2022年龙文家教传授高中数学基础知识归类3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学基础学问归类献给 一. 集合与简易规律20XX年高三 理科 考生1. 留意区分集合中元素的形式 . 如： x y lg x 函数的定义域； y y lg x 函数的值域； x y , | y lg x 函数图象上的点集 . 2. 集合的性质：任何一个集合 A是它本身的子集 , 记为 A A . 空集是任何集合的子集 , 记为 A . 空集是任何非空集合的真子集；留意 : 条件为 A B , 在争论的时候不要遗忘了 A 的情况 如：A x | ax 2 2 x 1 0 , 假如 A R , 求 a 的取值 . 答：a 0

2、 C U A B C A C B , C U A B C A C B ；A B）C A（B C）；（A B）C A（B C）. A B A A B B A B C B C A A C B C A B R . A B 元素的个数：card A B cardA cardB card A B . 含 n 个元素的集合的子集个数为 2 n；真子集 非空子集 个数为 2 n 1；非空真子集个数为n2 2 . 3. 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题；如： 已知函数fx4x22p2x2p2p1在区间1 1,上至少存在一个实数c , 使fc0, 求实数 p 的取值范畴 . 答：3 3, 2p

3、q；逆否命题 : qp；互为4. 原命题 : pq；逆命题 : qp；否命题 : 逆否的两个命题是等价的. 如：“sinsin” 是“” 的条件 . 答：充分非必要条件 5. 如 p q 且 q p , 就 p 是 q 的充分非必要条件 或 q 是 p 的必要非充分条件 . 6. 留意命题 p q 的 否定 与它的 否命题 的区分 : 命题 p q 的 否定 是 p q ； 否命题 是p q . 命题“p 或 q ” 的否定是“p 且 q ” ；“p 且 q ” 的否定是“p 或 q ” . 如：“ 如 a 和 b 都是偶数,就 a b 是偶数”的否命题是“ 如 a 和 b 不都是偶数 , 就

4、 a b 是奇数”否定是“ 如 a 和 b 都是偶数 , 就 a b 是奇数”. 7. 常见结论的否定形式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 原结论否定学习必备欢迎下载否定原结论是不是至少有一个一个也没有1个都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有n小于不小于至多有 n 个至少有n1个对全部 x , 成立存在某 x , 不成立p 或 qp 且q对任何 x , 不成立存在某 x, 成立p 且 qp 或q二. 函数1. 映射 f : A B 是： “ 一对一或多对一” 的对应；集合 A 中的元素必有象

5、且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象；集合 B中的元素不肯定有原象 即象集 B . 一一映射 f : A B： “ 一对一” 的对应； A中不同元素的象必不同 , B 中元素都有原象 . 2. 函数 f : A B 是特殊的映射 . 特殊在定义域 A和值域B都是非空数集！ 据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点 , 但与 y 轴垂线的公共点可能没有 , 也可能有任意个 . 3. 函数的三要素：定义域 , 值域 , 对应法就 . 争论函数的问题肯定要留意定义域优先的原就 . 4. 求定义域 : 使函数解析式有意义 如 : 分母 0; 偶次根式被开方数非负 ; 对数真数 0 , 底

6、数0 且 1；零指数幂的底数 0 ；实际问题有意义；如 f x 定义域为 , a b , 复合函数f g x 定义 域由 a g x b 解出；如 f g x 定义域为 , a b , 就 f x 定义域相当于x , a b 时 g x 的值域 . 5. 求值域常用方法 : 配方法 二次函数类 ；逆求法 反函数法 ；换元法 特殊留意新元的范畴 . 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数 , 运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合： 依据函数的几何意义 , 利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用） ：导数法 一般适用于高次多项式函数 . 6. 求函数解析式的常用方法：待定系数

7、法 已知所求函数的类型 ； 代换 配凑 法；方程的思想 -对已知等式进行赋值,从而得到关于 f x 及另外一个函数的方程组；7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载像法等； 如 f x 是 偶 函 数 , 那 么 f f x f | x ； 定 义 域 含 零 的 奇 函 数 必 过 原 点 f 0 0 ；f x 判定函数奇偶性可用定义的等价形式：f x f x 0 或 1 0；f x 复合函数的奇偶

8、性特点是：“ 内偶就偶,内奇同外”. 留意： 如判定较为复杂解析式函数的奇偶性, 应先化简再判定；既奇又偶的函数有很多个 如 f 0 定义域关于原点对称即可 . 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法 用于小题 等. 复合函数单调性由“ 同增异减” 判定. （提示：求单调区间时留意定义域）如： 函数 y log x 22 x 的单调递增区间是 _. 答： 1,2 28. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移 -“ 左加右减” （留意是针对 x 而言）；上下平移-“ 上加下减” 留意是针对 f x

9、而言 . 翻折变换：f x | f x |；f x f | x | . 对称变换：证明函数图像的对称性 , 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图像上 . 证明图像 C 与 C 的对称性 , 即证 C 上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在C 上 , 反之亦然 . 函数 y f x 与 y f x 的图像关于直线 x 0 y 轴 对称；函数y f x 与函数 y f x 的图像关于直线 y 0 x 轴 对称；如函数 y f x 对 x R时,f a x f a x 或 f x f 2 a x 恒成立 , 就 y f x 图像关 于直线 x a 对称；如 y f x 对 x R时, f

10、 a x f b x 恒成立 , 就 y f x 图像关于直线 x a b2对称；名师归纳总结 函数yf ax ,yyf bx 的图像关于直线xb2a对称 由 axbx 确定 ；第 3 页,共 25 页函数yf xa与f bx 的图像关于直线xa2b对称；函数yf x ,yAf x 的图像关于直线yA对称 由yf x Af x 确定 ；22 函 数yf x 与yfx的 图 像 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ； 函 数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yf x ,ynf mx学习必备欢迎下载的图像关于点m n 对称；2 2函数 y f x 与函数

11、y f 1 x 的图像关于直线 y x 对称；曲线 C ：f x y , 0 , 关于y x a , y x a 的对称曲线 C 的方程为 f y a x a 0 或 f y a , x a 0；曲线 C ：f x y , 0 关于点 , a b 的对称曲线 C 方程为：f 2 a x ,2 b y 0 . 9. 函数的周期性：如 y f x 对x R时 f x a f x a 恒成立 , 就 f x 的周期为2| a ；如 y f x 是偶函数 , 其图像又关于直线 x a 对称 , 就 f x 的周期为 2| a ；如 y f x 奇函数 , 其图像又关于直线 x a 对称 , 就 f x

12、 的周期为 4| a ；如 y f x 关于点 ,0 , ,0 对称 , 就 f x 的周期为 2| a b ； y f x 的图象关于直线 x a , x b a b 对称 , 就函数 y f x 的周期为 2| a b ； y f x 对 x R 时, f x a f x 或 f x a 1, 就 y f x 的周期为 2 | a ；f x n10. 对数： log a b log a n b a 0, a 1, b 0, n R ；对数恒等式 a log aN N a 0, a 1, N 0； log a M N log a M log a N ;log a M log a M log

13、a N ;log a M nn log a M ；Nlog a nM 1 log a M ；对数换底公式 log a N log b N a 0, a 1, b 0, b 1；n log b a推论：log a b log b c log c a 1 log a 1 a 2 log a 2 a 3 log a n 1 a n log a 1 a . 以 上 M 0, N 0, a 0, a 1, b 0, b 1, c 0, c 1, a a 2 , a n 0 且 a a 2 , a 均 不 等 于1 11. 方程kf x 有解akD D 为f x 的值域 ；af x 恒成立af x 最大值

14、, af x 恒成立f x 最小值. 12. 恒成立问题的处理方法：分别参数法 最值法 ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“ 两看名师归纳总结 法” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；c a0；顶点式：第 4 页,共 25 页14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：f x ax2bx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x a xh2k a0学习必备欢迎下载x 1xx 2a0. ； 零点式：f x a x15. 一元二次方程实根分布 : 先画图再争论

15、0、轴与区间关系、区间端点函数值符号 ; 16. 复合函数：复合函数定义域求法：如 f x 的定义域为 , a b , 其复合函数 f g x 的定义域可由 不等式 a g x b解出；如 f g x 的定义域为 , a b , 求 f x 的定义域,相当于x , a b 时, 求 g x 的值域；复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定 . 17. 对于反函数 , 应把握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数 也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性； y f x 与 y f 1 x 互为反

16、函数 , 设 f x 的定义域为 A, 值域为B, 就有 f f 1 x x B , f 1 f x x x A . 18. 依据单调性 , 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范畴问题：f u g x uh x 0 或0 aubf a 0或f a 0 ；f b 0f b 019. 函数yaxb c0,adbc 的图像是双曲线：两渐近线分别直线xd 由分母为零cxdc确定 和直线ya 由分子、分母中x 的系数确定 ；对称中心是点d, ac；反函数为ccybdx；cxab a0,b0：增区间为,b,b, 减区间为,b,0,0,b. 20. 函数yaxxaaaa如：已知函数f x ax1

17、在区间 2, 上为增函数 , 就实数 a 的取值范畴是_ 答：x21 ,2 . 三. 数列名师归纳总结 1. 由S 求 na ,anS n1n2,nN*留意验证1a 是否包含在后面a 的公式中 , 如不符第 5 页,共 25 页S nS n1合要单独列出 . 如：数列 a n满意a 14,S nS n15an1,求a 答：a n4 n3 4n1 1 n2. 32. 等差数列ana na n1d d 为常数 2a nan1an1n2,nN*a nanb ad ba1dS nAn2Bn Ad,Ba 1d；22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 等差数列

18、的性质：anamn学习必备d欢迎下载；m d ,a manmnamnlkamana la 反 之 不 一 定 成 立 ； 特 别 地 , 当mn2p 时 , 有man2 a ；,仍是等差如 an、 bn是等差数列 , 就 ka ntb n k 、 t 是非零常数 是等差数列；等差数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列” 即S m,S 2mS m,S 3 mS 2 m数列；等差数列 an, 当项数为 2n 时, S 偶S 奇nd,S奇奇an1；项数为 2n1时, f2n1. S偶anS 偶S 奇a 中annN*,S 2 n12n1 a , 且Snn1；A nf n a n偶B nb nS首项为正

19、 或为负 的递减 或递增 的等差数列前n 项和的最大 或最小 问题 , 转化为解不等式a n100 或an100. 也可用S nAn2Bn 的二次函数关系来分析. . mn ；aa nn如a nm amn mn , 就amn0；如S nm S mn mn , 就S m n如S mS mn , 就 Sm+n=0； S3m=3S2m Sm ；S m nS mS nmnd . 4. 等比数列ana n1q q0a2a n1 an1n2,nN*a na qn1a nn5. 等比数列的性质ana qn m,qn man；如 a n、 b n是等比数列,就ka n、 a b n等也是等比数am列；名师归纳

20、总结 Snna1 qn1a1anqq1na1qq11a1q1；mnlka a na a 反之第 6 页,共 25 页a11qa1n1q1qq1q不肯定成立 ；S mnS mm q S nS nn q S . 等比数列中S m,S 2mS m,S 3 mS 2m, 注：各项均不为0 仍是等比数列. 等比数列an当项数为2n 时 ,S偶q；项数为2n1S奇时,S奇偶a 1q. S6. 假如数列 an是等差数列 , 就数列 A a na An总有意义 是等比数列； 假如数列 an是等比- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数列 , 就数列 loga|an|a0,

21、a1学习必备欢迎下载是等差数列；如 an既是等差数列又是等比数列, 就 a n是非零常数数列；假如两个等差数列有公共项, 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；假如一个等差数列和一个等比数列有公共项 ,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列, 由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法：a d a a d ；四个数成等差的设法：a 3 , d a d a d a 3 d ；三个数成等比的设法：a , , a aq；四个数成等比的错误设法：a3, a, aq aq 为什么？ 3q q q7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项

22、公式；等比数列通项公式 . S 1 , n 1已知 S 即 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作差法：a n . S n S n 1 , n 2f 1, n 1已知 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作商法：n a n f n , n 2 .f n 1如 a n 1 a n f n 求 a 用迭加法 . 已知 a n 1f n , 求 a 用迭乘法 . a n 已 知 数 列 递 推 式 求 a n , 用 构 造 法 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ： 形 如na n ka n 1 b, a n ka n 1 b ,a n ka n 1 a n b k b 为常数 的递推

23、数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后 , 再求 a . 形如 a n a n 1的递推数列都可以用“ 取倒数法” 求通项 . ka n 1 b8. 数列求和的方法：公式法：等差数列, 等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；名师归纳总结 错位相减；分裂通项法.公式：12n n33n1n2n 1 ；1 第 7 页,共 25 页22 122322 n1n n12n1；13 13 23 3nn n；62135nn2； 常 见 裂 项 公 式111n11；1k1 kn1nk；n nnn n1n1111 n1n2；nn1.1112n n1n.n1.12nn1. 常见放缩公式：2n1nn2

24、n121nnn9 “ 分期付款”、“ 森林木材” 型应用问题- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. 但在求解过程中,务必“ 卡手指”,这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题细心运算“ 年限”. 对于“ 森林木材” 既增长又砍伐的问题, 就常选用“ 统一法” 统一到“ 最后” 解决 .利率问题： 单利问题： 如零存整取储蓄 单利 本利和运算模型： 如每期存入本金p 元 ,每期利率为r , 就 n 期后本利和为：S np1rp12 p 1nrp nn n1r 等2差数列问题） ；复利问题： 按揭贷款的分期等额仍款 复利 模型：如贷款 向

25、银行借款 p 元 ,采纳分期等额仍款方式, 从借款日算起, 一期 如一年 后为第一次仍款日, 如此下去 , 分 n 期仍清. 假如每期利率为r （按复利）,那么每期等额仍款x 元应满意：p1rnx 1rn1x 1rn2x 1rx 等比数列问题 . 四. 三角函数1.终边与终边相同2 kkZ；终边与终边共线kkZ ；01终边与终边关于 x 轴对称kkZ；终边与终边关于 y轴对称；2kkZ；终边与终边关于原点对称2kkZ终边与终边关于角终边对称22kkZ. 12. 弧长公式：l|r ；扇形面积公式：S 扇形1lr1 2|r2； 1弧度 1rad 57.3 . 23. 三角函数符号 “ 正号” 规律

26、记忆口诀： “ 一全二正弦 , 三切四余弦”.留意：tan15cot 7523；tan75cot1523；4. 三角函数同角关系中 八块图 ：留意“ 正、余弦三兄妹0122sinxcosx 、 sinxcosx ” 的关系 . 11112如sinxcos 212sinxcosx等 . 20015. 对于诱导公式 , 可用“ 奇变偶不变,符号看象限” 概括；sincossincos 留意：公式中始终视为锐角6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角名师归纳总结 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. ； 2xcot ；22；第 8 页,共 25 页如：； 2222等；“ 1” 的变换

27、：1sin2x2 costanxx2sin30tan 45；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 重要结论：asinxbcosxa2b2学习必备欢迎下载b）；重要公式sin21cos 2；sinx其中 tana22 cos1cos2；|cos2sintan2221cossin1cos2,0kZ；21cos1cossinsin222| . 1sincos2万能公式：sin 22tan2；cos21tan；tan212tan2. ；21tan1tantan8. 正弦型曲线yA的对称轴kkZ ；对称中心 ksinxx余弦型曲线yAcosx的对称轴xkkZ；

28、k,0kZ；对称中心9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿 忘 三 内 角 和 等 于 180aAbBcC2R ；sinsinsin, 一 般 用 正 、 余 弦 定 理 实 施 边 角 互 化 ； 正 弦 定 理 ：余弦定理：a2b2c22bccos ,cosAb2c2a2bc2a21；,2SABC；2 bc2 bc正弦平方差公式：sin2Asin2BsinABsinAB ；三角形的内切圆半径rabc面积公式：S1absinCabc；射影定理：abcos CccosB . 24R10.ABC中,易得：ABCsinAsinBC,cosAcos B

29、C,tanAtanBC. sinAcosB2C ,cosAsinB2C ,tanAcotB2C . abABsinAsinB222锐角ABC 中,AB2, sinAcos ,cosAcosB ,a2b22 c , 类比得钝角ABC 结论. tanAtanBtanCtanAtanBtanC . 0,2；二面角和两向量的夹角0, ；11. 角的范畴： 异面直线所成角0,2；直线与平面所成角直线的倾斜角0, ；1l 到2l 的角 0, ；1l 与2l 的夹角0,2 . 留意术语 : 坡度、仰角、俯角、方位角等 . 五. 平面对量名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 25 页精选学习

30、资料 - - - - - - - - - 1.设ax y 1,b学习必备欢迎下载1a/bx y 2x y 10；x 2,y 2. 名师归纳总结 2aba b0x x 2y y 20. 第 10 页,共 25 页2. 平面对量基本定理： 假如1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对该平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数1、2 , 使a1e 12e . 3. 设ax 1,y 1,bx 2,y2, 就a b|a b | | cosx x2y y ；其几何意义是a b 等于 a 的长度 与 b 在 a 的方向上的投影的乘积；a 在 b 的方向上的投影|a| cosa bx x 2y

31、 y 2. |b|2 x 22 y 24. 三点 A 、 B 、 C 共线AB 与 AC 共线；与 AB 共线的单位向量|AB|. AB5. 平面对量数量积性质：设ax y 1,bx 2,y 2, 就cos|a b2 x 1x x 2y y 22 y 2；注a| |2 y 12 x 2意 :a b为 锐 角a b0,a b 不 同 向 ；a b为 直 角a b0；a b为 钝 角a b0,a b 不反向 . 6. a b 同向或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ； a b 反向或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ； a b 不共线|a|b|ab| |a|b . 7. 平面对量数量积的坐标表示：如ax y 1,bx 2,y 2, 就a bx x 2y y ；|AB|x 1x 22y 1y 22；如a , x y , 就a2a ax22 y . 8. 熟记平移公式和定比分点公式. 当点 P 在线段P 1P 2上时 ,0 ；当点 P 在线段P 1P 2 或P 2P 1 延 长 线 上 时 ,1 或10 . 分 点 坐 标 公 式 ： 如PPPP 2； 且P 1x 1,y ,P x y , P x 2,y2；就xx 1x 21, 中点坐标公式：xx 12x 21.