 空间向量与立体几何测试题第一卷（挑选题,共 50 分）一、挑选题：（本大题共 10 个小题,每道题 5 分,共 50 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的）1在以下命题中：如a、b 共线,就 a、b 所在的直线平行；如a、b 所在的直线是异面直线,就a、b肯定不共面；如a、b、c三向量两两共面,就a、b、c 三向量肯定也共面；已知三向量 a、b、c,就空间任意一个向量p 总可以唯独表示为pxaybzc其中正确命题的个数为（）A0 B.1 C. 2 D. 3 2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向

2、量D A、D C 、A 1C 1是（）A有相同起点的向量B等长向量（）C共面对量D不共面对量3如向量m 垂直向量a 和b , 向量nab ,R 且、0 就Am /nBmnCm 不平行于 ,m 也不垂直于nD以上三种情形都可能4已知 a（ 2, 1,3）,b（ 1,4,2）,c（7,5, ）,如 a、b、c 三向量共面,就实数等65）于（）A. 62 7 B. 63 7 C. 64 7 D. 75直三棱柱 ABCA1B1C1 中,如 CAa , CBb ,CC 1c , 就A B（A. abc B. abc C. abc D. abc为（）6已知 a +b +c 0 ,| a | 2,| b |

3、 3,| c | 19 ,就向量 a 与 b 之间的夹角a,bA30B45C60D以上都不对（）7如a、b均为非零向量, 就a b|a|b 是 a 与 b 共线的A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件8已知 ABC的三个顶点为 A（3,3,2）,B（4, 3,7）,C（0,5,1）,就 BC边上的名师归纳总结 中线长为2jB3 j2k,C4 D5 （）第 1 页,共 14 页A2 9已知a3 ik,bi就5a 与3 b 的数量积等于（）B 5 C 3 D1 A 15 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备

4、 欢迎下载10已知 OA 1,2,3,OB 2,1,2,OP 1,1,2,点 Q在直线 OP上运动,就当 QA QB取得最小值时,点 Q的坐标为（）A1 3 1 , B1 2 3 C4 4 8 , D4 4 7 2 4 3 2 3 4 3 3 3 3 3 3第二卷（非挑选题,共 100 分）二、填空题（本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分）11如 Am1,n1,3 ,B2m, n, m2n ,Cm3, n3,9 三点共线,就 m+n= 1212、如向量 a 1, ,2 , b 2, 1,2,a b夹角的余弦值为 8,D9就 等于 _. E13在空间四边形 ABCD中, AC和 BD

5、为对角线,CMG为 ABC的重心, E是 BD上一点, BE3ED,A GB以 AB , AC , AD 为基底,就 GE 14 已 知 a,b,c 是 空 间 两 两 垂 直 且 长 度 相 等 的 基 底 , m=a+b,n=b-c, 就 m,n 的 夹 角为；15. 在三角形 ABC中,A1,-2,-1,B0,-3,1,C2,-2,1, 如向量 n 与平面 ABC垂直,且| m|= 21,就 n 的坐标为；16. 已 知 向 量 a= +1,0,2 ,b=6,2-1,2, 如 a|b, 就 与 的 值 分 别是 . 三、解答题 （本大题共 5小题 , 满分70分）1712 分 已知空间四

6、边形ABCD的对边 AB与 CD,AD与 BC都相互垂直,用向量证明： AC与 BD也相互垂直A D 名师归纳总结 B C 第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载18（14 分）如图,在棱长为2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E是 DC的中点,取如下列图的空间直角坐标系（1）写出 A、B1、E、D1的坐标；（2）求 AB1与 D1E所成的角的余弦值19（14 分）如图,已知矩形 ABCD所在平面外一点 P,PA平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC的中点（1）求证： EF 平面 PAD；（2）求证：

7、EFCD；（3）如 PDA45 ,求 EF与平面 ABCD所成的角的大小名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20（15 分）在正方体ABCDA 1学习必备欢迎下载yB 1 C 1D 1中,如图、分别是BB ,的中点,（1）求证：D1F平面 ADE；z2）cosEF,CB 1D1C1A1B1DFECxAB21（15 分）如图,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD是正方形,侧棱 PD底面 ABCD,名师归纳总结 PDDC,E是 PC的中点,作EFPB交 PB于点 F. 第 4 页,共 14 页（1）证明PA平面 EDB

8、；（2）证明 PB平面 EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载空间向量与立体几何 1 参考答案一、挑选题（本大题共 10 小题,每道题 5 分,共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D D C A B A C 二、填空题（本大题共 4 小题,每道题 6 分,共 24 分）110 122 131 AB 1 AC 3 AD 14 6012 3 415；（2,-4 ,-1 ）,（-2 ,4,1） 16；1 1, . 5 2三、解答题（本大题共 5 题,共 76 分

9、）17证明：AB CD , AB CD 0 . 又 AB CB CA, CB CA CD 0 即 CB CD CA CD . AD BC , AD BC 0 . 又 AD CD CA, CD CA BC 0 即 CD BC CA BC . 由 +得：CA CD CA BC 0 即 CA BD 0 . AC BD . 18 解： 1 A2, 2, 0,B12, 0, 2,E0, 1, 0,D10, 2, 2 2 AB1 0, - 2, 2 , ED1 0, 1, 2 |AB1 | 2 2 ,|ED1 | 5 ,AB1 ED1 0242, cos AB1 ,ED1 |AB1 | |ED1 |AB1

10、 ED1 2 225 z10 10 AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为 10P1019证：如图,建立空间直角坐标系 Axyz,设 AB2a,BC2b,PA2c,就：A0, 0, 0 ,B2 a, 0, 0 ,C2 a, A F 2b, 0 ,D0, 2 b, 0 ,P0, 0, 2 c E 为 AB 的中 D y 点,F 为 PC的中点 E E a, 0, 0,F a, b, c x B C1 EF0, b, c , AP0, 0, 2 c ,AD0, 2 b, 0 EF1 2 APAD EF与AP、AD共面又 E 平面 PAD EF 平面 PAD2 CD - 2a, 0, 0 CD EF

11、 - 2a, 0, 0 0, b, c 0 CDEF3 如 PDA45 ,就有 2b2c,即 bc,EF 0, b, b ,2AP 0, 0, 2 b cosEF,AP 2b2b2b2 2EF,AP 45名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 AP 平面 AC, AP 是平面 AC的法向量 EF,AP 45 EF 与平面 AC所成的角为： 9020解：建立如下列图的直角坐标系, （ 1）不妨设正方体的棱长为1,y1 ）,2就 D（0,0,0）,A（1,0,0）,D （0,0,1）,zE（1,1,1 ）

12、,F（0,21 ,0）,2D1C1就D1F（ 0,1 ,1）,2DA（1,0,0）,A1B1AE （ 0,1,1 ）,2就D1FDA0,DFECD1FAE0,D1FDA,D1FAE. xABD1F平面 ADE. 1 ,2（）B （1,1,1）,C（0,1,0）,故CB （ 1,0,1）, EF （ 1,EFCB 1 101 23 ,2EF1113,CB12,4423名师归纳总结 就 cosEF,CB1EFCB13223. EF,CB 1150. 0第 6 页,共 14 页2EFCB1DCza .2D为坐标原点 . 设21解：如下列图建立空间直角坐标系,1 证明：连结 AC,AC交 BD于 G.

13、连结 EG. P依题意得A a ,0,0,P0,0,a, E 0, a a , 2 2G 是此正方形的中心,FE底面 ABCD是正方形,故点 G的坐标为 a a ,2 2,0且PA ,0,a,EGa,0,a.DGCy22PA2EG. 这说明PAEG. AB而 EG平面 EDB且 PA平面 EDB,PA 平面 EDB；2 证明：依题意得B a a , ,0,PB , ,a ；又DE0,a a ,2 2,故PBDE0a2a222PBDE , 由已知 EFPB ,且EFDEE 所以 PB平面 EFD. 3 解：设点 F 的坐标为x 0,y 0,z 0,PFPB 就x 0,y 0,z0a , ,a从而

14、x 0a y0a z 01 . a 所以FEx 0,ay0,az 0a ,1 ,1 .2222由条件 EFPB 知,PE,PB0即a21a21a20,.解得1；322点 F 的坐标为a a ,3 32a且FEa a ,3 6,a,FDa,a,2a6333PBD 的平面角 . 3PBFDa2a220, 即 PB2aFD ,故EFD 是二面角 C333PEFDa2a2a2a2且PEa2a2a26a ,FDa2a24a26a936366999391896- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosEFD|FE FD|6a26a学习必备EFD欢迎下载3.1 2.3

15、, 所以,二面角 CPCD 的大小为6FE|FDa.63江苏省海安高级中学期末复习测试空间向量与立体几何 2 第一卷（挑选题,共姓名班级50 分）一、挑选题：（本大题共 10 个小题,每道题 5 分,共 50 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的）1已知 A、B、C三点不共线,对平面 ABC外的任一点 O,以下条件中能确定点 M与点 A、B、C肯定共面的是（）AOM OA OB OC BOM 2 OA OB OCCOM OA 1 OB 1 OC DOM 1OA 1OB 1OC2 3 3 3 32 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 P x , y , z, 那

16、么 下 列 说 法 正 确 的 是（）A点 p关于 x 轴对称的坐标是 p 1 x , y zB点 p关于 yoz平面对称的坐标是 p 2 x , y , zC点 p 关于 y 轴对称点的坐标是 p 3 x , y zD点 p 关于原点对称点的坐标是 p 4 x , y , z3已知向量 a（1,1,0）,b（ 1,0,2）,且 k ab 与 2 ab 相互垂直,就 k 的值是名师归纳总结 （）1 5 C.3 5 D.7 5第 7 页,共 14 页A.1 B.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4已知空间四边形 ABCD,M、G分别是

17、BC、CD的中点,连结 AM、AG、MG,就 AB +1 BD BC 2等于（）1A. AG B. CG C. BC D. 2 BC5在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中, M和 N 分别为 A1B1 和 BB1的中点,那么直线 AM与CN所成角的余弦值是（）A2 B2 C3 D105 5 5 106已 知 向 量 a 0,2,1,b 1,1, 2,就 a 与 b 的 夹 角 为（）A. 0 B. 45 C. 90 D. 1807已知点 p 1,3, 4,且该点在三个坐标平面 yoz平面, zox 平面, xoy平面 上 的 射 影 的 坐 标 依 次 为 x y z 1,x 2

18、 , y 2 , z 2 和 x 3 , y z 3,就（）2 2 2 2 2 2Ax 1 y 2 z 3 0 B. x 2 y 3 z 1 02 2 2C. x 3 y 1 z 2 0 D. 以上结论都不对8、 已 知 点 A4,1,3,B2,-5,1,C 为 线 段 AB 上 一 点 , 且3 | AC | | AB , 就 点 的 坐 标 是 A.7,1 5 2 2 B.3 , 3,28 C.10 37 , 1, 3 D.5,7 3 ,2 20是229、设 A、B、C、D是空间不共面的四点,且满意ABAC0 ,ABAD0 ,ACAD就BCD不确定（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐

19、角三角形 D.10、已知正方形 ABCD的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD的中点, GC平面 ABCD,且 GC2,名师归纳总结 就点B到平面EFG的距离为（）211C.3 D.1 5第 8 页,共 14 页A. 10 B. 1011第二卷（非挑选题,共100 分）二、填空题（本大题共6 小题,每道题 5 分,共 30 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11、如a1,1,0,b 1,0, 2,就ab学习必备欢迎下载同方向的单位向量是 _. 12已知 S是 ABC所在平面外一点, D是 SC的中点,如 BD xAB yAC zAS,就 xyz1

20、3、已知 a 2,4, x , b 2, ,2,如 a 6 且 a b,就 x y 的值为；14、已知向量 a 和 c 不共线,向量 b 0,且 ab c bc a,dac,就 d b 15 已 知 三 角 形 的 顶 点 是 A 1, 1,1,B 2,1, 1,C 1, 1, 2, 这 个 三 角 形 的 面 积是；16（如图）一个结晶体的外形为平行六面体,其中,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是60 ,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为；三、解答题 （用向量方法求解以下各题 , 共 70 分）17、在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中, E、F

21、 分别为 DD1和 BB1 的中点（1）证明： AEC 1F 是平行四边形；zA 1D1B1C 1（2）求 AE和 AF之间的夹角的余弦；E（3）求四边形 AEC 1F 的面积ADFCB18如图,四边形 ABCD是直角梯形, ABCBAD90 ,名师归纳总结 SA平面 ABCD, SAABBC1,AD1 2SByxC第 9 页,共 14 页AD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求 SC与平面 ASD所成的角余弦；（2）求平面 SAB和平面 SCD所成角的余弦19、如图,在底面是菱形的四棱锥PABC中, ABC=60 0,PA=A

22、C=a,PB=PD= a 2 , 点 E 在PD上,且 PE:ED=2:1. 的大小；P （I ）证明 PA平面 ABCD；（II ）求以 AC为棱, EAC与 DAC为面的二面角（）在棱 PC上是否存在一点F,使 BF/ 平面 AEC？证明你的结论 . E B A C D 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20如图,在直三棱柱学习必备欢迎下载ACB90 侧棱 AA12,ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD上的射影是ABD的重心 GzC1B

23、1（1）求 A1B 与平面 ABD所成角的大小A1（2）求 A1 到平面 ABD的距离DE C G21.P 是平面 ABCD外的点,四边形 ABCD是平行四边形,ABxA4,2,0 ,By2, 1, 4 ,ADAP1,2, 1. 平面 ABCD. （2）对于向量ax y z 1,bx 2,y 2,z 2,定义一种（1）求证： PA运算：名师归纳总结 abcx y z 3x y z 1x y z 2x y z 2x y z 3x y z ,试运算 ABADAP 的肯定值 ; 说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算ABADAP 的肯定值的几何意义（几何体 P-ABCD叫四棱锥

24、,锥体体积公式：V=1 3底面积高 ）. 第 11 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载空间向量与立体几何 2 参考答案一、挑选题（本大题共10 小题,每道题 5 分,共 50 分）9 10 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D D D A B C A C C B 二、填空题（本大题共4 小题,每道题 6 分,共 24 分）11（0,1 5,2 5） 12 0 13 1,-3 149015；SABC1|AB| |AC| sinA101 16 ；AC1622三、解答题（本大题共6 题,共 76 分）17（1）略（2）

25、1 5（3）s6a2218（1）6（2）63319（）证明由于底面 ABCD是菱形, ABC=60 ,所以 AB=AD=AC= a,在 PAB中,由 PA 2+AB 2=2a 2=PB知 PAAB. 同理, PAAD,所以 PA平面 ABCD. （）解作 EG/PA 交 AD于 G,由 PA平面 ABCD. 知 EG平面 ABCD.作 GHAC于 H,连结 EH,就 EHAC,EHG即为二面角 的平面角 . 又 PE : ED=2 : 1,所以 EG 1 a , AG 2 a , GH AG sin 60 3 a .3 3 3从而 tan EG 3 , 30 .GH 3（）解法一 以 A 为坐

26、标原点,直线 AD、AP分别为 y 轴、 z 轴,过 A 点垂直平面 PAD的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图A00,0,B3a,1a0,C13 2a,1a,0.222D0 ,a ,0 ,P0 ,2a,0 ,0 ,aEa.33. 由题设条件,相关各点的坐标分别为名师归纳总结 所以AE0,2a,1a,AC3a,1 2a ,0 .,1a,a,其中01 ,就第 12 页,共 14 页332AP0 ,0 ,a ,PC3a,1a,a.3 2a22BP3a,1a,a.22PC设点 F 是棱 PC上的点,PF2BFBPPF3a ,1a,a3 2a,1a,a222- - - - - - -精选学习资料

27、- - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 3a 1 , 1a 1 , a 1 . 令 BF 1 AC 2 AE 得2 23 32 a 12 a 1 , 1 1 ,1a 1 1a 1 2a 2 , 即 1 1 42 ,2 2 3 31 1a 1 a 2 . 1 2 .3 3解得 1, 1 1, 2 3 . 即 1 时,BF 1AC 3AE .2 2 2 2 2 2亦即, F 是 PC的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面 . 又 BF 平面 AEC,所以当 F 是棱 PC的中点时, BF/ 平面 AEC. 2014 分 解：（1）连结 BG,就 BG是 BE在面 ABD的射影,

28、即 A1BG是 A1B 与平面 ABD所成的角 . 如下列图建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a,就 A（2a,0,0）,B（0,2a,0）,D（0,0,1） A 1（2a,0,2）E（a,a,1） G （2 a, 2 a, 1）. 3 3 3a a 2GE , , , BD 0 , 2 a 1,3 3 3GE BD 2a 2 20,解得 a=1. 3 32 4 1BA 1 2 , 2 , 2 , BG , , ,3 3 3cos A 1 BG BA 1 BG 14 / 3 7 . | BA 1 | BG | 2 3 121 33A1B与平面 ABD所成角是 arccos 7. 3（2）

29、由（ 1）有 A（2,0,0）,A1（2,0,2）,E（1,1,1）,D（0,0,1）AE ED 1,1,1 ,1 1,）0,AA 1ED 0 0, , 2 ,1 ,1 0 0ED 平面 AA1E,又 ED 平面 AED. 平面 AED平面 AA1E,又面 AED 面 AA1E=AE,点 A在平面 AED的射影 K 在 AE上. 名师归纳总结 设AKAE,就A 1KA 1AAK2,6,2 2 . 3第 13 页,共 14 页由A 1KAE0,即20,解得A 1K2,2,4, 即A 1 K441633399932 240即点 A1到平面 AED的距离为26. 321. 解：（1）AP AB2,1, 4 1,2, 1APAB 即APAB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AP AD学习必备4欢迎下载 1,2, 1 4, 2,0400APAD 即PAAD3 105AB,AD,AP 为棱的公平六面体的体积（或以AD面ABCD（2）ABADAP48,又cosAB ADV1 3ABADsinAB ADAP16推测：ABADAP 在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页