广东省中山市2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx

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1、 广东省中山市 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1 0+ 21“x ”是“x”的xA充分不必要条件C充要条件 B必要不充分条件D既不充分也不必要条件2在等差数列 中，若aa+ a + a = 3,a = 9，则a的值是( )n12358A15B16C17D18120,3如图在一个 的二面角的棱上有两点A B ，线段AC BD 分别在这个二面角的两=1个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB = ，2 AC= 2，BD ，则CD 的长为（ ）.2 3A2B3CD4a Sa = 2,S -S = 6a4已知等比数列 的各项均为正数，前n 项和为

2、 ，若，则 =a5n2644n4AB10C16D325几何原本卷 2 的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB 是半圆O的直径，点D 在半圆周上，CD AB= a BC = b于点 ，设AC ，C，直接通过比较线段 与线段 的长度可以完成的CDOD“无字证明”为（ ）b + m b2 (b a 0,m 0)ACBD+ a b(a b a+)( 0, 0)b22a + m a22aba + b ab(a 0,b 0) ab(a 0,b 0)a + b2 x22y2-

3、 =1 0，b 0）的右支上一点， F 是右焦点，若6已知点 是双曲线（ aAab2AOF （ 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线的离心率e 为OA 2C1+ 2B 3D1+ 37如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点 C，D，ADC BECACD45，BCE从 点测得 67.5，从 点测得 75，从 点测得EDCE60若测得2 3 ， DC CE2 (单位：百米)，则 ， 两点的距离为（）A BA 6C3B2 2D2 3( ) ( )A -1,0 B 1,0和d d = 2q ，且存在常的距离分别为 和 ， APB8设动点 到点P12()l 0 l 1 2

4、sin q = l数，使得d d，则动点 的轨迹 的方程为（ ）CP12x2yx2y2x2yx2y222- =11- l l+=1- =1+=1ABCD1- l l1+ l l1+ l l二、多选题1 1 09若，则下列结论中正确的是（）a bA B | a + b |D a ba b22233DABC, , , ,中，角 A B C 所对的边的长分别为a b c ，则满足下面条件的三角形一10在定为直角三角形的是（） sin A+sin B = sinC cos A+cosB)(tanA a22=ACBtan B bB a + ccos2 =B b A ccos - cos =Da22c(

5、)3,0( )N -3,0( ) 0的斜率乘积为常数a aPN11已知点M和点，直线，设PM点 的轨迹为C ，下列说法正确的是（）P( ) ( )-4,04,0A存在非零常数a ，使C 上所有点到两点B存在非零常数a ，使C 上所有点到两点C不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点D不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点，距离之和为定值0,4距离之和为定值( ) ( )0,-4，( ) ( )-4,04,0，距离之差的绝对值为定值0,4距离之差的绝对值为定值( ) ( )0,-4，12意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人， aa = 1 a =1， ，斐波那

6、契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：12n()a = a + ann 3,n N .* 若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格n-1n-2子的边长为 1，记前n 项所占的格子的面积之和为S ，每段螺旋线与其所在的正方形所n围成的扇形面积为c ，则下列结论正确的是（n）a + a + a + + a = a -1= a + a aA SC aBD2n+1n+1n+1n123nn+2()p+ a + a + + a = a -14 c -c = a a1352n-12n-1n-2n+1nn三、双空题: $x R25 0+ x + =13命题 p， x是_(填“全称命题”或“特称命

7、题”)，它是2000_命题(填“真”或“假”)四、填空题11= xOA + OB + OC14已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有OM，33则 _.x 15已知直线l : x - y -m = 0经过抛物线C y的焦点，与C 交于 A、Bpx p: 2 = 2 ( 0)两点，若| AB |= 6，则 p 的值为_ + a = n +1- n -116若数列 a 满足：a，若数列 a 的前 99 项之和为3 11，nn+1nn则a = _100五、解答题DABC斜边 BC上一点，AB = AD ，记CAD = = b17如图，D 是直角a , ABC .（1）证明sina

8、+ cos 2b = 0；（2）若 AC =3DC，求 的值.b18两城市 A和 相距 20 ，现计划在两城市外以km为直径的半圆上选择一点BABABC 建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A和城 的B总影响度为城 A和城 的影响度之和，记C 点到城 A的距离为 xkm，建在C 处的垃圾By处理场对城 A和城 的总影响度为 ，统计调查表明：垃圾处理场对城 A的影响度与B所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4，对城 的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为 ，当垃圾处理场建在k的中点时，对城 A和城ABBB的总影响度为 0.065；y（1）

9、将 表示成 x 的函数；（2）判断 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城A和城 的总影响度最ABB 小?若存在，求出该点到城 的距离；若不存在，说明理由；A = 3n + 8n b= +19已知数列 a 的前 n 项和 S是等差数列，且a b b .2，nnn+1nnn b（）求数列的通项公式；n(a +1 )n+1 c =n.求数列 c 的前 n 项和 .T（）令n(b + 2)nnnn: x - y +1 = 0:= 2 px( p 0)相切.20已知直线l与焦点为 F 的抛物线C y2（）求抛物线 的方程；C（）过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 ， 两点到直线 的距离之和

10、A B A BFmCl的最小值. ABCD的底面是菱形， PO底面 ABCD O， ，E 分别是 AD AB,21在四棱锥 P= 6, AP = 5,BAD = 60的中点， AB. PE（）求证： AC；（）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；3 3（III）在 DC 边上是否存在点 F ，使 BF 与 PA 所成角的余弦值为定点 F 的位置；若不存在，说明理由.，若存在，确，且以圆 010( ) ( )A-1,0 ，B 1,0+ y = 422已知圆O的方程为 x2，若抛物线 过点C2的切线为准线， F 为抛物线的焦点，点F 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;P Q、 两

11、点，P P 关于 轴对称，请问:直线P Q是x(2)过点 作直线 交曲线C 与BLx否过 轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E 的坐标 参考答案1C【解析】11+ 2 x = 2先考虑充分性,当 x0 时， x，当且仅当 x=1 时取等.所以充分条件成立.xx1+ 2- 2 +1 0 ( -1) 0成立，当 x=1再考虑必要性，当x时，如果 x0 时， x2xx2x时取等.当 x0.故选 C.2C【分析】由已知直接利用等差数列的性质求解【详解】在等差数列a 中，由 a +a +a =3，n123得 3a =3，即 a =1，22又 a =9，5a =2a -a =18-1=

12、17852故选 C【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题3B【分析】由CD CA AB BD= + ，两边平方后展开整理，即可求得CD2 ，则CD 的长可求+【详解】解：CD CA AB BD= +，+，CD2 CA2 AB2 BD2 + 2CA AB + 2CA BD + 2AB BD=+，CA AB BD， AB，BD AB = 0，CA AB = 0 1()CA BD =| CA| BD | cos 180 -120 = 1 2 =122，CD =1+ 2 + 4 + 21 = 9| CD |= 3 ，故选： B【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性

13、质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4C【解析】( )， q2S - S = a + a = 6a+ q - 6 a = 0,q + q - 6 = 0q 2，从而由得2，解得646544a = a 2=28=16，故选 C.3525D【解析】OD是半圆的半径，a + bOD =AB a b= + 为圆的直径，由射影定理可知，2a + bCD= AC BC = ab,CD = abRtDODC中，OD CD， ab，当O 与，在22a + ba + b= ab ab，故选 D.重合时，所以C226D【分析】,b,c利用 AOF （O是坐标原点）是

14、等边三角形求出 坐标，代入双曲线方程，可得a关A系，然后求解离心率即可.【详解】因为 AOF （O是坐标原点）是等边三角形，13所以由三角函数定义,得点 ( cos , sin ),即 ( c,A cc)，cA3322x22y2- =1代入双曲线方程，ab2 b2c2 a2c2 a2b2 c2 a2 b2 e2 e,又 = + ,得 =4+2 3 , = 3 +1，故选 D.=4可得3【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等a,c式，再根据a,b,c的关系消掉 得到b的关系式，从而可解决问题，其中，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的

15、范围等.7C【分析】在 RtADC中，求得 AC= DC；在BCE中，利用正弦定理求得BC；再 在ABC中，利用余弦定理即可求得结果.【详解】根据题意，在ADC 中，ACD45，ADC67.5， 2DC3，则DAC1804567.567.5，则 2AC DC3，在BCE 中，BCE75，BEC60， 2 ，CE则EBC180756045，322 CEBCCE sin BECsin EBC3，则有，变形可得 BCsin EBC sin BEC22中， 2AC3， BC3，ACB180ACDBCE60，在ABC则则 AB2 AC2 BC22ACBC cosACB9，AB3故选： .C【点睛】本题考

16、查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.8A【分析】d d1.首先利用余弦定理找出边角关系，再根据 和 的关系求出曲线方程2【详解】 由题知在PAB中，AB= 2，2 = d + d - 2d d cos 2q，根据余弦定理有2221212( )- d = 4 - 4d d sin整理有 d22 q ，121 2- d = 4 - 4d d sin q = 2 1 l-即 d，2121 22a = 2 1-故点 的是以 ， 为焦点的双曲线，且l ，P又因为所以bAB2c = 2，( )= 1- 1- =ll，=1，l ，c=1-b =所以双曲线中al ，x2y2- =1故双曲线方程

17、为.1- l l故选：A.【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程，双曲线的定义，余弦定理，属于基础题.9ABD【分析】1 1 0求出 ， 关系，再根据 ， 关系判断选项是否正确.a ba b首先根据【详解】由题知a b1 1 0，a b所以b a 0，( ) -,0对于 A 选项，由于 y x2在 x上单调递减， a 022所以当b时，可以得到a b ，故 A 正确， a2对于 B 选项，因为b故 B 正确，不等式两边同乘负数b 得ab b ， a 0，所以| a | + | b |=| a + b |对于 C 选项，因为b故 C 错误， ( ) -,0= x3 x在对于 D 选项，由于 y上单

18、调递增， a ，故 D 正确，a3b3故选：ABD.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性判断函数值的大小，不等式的基本性质，属于基础题.10ACD【分析】根据选项的边角关系，结合正弦定理，判断选项是否为直角三角形.【详解】sin A+sin B = sinC(cos A+cosB)，对于 A 选项，a +b = c(cos A+ cosB)，利用正弦定理角化边有ccosB +bcosC + acosC +ccos A = c(cos A+cosB)，整理得有(a +b)cos C = 0，p+ b 0，所以cosC = 0 C =因为 a，2故选项 A 正确，对于 B 选项，可知当三角形为等边

19、三角形时，等式同样成立，故选项 B 错误，B a + ccos2 =对于 C 选项，根据半角公式有，22ccos B +1 a + c= ccos B = a ccos B = ccos B + bcosC，22cp整理得bcosC = 0 C =，2故选项 C 正确，cos B -bcos A = c对于 D 选项，a，因为在任意的三角形中都有acosB +bcos A = c，cos B = c acos B = acos B +bcos A所以两式相加可得a， p整理得bcos A = 0 A =，2故选项 D 正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，属于基础题.11

20、BD【分析】首先求出点 的轨迹方程，然后分类讨论，即可判断出选项是否正确.P【详解】( )x, y设点 坐标P，( )a a 0，因为直线，的斜率乘积为常数PNPMyyxy22= a - =1，所以x + 3 x -39 9a可知当a= -1，轨迹为圆，( ) ( )a -,-1 -1,0当当，轨迹为椭圆，( )a 0,+x，轨迹为双曲线，且焦点在 轴上，8x对于 A 选项，点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，且焦点的距离为 ，由轨迹方程知，椭圆的长轴长为6 ，长轴长小于焦距，这样的椭圆不存在，故 A 错误，y8对于 B 选项，点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，且焦点的距离为 ，6，短轴长为 ，由轨迹方

21、程知，椭圆的长轴长为6 -a25有9a = 9 +16 a = -，故 B 正确，98x对于 C 选项，点的轨迹为焦点在 轴上的双曲线，且焦点的距离为 ，6由轨迹方程知，双曲线的实轴长为 ，虚轴长为6 a，7有16 = 9 + 9a a =，故 C 错误，9y对于 D 选项，点的轨迹为焦点在 轴上的双曲线， x但题中轨迹方程焦点在 轴上，故满足条件的非零常数a 不存在，故 D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，双曲线的定义，点的轨迹方程，属于一般题.12ABD【分析】Scn根据题中递推公式，求出 ， ，数列的前 项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.nn【详解】(n 3,n

22、N)*a = a + a对于 A 选项，因为斐波那契数列总满足，nn-1n-2= a a，所以 a212 1( )= a a = a a -a = a a -a a，aa222222312 32 1( )= a a = a a - a = a a - a a，33 33423 43 2()a2= a a = a a -a = a a -a a类似的有，nnnnn+1n-1nn+1nn-1+ a + a + + a = a a累加得 a2122232，nnn+1S = a + a + a + + a + a = a a = a + a a由题知21222322n+12n+1，n+1nn+1n+2

23、n+1n故选项 A 正确，= a a = a - a a = a - a对于 B 选项，因为a，11231342a = a - a类似的有，nn+1n-1a + a + a + +a = a + a - a = a -1累加得，123nnn+12n+2故选项 B 正确，= a a = a - aa = a - a，对于 C 选项，因为a，11342564a = a - a类似的有，2n-12n2n-2a + a + +a = a + a - a = a累加得，132n-112n22n故选项 C 错误， a2p=对于 D 选项，可知扇形面积c，n4n( )p p a2()a24 c -c = 4

24、-=p a -a =pa a故n-122，n44nn-1nn-1n-2n+1故选项 D 正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题.13特称命题假【分析】根据含有量词的命题的真假判断即可得到结论【详解】解：命题 p ，含有特称量词$ ，是特称命题，为假命题2 + 2 + 5 = 0 ，xx所以 D = 22 - 415 = -16 0，方程无实数解，命题为假命题故答案为：特称命题；假【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定以及命题的真假判断，属于基础题1143【分析】四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1，即可求出 x 的值.【详解】11= xOA

25、 + OB + OC已知OM且 M，A，B，C 四点共面，3311 1+ + =1则 x，解得 x=3 33【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，向量共面定理的推论：对空间内任一点 P 与不共线的三点= xOA+ yOB+ zOC ,A,B,C 共面的充要条件是，存在唯一的有序数组x,y,z，使得OP 且 x+y+z=1，其中 O 为空间内任一点.3152【解析】 x - y - m0x -（2m + 2 p）x + m = 0，设 A（x，y），（B x ，y ），：由 得则22y22px1122x + x = 2m + 2 p；l：x - y - m = 0C：y2 = 2 p（x p0）

26、的焦点又直线经过抛物线12p（ ，0），2ppm = - 0 - m = 0，解得22pp3AB |=（x + ）+（x + ）= x + x + p = 2m + 3p = 4p = 6， p = 又|即答案为 .2221212321610-3 11【解析】 a的前 项之和为3 11，故要求a100，可先求数列99a的前 100 项之分析：知道数列nn+ a = n +1- n -1a + a = 2 - 0 a + a = 4 - 2， ，和.由条件a可得nn+11234a + a = 6 - 4a + a = 100 - 98，以上式子相加可求得5699100S = a + a + a

27、+ + a = 100 =10，再根据a = S - S =10-3 11即可求得10012310010010099结果+ a = n +1- n -1详解：由 a可得nn+1a + a = 2 - 012a + a = 4 - 234a + a = 6 - 456a + a = 100 - 9899100= a + a + a + + a = 100 =10以上各式相加可得S100123100 = S - S =10-3 11a99 项之和为3 11，所以a因为数列的前n10010099点睛：（1）知道数列的前n 项之和S , a S a求 注意 与 之间的关系nnnnS,n =1a = 1

28、S - S ,n 2nnn-1（2）数列求和问题，注意求和的方法有：裂项抵消、错位相减法、倒序相加、公式法17（1）根据两角和差的公式，以及诱导公式来得到证明p（2）3【解析】ppa(p 2b) 2b= - -D，即可化简得证；（2）在 ADC 中，=-试题分析：（1）由题意得22由正弦定理得sin b = 3 sina，在由（1）中sina + cos 2b = 0，可求得方程2 3 sin b - sin b - 3 = 0b，即可求解角 的值.2pppa(p 2b) 2b= - -sina sin(2b)cos 2b，=-=- = -试题解析：（1）如图：即sina + cos 2b =

29、 0，222.DADC（2）在中，由正弦定理得3DCDCACDC=sin = 3 sinab，sina sin(p - b)sina sin b由（1）得sina = -cos 2b，sin b = - 3 cos 2b = - 3(1- 2sin b)2332 3 sin b - sin b - 3 = 0，解得sin b =sin = -b即或223pp30 b b =，所以sin =b.，232考点：正弦定理；三角恒等变换.49= +(0 x 20)；18（1） yx2400 - x2（2）存在，该点到城市 A 的距离4 10时，总影响度最小； 【分析】（1）根据“垃圾处理场对城A的影响

30、度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4，对城 的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比，比例系数为k ”，建立函数BB4k= +(0 x 20)= 0.065，求得k 即可模型： y，再根据当 =10 2时，y.xx 400 - x22( )5 x + 320492()（2）总影响度最小，即为：求 = +=0 20 的最小值时yxx 400- x-x + 400x22425y =230400的状态，令t = x2 + 320 ，将函数转化为：，再用基本不等式求- t +1040t解.【详解】4k= +(0 x 20)，（1）由题意得 yx 400 - x22y= 0.065又

31、 当 =10 2时，x49(). = +0 20k = 9 ， yxx 400 - x22( )5 x + 320492()（2） = +=0 20 ，yxx 400- x-x + 400x224251=()yt = x +320 320,720 230400 216令，则，- t +1040t当且仅当t= 480，即 x =4 10时，等号成立，弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城 A和城 的总影响度最小.BAB【点睛】本题主要考查了函数模型的建立和应用，主要涉及了换元法，基本不等式和转化思想，属于中档题.19（）b= 3n +1;（）T = 3 2nn+2nn【详解】 a = S -

32、S试题分析：（1）先由公式求出数列a的通项公式；进而列方程组求数列bnnn-1nn ( )b的通项公式；（ ）由（1）可得2c = 3 n+1 2 1n的首项与公差，得数列n+ ，再利用“错n cn的前 项和.Tn位相减法”求数列n 2a = S - S =6n + 5，试题解析：（1）由题意知当n时，nnn-1=1时，a = S =11，所以a = 6n + 5当 n11n b设数列的公差为d ，na = b + b11= 2b + d由2 ，即，可解得b d= 4, = 3，111= b + b17 = 2b + 3d1a2231所以b= 3n +1n( )6n + 6n+1( )= 3

33、n +1 2c =n= c + c + c + + c，得Tn（2）由（1）知n+1 ，又( )3n + 3123nn( )Tn= 3 22 + 32 + 42 + n +1 2 234n+1，( )2T = 3 22 + 32 + 42 + n +1 2 345n+2 ，两式作差，得n( )4 2 -1( )n( )-T = 3 22 + 2 + 2 + + 2 - n +1 2 = 3 4+- n +1 2 = -3n2234n+1n+2n+2n+22 -1n= 3n2所以Tn+2nn考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前 项和.【易错点晴】n本题主要考

34、查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前 项和，属n于难题. “错位相减法”求数列的前 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1- q.3 220（） y2 = 4x （）2【分析】 （）联立l 和C ，利用D = 0即可求得 p ，从而得到抛物线方程；（）设直线 为 = +1，m x tyy + y = 4tx+ x与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求1212(

35、 )M 2t +1,2tA, B l到 距离之和等于点 到l 的距离的2 倍，可将所M得 AB 中点2；利用点求距离变为关于t 的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.【详解】: x - y +1 = 0: = 2- py + p = 022（）将l与抛物线C ypx联立得： y22D = 4p -8p = 0= 2与C 相切，解得： pl2抛物线C 的方程为： y2 = 4x（）由题意知，直线 斜率不为0 ，可设直线 方程为： x= ty +1mm = 42yx- 4ty - 4 = 0联立 得： y2x = ty +1( ) ( )A x , yB x , y+ y = 4tx x ty + = +1+ +1 = 4