2022年高考数学圆锥曲线专题复习.资料.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥曲线一、学问结构 1. 方程的曲线 在平面直角坐标系中,假如某曲线 C看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一 个二元方程 fx,y=0 的实数解建立了如下的关系：1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 线叫做方程的曲线 . . 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲点与曲线的关系如曲线 C的方程是 fx,y=0,就点 P0x0,y0 在曲线 C上fx0,y 0=0 ；点 P0x 0,y 0 不在曲线 C上fx0,y 0 0f 1x,y=0,f2x,y=0,就两条曲线的交点如曲线

2、C1,C2的方程分别为 f1x 0,y 0=0 点 P0x0,y0 是 C1,C2的交点名师归纳总结 方程组有 f2x 0,y 0 =0 n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线第 1 页,共 30 页n 个不同的实数解,两条曲线就有就没有交点 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2. 圆圆的定义：点集： M OM=r,其中定点O为圆心,定长r 为半径 . 圆的方程：1 标准方程 圆心在 ca,b ,半径为 r 的圆方程是圆心在坐标原点,半径为x-ax2+y-b2=r2r 的圆方程是2+y2=r22 一般方程x2+y当 D 2+E

3、2-4F 0 时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2E2-4F. 配方 ,将 方程叫 做圆 的一 般方 程,圆心为 -D ,-2E ）,半 径是 222+Dx+Ey+F=0化为x+D 22+y+E 22=D2E2-4F4当 D 2+E 2-4F=0 时,方程表示一个点-D ,-2E ; 2点 M在圆 C内,当 D 2+E 2-4F 0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系已知圆心Ca,b,半径为 r, 点 M的坐标为 x 0,y 0 ,就MC r点 M在圆 C内, MC =r点 M在圆 C上, MC r其中 MC=x0-a2y0-b2. 3 直线和圆的位置关系 直线和圆有相

4、交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交 有两个公共点 直线与圆相切 有一个公共点 直线与圆相离 没有公共点 直线和圆的位置关系的判定 i 判别式法ii利用圆心 Ca,b 到直线 Ax+By+C=0的距离 d=AaA2BbC与半径 r 的大小关系来判B2定. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. 椭圆、双曲线和抛物线基本学问曲椭圆双曲线抛物线性线质轨迹条件M MF1 + MF2 M MF1- MF2. M MF=点 M 到=2a, F1F2 2a = 2a, F2F2 2a. 直线 l 的距离 .

5、 圆形标准方程x2+y2=1a b0 x2-y2=1a 0,b 0 y2=2pxp 0 a2b2a2b2名师归纳总结 顶点A1-a,0,A2a,0; A10,-a,A20,a O0,0 第 3 页,共 30 页B10,-b,B20,b 轴对称轴 x=0,y=0 对称轴 x=0,y=0 对称轴 y=0 长轴长： 2a 实轴长： 2a 虚轴长： 2b 短轴长： 2b 焦点F1-c,0,F2c,0 F1-c,0,F2c,0 FP ,0 2焦点在长轴上焦点在实轴上焦点对称轴上焦距 F1F2=2c,F1F2=2c, x=-p 2c=a2-b2c=a2b2准线x=a2x=a2cc准线与焦点位于顶点离心率准

6、线垂直于长轴,且在准线垂直于实轴, 且在两两侧,且到顶点的距离椭圆外 . 顶点的内侧 . 相等 . e=c ,0 e1 ae=c ,e 1 ae=1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 4. 圆锥曲线的统肯定义平面内的动点 Px,y 到一个定点 Fc,0 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 ee 0, 就动点的轨迹叫做圆锥曲线 . 其中定点 Fc,0 称为焦点,定直线l 称为准线,正常数 e 称为离心率 . 当 0e1 时,轨迹为椭圆,当 e=1 时,轨迹为抛物线当 e1 时,轨迹为双曲线5. 坐标变换名

7、师归纳总结 叫做坐标变换在解析几何中,把坐标系的变换 如转变坐标系原点的位置或坐标轴的方向第 4 页,共 30 页坐标变换 . 实施坐标变换时,点的位置,曲线的外形、大小、位置都不转变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. 换叫坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不转变,只转变原点的位置,这种坐标系的变做坐标轴的平移,简称移轴. 标系坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y ,在新坐x Oy 中的坐标是 x ,y . 设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy 中的坐标是h,k,就x=x+h x=x-h 1 或2 y=y+k y=y-k 公式 1 或2 叫做平移 或移轴

8、公式 .中心或顶点在 h,k的圆锥曲线方程见下表. 方程焦点焦线对称轴x-h2+y-k2=1 c+h,kx=a2+h x=h a2b2cy=k 椭圆x-h2+y-k2 =1 h, c+ky=a2+k x=h b2a2cy=k x-h2-y-k2=1 c+h,k=a2+k x=h a2b2cy=k 双曲线y-k2-x-h2=1 h, c+hy=a2+k x=h a2b2cy=k y-k2=2px-h p +h,k 2x=-p +h 2y=k 抛物线y-k2=-2px-h -p +h,k 2x=p +h 2y=k x-h2=2py-k h, p +k 2y=-p +k 2x=h x-h2=-2py

9、-k h,- p +k 2y=p +k 2x=h - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、学问点、才能点提示 一 曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点说明在求曲线方程之前必需建立坐标系,然后依据条件列出等式进行化简. . 特殊是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满意已知条件,只有这样求出的曲线方程才能精确无误. 另外,要求会判定曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程 .椭圆的简洁几何性质 .椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程 .双曲线的简洁几何性质；.

10、抛物线及其标准方程 .抛物线的简洁几何性质；考试要求：. 1把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,懂得椭圆的参数方程；. 2把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质；. 3把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质；. 4明白圆锥曲线的初步应用；四对考试大纲的懂得 高考圆锥曲线试题一般有 3 题 1 个挑选题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 , 共计 22 分左右 , 考查的知识点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 挑选题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较简洁得分,解答题常作为数学高考中的压轴题,

11、综合考查同学数形结合、等价转换、分类争论、规律推理等诸方面的才能,重点考名师归纳总结 查圆锥曲线中的重要学问点, 通过学问的重组与链接, 使学问形成网络, 着重考查直线与圆锥第 5 页,共 30 页曲线的位置关系, 往往结合平面对量进行求解,在复习应充分重视；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转 化、分类争论、规律推理、合理运算及创新思维才能,解决好这类问题,除要求娴熟把握好 圆锥曲线的定义、性质外,命题人仍经常将它与对称问题、弦长问

12、题、最值问题等综合在一 起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法 . “ 先定形,后定式,再定量” 的步骤 . 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采纳 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 . 定式 依据 “形 ”设方程的形式, 留意曲线系方程的应用,坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny2=1m0,n0. 如当椭圆的焦点不确定在哪个定量 由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 【例题】【例 1】 双曲线x2y2=1bN的两个焦点F 1、 F2,P 为双曲线上一点,24b|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF 2|成等比数列,就b

13、 2=_. 解：设 F 1c,0）、F 2c,0、Px,y,就名师归纳总结 |PF 1| 2+|PF2|2=2|PO|2+|F 1O| 2252+c2, AB 恰第 6 页,共 30 页即|PF 1| 2+|PF 2| 250+2c2, 又 |PF 1| 2+|PF2|2=|PF 1|PF2|2+2|PF1| |PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|PF2|=4, 依已知条件有 |PF1| |PF2|=|F 1F 2| 2=4c216+8c250+2c 2,c217 , 3又 c2=4+b 217 ,b 325 ,b 2=1. 3【例 2】 已知圆 C1 的方程为x22y1220,椭圆 C

14、2的方程为3x2y21ab0 ,C2 的离心率为2 ,假如 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 222ab为圆 C1 的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2 的方程；解：由e2,得c2,a22 c2,b2c2.y2a2x设椭圆方程为x2y21.A22 b2b设A x 1,y 1. B x2,y 2. 由圆心为2 1, .C1又x 1x 24,y 1y2.2,1F2OF1B2 x 12 y 1,12 x 22 y 22b2b22 b2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两式相减,得2 x 1bx2 22 y 1b2y2 20.学习必备欢迎下载2

15、2名师归纳总结 x 1x2x 1x22 y 1y 2y 1y 20,第 7 页,共 30 页又x 1x24.y 1y2.2 得y 1y 21 .x 1x2直线AB的方程为y1x2 .即yx3将yx3代入x2y2,1得2b2b23 x212x182b20.直线AB与椭圆C2相交.24b2720.由AB2x 1x22x 1x224x 1x220.3得224b27220.33解得b2.8故全部椭圆方程x2y21 .168【例 3】 过点 1,0的直线 l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为2 的椭圆 C 2相交于 A、B 两点,直线y=1x 过线段 AB 的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关

16、于2直线 l 对称,试求直线l 与椭圆 C 的方程 . 解法一：由e=c2,得a2a2b21,从而 a2=2b 2,c=b. a22设椭圆方程为x 2+2y2=2b2,Ax1,y1,Bx2,y2在椭圆上 . 就 x1 2+2y12=2b 2,x2 2+2y22=2b2,两式相减得,x12 x2 2+2y12y2 2=0,y 1y2x 1x2.x 1x22 y 1y2设 AB 中点为 x0,y0,就 kAB=x 00, Byy=1x2y1 又x0,y0在直线 y= 21 x 上, y0= 2x0, 2于是x 00=1,kAB=1, F2oF 1x2y设 l 的方程为 y=x+1. A右焦点 b,

17、0关于 l 的对称点设为 x ,y,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就xyb1b1解得x1b学习必备欢迎下载yxy122由点 1,1b在椭圆上,得1+21b 2=2b 2,b 2=9,a29. 2 k2. , 168所求椭圆C 的方程为8 x216y2=1,l 的方程为 y=x+1. 99解法二：由e=c2,得a2a2b21,从而 a2=2b 2,c=b. a22设椭圆 C 的方程为 x2+2y 2=2b 2,l 的方程为 y=kx1, 将 l 的方程代入C 的方程,得 1+2k 2x24k 2x+2k22b 2=0, 就 x1+x2=14k22,y

18、1+y2=kx1 1+kx21=kx1+x2 2k=12k2k直线 l：y=1 x 过 AB 的中点 2x 12x2,y 12y 2,就1k212k22 k212 k2解得 k=0,或 k=1. 名师归纳总结 如 k=0,就 l 的方程为 y=0,焦点 Fc,0关于直线 l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,第 8 页,共 30 页所以 k=0 舍去,从而k=1,直线 l 的方程为 y=x1,即 y=x+1,以下同解法一 . 解法 3：设椭圆方程为x2y21 ab0 12 ab2直线 l 不平行于 y 轴,否就 AB中点在 x 轴上与直线y1x 过AB中点冲突；2故可设直线l的方程为y

19、k x1 2 2代入 1消y 整理得：k2a2b2x22k2a2xa2k2a2b203 设A x 1,y1Bx2,y2,知：x 1x2k2 k2a222a2b又y 1y2kx 1x22k 代入上式得：kx 12 kx 21,k2 kk2a2ab21,kkb21,又e222k222ka222k2b22a22c222e21,直线l的方程为y1x,a2a此时a22b2,方程3化为3x24x22b20,16241b28 3 b21 0b3,椭圆C的方程可写成：x22y22b24 ,又c2a2b2b2,3右焦点F ,设点F关于直线l的对称点x0,y0,- - - - - - -精选学习资料 - - -

20、- - - - - - 就y0b102bx01,y01b学习必备欢迎下载x0,y01x2又点 1,b 在椭圆上,代入 4 得：112 1b2 b2,b33,43b29,a29168x2y2所以所求的椭圆方程为：99816【例 4】 如图,已知 P1OP2 的面积为27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直 4名师归纳总结 线 OP1、 OP2 为渐近线且过点P 的离心率为13 的双曲线方程 . 2. x第 9 页,共 30 页解：以 O 为原点, P1OP2 的角平分线为x 轴建立如下列图的直角坐标系设双曲线方程为x2y2=1a0,b0 y22P2ab由 e 2=c21b2132,得

21、b3. a2a2a2两渐近线OP1、OP2 方程分别为y=3 x 和 y= 2 3 xP设点 P1x1,3 x1,P2x2, 2 3 x2x1 0,x20, oP1就由点 P 分P 1P 2所成的比 =P 1P=2, PP 2得 P 点坐标为 x132x2,x 12x 2, 2又点 P 在双曲线x24y2=1 上,29 a2a所以x 192x22x192x22=1, a2a2即x1+2x22x1 2x2 2=9a2,整理得 8x1x2=9a 2又|OP 1|x 129x 1213x 1|,OP|x229x2213x24242sinP 1OP 212tanP 1Ox23122tan2P 1Ox1

22、1394SP 1OP 21|OP 1|OP 2|sinP 1 OP 2113x 1x21227,224134即 x1x2=92- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由、得a2=4,b 2=9 学习必备欢迎下载故双曲线方程为x2y2=1. x21 ab0 上一动点 P 引圆 O：x2 +y2 =b2 的两条切线49【例 5】 过椭圆 C：y2a2b2PA、PB,A、B 为切点,直线AB 与 x 轴, y 轴分别交于M 、N 两点； 1 已知 P 点坐标为x0,y0 并且 x0y0 0,试求直线AB 方程； 2 如椭圆的短轴长为2 28,并且| OM a| 2

23、 | ON b| 2 16 25,求椭圆 C 的方程； 3 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线相互垂直？如存在,请求出存在的条件；如不存在,请说明理由；解： 1设 Ax1,y1,Bx2, y2 切线 PA：x 1 x y 1 y b 2,PB：x 2 x y 2 y b 22 2P 点在切线 PA、PB 上,x 1 x 0 y 1 y 0 b x 2 x 0 y 2 y 0 b直线 AB 的方程为 x 0 x y 0 y b 2 x 0 y 0 0 2 22在直线 AB 方程中,令 y=0,就 M b,0；令 x=0,就 N0,b x 0 y 02 2 2 2 2 2|

24、 OM a| 2| ON b| 2 ab 2 a y 02 xb 02 ab 2 16 25 2b=8 b=4 代入得 a 2 =25, b 2 =16 2 2椭圆 C 方程：y x 1 xy 0（注：不剔除 xy 0,可不扣分）25 163 假设存在点 Px0,y0满意 PAPB,连接 OA、OB 由 |P A|=|P B| 知,四边形 PAOB 为正方形, |OP|= 2 |O A| x 0 2y 0 22b 2又 P 点在椭圆 C上a 2x 0 2b 2y 0 2a 2b 22 2 2 2 2由知 x 20 b a2 22 b , y 0 2 a2 b2a b a bab0 a 2 b

25、20 1当 a 2 2b 20,即 a 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P点向圆所引两切线相互垂直；名师归纳总结 2当 a 2 2b20,即 ba2 b 时,椭圆 C 上不存在满意条件的P 点第 10 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 6】 已知椭圆学习必备欢迎下载3 ,0）,点 F1 到相应的准线的C 的焦点是F1（3 ,0）、F2（距离为3 ,过 F2 点且倾斜角为锐角的直线 3l 与椭圆 C交于 A、B 两点,使得 |F 2B|=3|F 2A|. （ 1）求椭圆 C的方程；（2）求直线 l 的方程 . 解：（ 1）依题意

26、,椭圆中心为O（0, 0）,c3F1yAlx点 F1 到相应准线的距离为b23,b2331,c3a 2=b2+c 2=1+3=4 所求椭圆方程为x2y21P4（2）设椭圆的右准线l 与 l 交于点 P,作 AM l ,AN l ,M垂足OF 2N分别为 M 、 N. 由椭圆其次定义,得|AF 2|e|AF 2|e|AM|B|AM|同理 |BF 2|=e|BN| 由 Rt PAM Rt PBN,得|PA|1|AB|2|F2A|2e|AM| 9 分. |BC|PBCB.2cosPAM|AM|12133l的斜率ktanPAM2|PA|2e32|PC直线 l 的方程y2x3即2xy60【例 7】 已知

27、点 B（ 1,0）,C（1,0）,P 是平面上一动点, 且满意（1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（2）已知点 A（m,2）在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C的两条弦 AD 和 AE,且 ADAE,判定：直线 DE是否过定点？试证明你的结论 . （3）已知点 A（m,2）在曲线 C上,过点 A 作曲线 C的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、名师归纳总结 k2满意 k1k2=2.求证：直线|DE过定点,并求出这个定点. 1x ,化简得y24x.第 11 页,共 30 页解：（1）设Px,y代入PC|BC|PBCB 得x12y2- - - - - - -精选学习资料 - -

28、- - - - - - - 2 将A m , 2 代入y24x 得m,1点学习必备,12 .欢迎下载A 的坐标为设直线AD的方程为y2kx1 代入y24 x,得y24y84,0,2 .kk由y 12 可得y24,2D4,142 .kk2k2 .同理可设直线AE:y21x1 ,代入y24x 得E4 k2,14 kk就直线DE方程为:y4 k244kx4 k21 ,化简得k4k24kk2y2 kx5y2 ,0即y2kk1x5 ,过定点,52 .2 3 将Am,2代入y24x 得m,1设直线DE的方程为ykxb ,Dx 1 ,y 1,Ex 1,y 1 由y2kxxb 得k2x22kb2 xb20,y

29、4kADkAE2 ,y 12y 222x 1,x21 ,x 11x 21k且y 1kx 1b,y2kx2bk22x1x2kb2k2x 1x2b2 22,0将x 1x22kb2,x 1x2b2代入化简得b2k22,bk22kbk2.2 .舍去,将bk2代入ykxb得ykxk2kx12,过定点,1将b2k 代入ykxb 得ykx2kkx12,过定点 ,12,不合定点为,12233,直线 l 过 A（a,0）、【例 8】 已知曲线x2y21a0,b0 的离心率e22abB（0, b）两点,原点O 到 l 的距离是3.2（）求双曲线的方程；名师归纳总结 （）过点B 作直线 m 交双曲线于M、N 两点,

30、如OMON23,求直线 m 的方程 . 第 12 页,共 30 页解：（）依题意,l方程xy,1即bxayab0,由原点 O 到 l 的距离ab为3 ,得aabb2ab3又ec233b,1 a322c2a故所求双曲线方程为x2y213（）明显直线m 不与 x 轴垂直,设m 方程为 y=kx 1,就点 M 、N 坐标（x 1, y 1）、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （x 2, y2）是方程组ykx2学习必备欢迎下载1的解x2y13消去 y,得 13 k2x26kx6036k1,x 1x23 k61依设,13 k20 ,由根与系数关系,知x 1x 2k22OMONx 1,y1x2,y2x 1x 2y 1y2x 1x 2kx 11 kx 21=1k2x 1x2kx1x 21=6 12k26k2113k13 k2=3 k6111 22OMON233k611= 23,k=2当 k=1 时,方程有两个不等的实数根 2故直线 l 方程为y1x,1或y