2022年高考数学专题三角函数与向量.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略考点如下：1考查三角式化简、求值、证明及求角问题. . 2考查三角函数的性质与图像,特殊是y=Asin x+ 的性质和图像及其图像变换3考查平面对量的基本概念,向量的加减运算及几何意义,此类题一般难度不大,主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等 . 4考查向量的坐标表示,向量的线性运算,并能正确地进行运算 . 5考查平面对量的数量积及运算律 包括坐标形式及非坐标形式 ,两向量平行与垂直的充要条件等问题 . 6考查利用正弦定理、余弦定懂得三角形问题 . 【典例分析】题型一 三角函数平移

2、与向量平移的综合三角函数与平面对量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个学问系统中讲法不尽相同,但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 .解答平移问题主要留意两个方面的确定：1平移的方向； 2平移的单位 .这两个方面就是表达为在平移过程中对应的向量坐标 . 【例 1】把函数 ysin2x 的图象按向量 a 6, 3平移后,得到函数 yAsin xA0, 0,| | 2的图象,就 和 B 的值依次为（）A12, 3 B3,3 C3, 3 D 12,3 【分析】依据向量的坐标确定平行公式为 xx 6,再代入已知解析式可得 .仍可以由yy 3向量的坐标得图象的两个平移过程,由此

3、确定平移后的函数解析式,经对比即可作出挑选 . 【解析 1】由平移向量知向量平移公式 x x 6,即 xx 6,代入 y sin2x 得 y 3y y3 yy 3sin2x 6,即到 ysin2x33,由此知3,B 3,应选 C. 【解析 2】由向量 a6, 3,知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体向左平移 6个单位, 再向下平移 3 个单位, 由此可得函数的图象为 ysin2x63,即 ysin2x 33,由此知3,B 3,应选 C. 【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、解决问题的综合应用才能,同时考查方程的思想及转化的思想的地方是确定平移的方向

4、及平移的大小 . 题型二 三角函数与平面对量平行 共线 的综合.此题解答的关键,也是易出错名师归纳总结 此题型的解答一般是从向量平行共线 条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载用三角函数的相关学问再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解 .此类试题综合性相对较强,有利于考查同学的基础把握情形,因此在高考中常有考查 . 【例 2】已知 A、B、C 为三个锐角,且 ABC .如向量 p 22sinA,cosAsinA与向量 q cosAsinA,1sinA是共线

5、向量 . （）求角 A；C3B（）求函数 y2sin 2Bcos 2 的最大值 . 【分析】第一利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得 A 角的正弦值,再依据角的范畴即可解决第 小题； 而第 小题依据第 小题的结果及 A、B、C三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式,再依据 B 的范畴求最值 . 【解】（） p 、q 共线, 22sinA1sinAcosAsinAcosAsinA,就 sin 2A3 4,3又 A 为锐角,所以 sinA2,就 A3. C 3B 3B3B（） y2sin 2Bcos 22sin 2Bcos 22sin 2Bcos32B1

6、cos2B1 2cos2B2 sin2B 32 sin2B1 2cos2B1 sin2B61. B0,2, 2B66,5 6 , 2B62,解得 B3, ymax 2. 【点评】此题主要考查向量共线平行 的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .此题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）依据条件确定 B 角的范畴 .一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范畴就显得至关重要了 . 题型三 三角函数与平面对量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是第一利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三

7、角问题,再利用三角函数的相关学问进行求解 .此类题型解答主要表达函数与方程的思想、转化的思想等 . 【例 3】已知向量 a 3sin ,cos ,b 2sin ,5sin 4cos , 32,2 ,且a b （）求 tan 的值；名师归纳总结 （）求 cos 23的值 的三角方程,再利用同角三角函第 2 页,共 5 页【分析】第小题从向量垂直条件入手,建立关于数的基本关系可求得tan 的值；第 小题依据所求得的tan 的结果,利用二倍角公式求得tan 2的值,再利用两角和与差的三角公式求得最终的结果- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解】学习必备欢迎下

8、载 , 5sin4cos ,（） a b ,a b 0而 a （3sin ,cos ）,b 2sin故a b 6sin 25sin cos 4cos 20由于 cos 0, 6tan 25tan 40解之,得 tan 3,或 tan 1 2（3 2,2）,tan 0,故 tan 1 2（舍去） tan 4 3（） （3 2,2）, 2（ 3 4,）由 tan 4 3,求得 tan 2 1 2,tan 22（舍去） sin 25,cos 2 2 5,5cos 23cos 2cos3 sin 2sin3 2 55 12552 2 510 15【点评】此题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基

9、本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数 .同时此题两个小题的解答都涉及到角的范畴的确定,再一次说明白在解答三角函数问题中确定角的范畴的重要性 .同时仍可以看到第（）小题的解答中用到“弦化切 ”的思想方法,这是解决在一道试题中同时显现“ 切函数与弦函数”关系问题常用方法 . 题型四 三角函数与平面对量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质 |a | 2a 2,假如涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解；坐标,再利用向量的坐标运算进行求解 . （ 2）先将向量的坐标代入向量的【例 3】已知向量 a cos ,sin,b cos ,sin,|a b

10、| 25 5.求 cos 的值； 如 202,且 sin 5 13,求 sin 的值 . 【分析】利用向量的模的运算与数量积的坐标运算可解决第 小题；而第 小题就可变角 ,然后就须求 sin与 cos 即可 . 【解】 |a b | 25 5, a 22a b b 24 5,将向量 a cos ,sin,b cos ,sin 代入上式得1 22coscos sinsin 1 24 5, cos 3 5. 202, 0,由 cos3 5,得 sin4 5,又 sin5 13, cos12 13,sinsin sincos cossin33 65. 点评： 此题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、

11、和角公式、同角三角函数的基本关名师归纳总结 系.此题解答中要留意两点：1化|a b | 为向量运算 |a b |2a b 2；2留意解 的第 3 页,共 5 页- - - - - - -0 精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载范畴 .整个解答过程表达方程的思想及转化的思想 . 题型五 三角函数与平面对量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：1三角函数与向量的积直接联系；2利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合 角函数学问求解 . .解答时也主要是利用向量第一进行转化,再利用三【例 5】设函数 fxa b. 其中向量 a m,cosx,b 1 si

12、nx,1,xR,且 f22.（）求实数 m 的值；（）求函数 fx的最小值 . 分析： 利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的 “数量关系 ” ,从而,建立函数 fx关系式,第（）小题直接利用条件 f22 可以求得,而第 小题利用三角函数函数的有界性就可以求解 . 解：（） fxa b m1sinxcosx,由 f22,得 m1sin2cos22,解得 m 1. 由（）得 fx sinx cosx12sinx41,当 sinx4 1 时, fx的最小值为 12. 点评： 平面对量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等学问都可以与三角函数进行交

13、汇 .不论是哪类向量学问与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,第一都是利用向量的学问将条件转化为三角函数中的 求解六、解斜三角形与向量的综合“数量关系 ”,再利用三角函数的相关学问进行在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量学问来推导的,说明正弦定理、余弦定理与向量有着亲密的联系.解斜三角形与向量的综合主要表达为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标,要求依据向量的关系解答相关的问题 . 【例 6】已知角 A、B、C为 ABC的三个内角,其对边分别为 a、b、c,如m cos A2,sin A2,n cos 2,sinA 2, a2 3,且 m n 12（）如 ABC的面积 S3,求

14、bc 的值（）求 bc 的取值范畴【分析】第小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程,再利用二倍角公式求得 A 角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b、c 的方程组求取 bc 的值； 第小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于 B 的三角函数式,进而求得 bc 的范畴 . 【解】（） mcos A 2,sinA 2,n cos 2, sinA 2,且 m n 12, cos 2A2sin 2A 2 1 2,即 cosA1 2,又 A0, , A2 3 . 名师归纳总结 又由 S ABC1 2bcsinA3,所以 bc4,第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习

15、资料 - - - - - - - - - 由余弦定理得：a2b2c学习必备欢迎下载2,故 b c4. 22bccos2 3b2c2bc, 16bc（）由正弦定理得：b sinBsinC a sinA 2 2 3sin 34,又 BC A3,bc 4sinB4sinC4sinB 4sin3 B4sinB3,名师归纳总结 0B3,就 3B32 3,就3 2sinB3 1,即 bc 的取值范畴是23,4 . 第 5 页,共 5 页点评 此题解答主要考查平面对量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答此题主要有两处要留意：第小题中求bc没有利用分别求出b、c 的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答；2第小题的求解中特殊要留意确定角B 的范畴 .- - - - - - -