2022年高观点下的几何学练习题及参考答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高观点下的几何学练习题参考答案一一、填空题；1公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题和完备性问题 ；2公理法的结构是原始概念的列举、定义的表达、 公理的表达和定理的表达和证明；3仿射变换把矩形变成 平行四边形4仿射变换把平行线变成 平行线5仿射变换把正三角形变成 三角形二、简答题；1试给一个罗氏几何的数学模型；答：罗氏几何的Cayley-F.kLein模型在欧氏平面上任取一个圆,把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“ 平面”；罗氏平面几何的原始概念说明成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦两个端点除外,它们可称为无穷远点；结合关系：圆内

2、原先的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上,将圆 K变成自身的射影变换；罗氏平行公理在罗氏平面上通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交；2试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的F.KLein 模型黎曼几何的原始概念说明成：黎氏点：欧氏球面上的点,但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面；黎氏点与黎氏直线的基本关系：1 通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；2 通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；3 每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上；黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交；3简

3、述公理法的基本思想；答：假设干个原始概念包括元素和关系、定义和公理一起叫做一个公理体系,构成了一种几何的基础；全部元素的集合构成了这种几何的空间；在这个公理体系的基础上,每个概念都必需给出定义,每个命题都必需给出证明, 原始概念、 定义、公理和定理依据规律关系有次序地排列而构成命题系统规律结构,这就是公理法思想；4简述公理系统的独立性答：假如一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明,即不时其余公理的推论,就称这跳公理在公理系统中是独立的；假如一个公理系统中的没一条工理都是独立的,就称这个公理系统是独立的；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - -

4、- - - - - - 5试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知,欧几里得几何原本是演绎体系的里程碑,虽然它不尽完善,但它的确是建立科学演绎 体系的最早的代表作,它一经问世,就引起了学术界的广泛关注,欧几里得之后的数学家们在对几何原 本的讨论过程发觉,它的第五公设的内容不象前四条公设表达的那么简洁,同时它又是在其次十九条命 题之后才显现的,于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理,而是一条命 题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性,在这种论证过程中,罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的 无冲突的科学演绎体系,即罗氏及何与黎曼几何,这两种几何与欧氏几何有共同的肯定几何公

5、理体系,只 是平行公理不同；6简述公理系统的完备性；答：假如公理系统的全部模型都是同构的,就称这个公理系统是完备的,或称其具有完备性；7简述公理系统的相容性；答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的全部构成要素是无冲突的；任何一个公理系统都要满意无冲突性；证明公理系统的相容性常用的方法是模型法；三、挑选题；1三角形内角和等于180 度与 A C椭圆几何平行公设等价D不A欧氏平行公理等价B罗氏平行公理等价可判定2欧氏几何与非欧几何的本质区分为 A D结合公理不同A平行公设不同B结合公理相同C肯定公设不同3设点A B C 共线,且在仿射变换下分别变成A B C ,就A B C 三点 A A共线 B

6、三角形顶点 C 可能不共线 D可能重合4正方形在仿射变换下变成 B A正方形 B平行四边形 C菱形 D矩形5正方形的以下性质中哪些是仿射的 1,4 1对边平行；2四角相等； 3四边相等； 4对角线相互平分；5对角线相互垂直； 6角被对角线平分； 7对角线相等； 8面积6在仿射对应下,哪些量不变？ C,D A长度 B角度 C单比 D交比四、运算与证明题；1求出将点 3,1变成点 1,3的绕原点的旋转变换,再将所得的变换用于抛物线y2x8y180上；解：设所求的旋转变换为名师归纳总结 xxcosysin第 2 页,共 8 页yxsinycos- - - - - - -精选学习资料 - - - -

7、- - - - - 就2于是所求的旋转变换为xxy即xyyyx将此变换用于所给的抛物线得x28 y 180；xy10和xy10,且点 1,1 的象为原点；2 试确定仿射变换,使y 轴、 x 轴的象分别为直线解：所求变换的公式为所以x1x1y1h1xk其中110y2x2y2221y10与xy 10表示同始终线；就x0变成直线1x1y10但由题设x0变成xy 10可知,1111111h因此hxxy 11,1,所以,所求变换的逆式为同理kyxy 1此处h k 是参数；又由于点 1,1的象为原点,于是xxy 1y y 1由此得出所求的仿射变换为xxyy2x8y180变成什么曲线？22yxy1223求出

8、将点 2,3 变成点 0, 1 的平移变换,在这个平移变换下,抛物线解：设所求的平移变换为xxayyb将已知对应点的坐标代入上式得于是a2, 012ab3b4所以所求的平移变换为xx2即xx2yy4yy4将此变换用于所给的抛物线上名师归纳总结 即y2x0y42x28y4180第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4求仿射变换x7xyy14的二重直线；y4x2解：设所求的不变直线为ByC0AxByC0A B 不同时为 0即在所给的变换下,AxByC0对应Ax由于AxByCA 7xy1B4x2y4C7A4 B xA2 B yA4BC7A4

9、BA 1所以A2BB 2A4 BCC 3消去A B C 得7401200141绽开化简得172410解得1,3,6B0,因此不对应不变直线,分别将3,6 代入 1, 2,3得由于当1时,AAB ,C3B和A4 , C02所以不变直线为2x2y30和4xy05证明,直线AxByC0将两点P x 1,y 1与P 2x2,y 2的连线段分成的比是Ax 1By1C；Ax2By2C6求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线；证明：设二直线1l 和2l 交于 P 点, P 点在影消线上,1l 和2l 经射影对应,对应直线为1l和2l,就 P 点对应无穷远点；2l由于射影对应保持结合性不变,所以 P 的对

10、应点是1l和2l的交点, 即无穷远点, 也就是1l ；二名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题；1设共线三点A0,2 ,B2,0,C1,1,就 ACB 2 ；2假如两个向量线性相关,就它们的位置关系是共线或平行,夹角为0或线性相关3空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面,空间中的四个向量肯定4设 a 与 b 是两个非零向量,假设a 与 b 线性相关,就a b0；5已知向量ax x 1 2,x 3,by 1,y 2,y 3,就 a 与 b 之间的内积a bx y 1 1x y 2 2x y 3 3二、挑选题；1以

11、下性质或量中哪些是仿射的 1 ,3,4,8 1线段的中点；2角的平分线； 3交比；4点偶的调和共轭性5角度6三角形的面积7两相交线段的比8两平行线段的比9对称轴 10对称中心2设 a 与 b 是两个非零向量,假设 a b 0,就 B ；A a与 b 平行 B a 与 b 垂直 C a 与 b 线性相关 D a 与 b 的夹角为3设 a 与 b 是两个非零向量,就以下结论正确的选项是 A ；A a b a b B a b a b C a b a b D a b a b4以下说法错误的选项是 B ,C A平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；C平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行B平面上两个

12、向量线性无关当且仅当它们垂直 D 平面上的三个向量肯定线性相关5设 a 与 b 是两个非零向量,假设ab0,就 A, C Aa 与 b 平行B a 与 b 交角为锐角；Ca 与 b 线性相关Da 与 b 的夹角为2三、运算与证明题；名师归纳总结 1设平面上的点变换1；1和2分别由1:xx12y3和2:x y7xy表示,求1 12；y2x5y1x22 11；3 24 21；23即2x3 xy第 5 页,共 8 页xxy2x解：12y2xy 5x21y7x2y9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假设求1 1 ,只需从1中求出 x,y 即可；所以11:xy2

13、x7y5x2y1721:xx2y3y2x5y1 1:1xyx3y42yx23 2,即2yx2y5假设求21,只需从2 中求出x,y即可,所以2:xy2xy2求线坐标1,0,1 所表示的直线方程；0解： 1,0,1 表示直线x 1x 30或x103求线坐标1,1, 1 所表示的直线方程；解： 1,1, 1 表示直线x 1x2x 30或xy14求线坐标2,2,2 所表示的直线方程；y10解：22,2表示直线x 1x2x30或x5求线坐标0,1,1 所表示的直线方程；解： 0,1,1 表示直线x2x30或y106试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边；证明：设ABC为等腰三角形,记ABa ACb

14、 ,就 BCba ,并设中线ADm ,见图Aa bmBDC名师归纳总结 m1a1b1ab第 6 页,共 8 页222上式两端同 ba 做内积,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m ba1abba1b21a2,222依据已知条件ABAC ,即 ab ,所以m ba0,即 AD BC ；7证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换；证明：设在使二向量内积不变的仿射变换下,点A变成点 A ,点 B 变成点 B ,就d2A,BBAB2A ,ABABABAB2 ABd2A ,B 所以dA,dB d 表示两点间的距离 ；由于这个变换保持两点间的距离不变,因此它是正

15、交变换8试用向量法证明：半圆的圆周角是直角；证明：设 O 为半圆的圆心,AB 为直径, C 为半圆上任意一点,见图,Cca要证明ACBB,取 OAOaAOA OB OC 都是圆的半径,所以2a ,就 OBa ,设 OCc ,由于c ,由图有BCca ACcac2a20BC ACca ca所以BC AC ,即ACB29假设存在,求以下各点的非齐次坐标名师归纳总结 1 3,5,32.0,1,0 ；第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：1 .存在,设x 1,x2,x 33,53 ,就这个点的非齐次坐标为x ,yx 1,x 23,5；x

16、3x 3332.不存在,由于无穷远点没有非齐次坐标；10假设存在,求以下各点的非齐次坐标1 0,5, 6 ,2 1,8,0 ；x ,yx1,x20,5；解： 1 .存在,设x1,x2,x 30 5,6 ,就这个点的非齐次坐标为x3x362.不存在,由于无穷远点没有非齐次坐标；11假设存在,求以下各点的非齐次坐标1 0,1,0 , 2 0,8, 6 ；解：1不存在,由于无穷远点没有非齐次坐标；2存在；设x 1,x2,x 3y20,8,E6,就这个点的非齐次坐标为 , x yx 1,x20,4；x 3x312将二次曲线2 x2xy2xy0化简成标准型；3解：A1,B1, C1,D1,1, F021运算不变量I1AC2,I2ABACB20BCI3ABD1111111BCE24DEF11022判别类型I20,I30,说明曲线为抛物线3化方程为标准方程：名师归纳总结 由于B0,方程可化简成I x 122II3y第 8 页,共 8 页1即2x221y8化简得x21y8- - - - - - -