江苏省南通市2020-2021学年高二上学期教学质量调研(二)数学试题.docx

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1、 江苏省南通市 2020-2021 学年高二上学期教学质量调研（二）数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题= -1，则该抛物线的标准方程为（）1已知抛物线的准线方程为 y= 2yy = 2x2x = 4y2y2 = 4xDA x2BC+ my =1xm的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 的值为（2椭圆 x2）21A41BC2D42x2a2y23已知双曲线-=1(a 0,b 0) 的左顶点 和右焦点 F 到其一条渐近线的距离之Ab2比为1: 2，则该双曲线的渐近线方程为（）13y = 2x= xyD = 3xA yBC = yx23- A B C DB O A D与4在正方体

2、ABCD成的角的大小为（A30中，AC 与相交于点O，则异面直线所BD111111）B45 C D90 60x2y2+=1表示椭圆”的（C充要5“ -1 DlA 2 2Bl 3Cll22xy (b)228设 F ， F 是椭圆C: + =1 a b 0的左，右焦点，过 直线l 垂直于 x 轴F121a22, B的直线与椭圆交于 A 两点，若ABF是等边三角形，则该椭圆的离心率是（）212336ABCD323xy22: + =19在平面直角坐标系xOy 中，已知点 为椭圆C的动点，记点 到到直PP9 81l : x + y - 5 = 0dld的距离为 ，到椭圆左准线 的距离为 ，则+ dd1线

3、（的最小值为311222）A3 2B2 2C2D 2y2(-2,-3)是右焦点为 F 的双曲线 x - =1 (b 0)上一点，若双曲线上10已知点 M2b2P,Q存在两点，使得 MPQ 的重心恰好为右焦点 F ，则直线 PQ 方程为（）4x + 2y -19 = 04 - 2y -13 = 0B xAC16x + 2y - 67 = 0D16x - 2y - 61= 0xy22: + =111已知椭圆C的右焦点为 F ，若过 F 的直线l 与椭圆 交于 A、B两点，C4 3AF则BF的取值范围是（）1111,3,3,2A ,2BCD4 32460，AB = 212已知四边形 ABCD是菱形，

4、BAD=，将菱形 ABCD沿对角线BD1的余弦值为 ，则四面体翻折后，二面角 A- BD-CABCD的外接球的表面积为（）36A5pB pC7pD8p二、填空题 : x 0， x的否定是_- sin x 013命题 py14已知抛物线x2 = 2py( p 0) 的焦点为 F ，其准线 与 轴交于点 ，若抛物线上一lQP(4,t)= 2PF ，则实数t 的值为_点满足 PQ- ABCDABCD AB / /DC ， ，AB BC，15如图，在四棱锥 P中，已知 PD 底面PD = AB = BC = 2CD = 2，则点 A到平面 PBC 的距离为_xy22P,Q是椭圆 上的两个动点，且: +

5、 =116已知椭圆CPQ = 2 ，则当三、解答题的右焦点为 F ，设C23 2PF + QFPQF的周长为_取得最大值时，222x2y2:y= x + mx与焦点在 轴上的椭圆+ =16 mq:无公共点，命题 方17已知命题 p 直线x2y2-= 1表示双曲线程m - t m - t - 2（1）若命题 是真命题，求实数 的取值范围；pm（2）若命题 是命题 的充分不必要条件，求实数 的取值范围pqt- A B C DAA = 2ABDD，且 点 为 的中点18如图，在正四棱柱 ABCD中，已知P111111 BD / /（1）求证：直线平面PAC ；1B P 1（2）求证：平面PACy22

6、、- =1y19已知双曲线 x的左、右顶点分别为 A B，焦点在 轴上的椭圆以 A B为432顶点，且离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点 A的直线 交双曲线右支于另一点 M ，交椭圆于另一点 N ，记，ABMlS , S1S = 2S1的面积分别为，若，求直线 的斜率lABN22- A B C= 2= 4 AA = 3，AC ，20如图，在直三棱柱 ABC是线段 的中点.中，已知 AB AC ，AB.1111DBC（1）求直线DB与平面 AC D所成角的正弦值；111B - A D - C（2）求二面角的大小的余弦值.111中，曲线 上的动点M(x, y)(x 0)到点 F(2,0)

7、C的距离比21在平面直角坐标系xOy到直线 x= -1的距离大 1 （1）求曲线C 的方程；M(t,0)(t 0)A, B（2）设过点的动直线l 与曲线C 交于两点，是否存实数t ，使得11+AM BM为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由222xy22: + =1(a b 0)22在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C的离心率为，2a2b2且椭圆C 短轴的一个顶点到左焦点 的距离等于2F（1）求椭圆C 的方程；P(2,0), B的直线l 交椭圆C 于 A（2）设经过点两点，弦的中垂线l交 轴于点xAB( ,0)M x0求实数 x 的取值范围；0= MF若 MA，求实数 x 的

8、值0 参考答案1C【分析】= -1y，可知抛物线的焦点在 轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为根据准线方程为 yx = 2 py ，根据准线方程求出 p 的值，代入即可得到答案.2【详解】( )y由题意可知抛物线的焦点在 轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2 = 2py p 0，抛物线的准线方程为 y= -1，p=1， p = 2，2= 4y，抛物线的标准方程为： x2故选： .C【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，属于基础题.2D【分析】1=1 b， 2=m，求出a ， 的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得 值由题意可得a2.bm【详解】+ my =1x的焦点在 轴上，椭

9、圆 x2211=1 b， 2= a2，则 a =1，b，mm1又长轴长是短轴长的两倍，2 = 4= 4，即 m ，m故选： .D【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，是基础的计算题.3D【分析】 = 2a由双曲线方程得渐近线方程和 A，F 坐标，利用点到直线距离公式和距离之比求得c，b利用a ， ，c 的关系求得 的值，从而求得渐近线方程.ba【详解】( ) ()b= xaA -a，0F c，0，由双曲线方程可得渐近线为： y，ababd =1=则点 A到渐近线距离：，ca2+b2bc+bd =2= b点 F 到渐近线距离：，a22双曲线的左顶点 A和右焦点 F 到一条渐近线的距离之比为1: 2

10、，abcc a-b22:b =1: 2= 2，即：c a ，则 = 3 ，aa双曲线渐近线方程为： y = 3x,故选： .D【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，涉及到点到直线距离公式，属于中档题.4A【分析】OB CB C1A D B C/B O A D与连结，是异面直线所成角或补角，由此利用余弦定理11111能求出结果.【详解】B C1A D B C/连结，11OB CB O A D与是异面直线所成角或补角，111ABCD - A B C D设正方体中棱长为 2，11112= 4+ 2 = 6BC ，= 2 2=BO则OC，11B O + B C -OC6 +8- 22 6 2 23，2

11、222cosOB C =112 B O B C 111OB C = 301 B O A D所成角的大小为30 ，异面直线与11故选： .A【点睛】B O A D所成角的大小的求法，解题时要注意余弦定理的合理运本题主要考查异面直线与11用，属于基础题.5B【分析】根据椭圆的方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】x2y2+=1表示椭圆，若方程则满足m +1 3- m +1 0m3- m 0，m +1 3- m即 -1 3 且 m1，m此时 -1 3 成立，即必要性成立，mx2y2=1=1x + y =1等价为 2 为圆，不是椭+当 m时，满足-1 3 ，但此时方程2mm +1 3

12、- m圆，不满足条件即充分性不成立，x2y2+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故“ -1 0- ,0的左，右焦点，即F c，121a22b2a2 2bx = -c= 将代入到椭圆方程中可得 y，即 AB，aABF又是等边三角形，23 2b22c =，2a( )2ac = 3 a - c3 e + 2e - 3 = 0所以：22 ，即：，2( )e 0，13，解得e=，3故选： .A【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.9A【分析】1+ d = d + PF l，再利用几何意义当 PF 直线 时，利用椭圆的第二定义可得d31211d + PF1l.最小，最小

13、值为 F 到直线 的距离，利用点到直线的距离公式求出即可1【详解】( )如图，设 F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为F -1,0， PFd2131= d3= e =根据椭圆的第二定义可得，即 PF，21+ d = d + PF d，3121ld+ PFl最小，最小值为 F 到直线 的距离，当 PF 直线 时，111-1-51即d + d= 3 2，31+112min故选： .A【点睛】本题考查椭圆中表达式的几何意义的应用，考查转化思想与计算能力，将动点到准线的距离转化为到焦点的距离是解题的关键，属于中档题.10D【分析】( ) ( )(-2,-3)在双曲线上可得b，设P x , y Q x ,

14、y ，PQ、的中点为 ，PQ由点 M= 3G1122= kx + b，结合题意可得G 的坐标，再由 、Q 在双曲线上，利用“点差法”求P的方程为 y得直线 的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.l【详解】y2(-2,-3)- =1 (b 0)点 M是右焦点为 F 的双曲线 x2上一点，b294 - =1= 3，得bb2 y( )F 1,0，2x - =1即双曲线方程为，右焦点23( ) ( )P x , yQ x , yPQG PQ的中点为 ， 的方程为y = kx + b，设而、，1122( )M (-2,-3)，又 MPQ的重心恰好落在椭圆的右焦点上，2,0-2 + x + x-3+ y +

15、 y=2= 0，由重心坐标公式可得，12123332x + x = 8 y + y = 3PQG4,故，则的中点 为 ，12123x - y = 32121Q又 P 、 在双曲线上，3x - y = 32222( )( ) ( )( )3 x - x x + x - y - y y + y = 0两式相减可得，12121212y - yk = 8可得12，x - x1232PQG 4,又由直线过点 ，3( )，整理得：16x - 2y - 61= 0，y - = 8 x - 4则直线l 的方程是2故选：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线相交的位置关系、三角形的重心坐标公式，利用“点差法”求

16、出直线的斜率是解题的关键，属于中档题.11C【分析】x y( ) 22P x , y , x -2,2的到右焦点 F 的距离为C : + =1首先证明椭圆上的点4 30001PF = 2 - x2 0AFBFA, B，当分别为椭圆的顶点时取最值，进而可得结果.【详解】x y( )F 1,0，22C : + =1在椭圆中，4 3 ( ) x2y2x20y2P x , y , x -2,2: + =1+ =1，0设为椭圆C上任意一点，即4 34 3000( )3= 4 - x解得 y202 ，401( )= x -1 + y = 2 - x由两点间距离公式可知：PF220，200由上式可得当 为椭

17、圆的右顶点时，A最小，此时 AF= 2-1=1，AF当 为椭圆的左顶点时，B最大，此时 AF= 2+1= 3，BF1的最小值为 ，3AFBF此时AF同理可得的最大值为 3，BF1AF,3即的取值范围是，3BF故选： .C【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，得出“焦半径公式”是解题的关键，属于中档题.12B【分析】由菱形 ABCD中，连接 AC 和 BD交于O，求 出OA OC=3 - -，由二面角 A BD C 的1余弦值为 ，可得 AC= 2，即四面体 ABCD为棱长为 2 的正四面体求解可得表面积，将3正四面体补成一个正方体，求出正方体的外接球半径即可得结果.【详解】由题意，菱形

18、ABCD中，连接 AC 和 BD交于O， BDOA BD OC BD， ，可知 AC，即=2，OA = OC =3BAD = 60， AB，13AOC为二面角 A BD C 的平面角，即cosAOC =-，1AC = OA + OC - 2OAOC cosAOC = 3+ 3- 2 3 3 = 4由余弦定理可得：2223= 2即 AC,即四面体 ABCD为棱长为 2 的正四面体， 将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为 6 ，2正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，2= 4 =6p，6p外接球的表面积的值为S2故选： .B【点睛】本题主要考查球的表面积的求法，解题时

19、要认真审题，注意空间思维能力的培养，得到四面体 为是正四面体是解题的关键，属于中档题.ABCD$x 0x-sin 013【分析】，使得 x000由全称命题的否定为特称命题即可得结果.【详解】p : x 0， x-sin x 0，命题p :$x 0x-sin 0，x0，使得00$x 0x-sin 0.x，使得故答案为：【点睛】000本题主要考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题.142【分析】P= 2PF+ = 4过 作准线l 的垂线，垂足为M ，则PQ，于是t，代入抛物线方程计算P2p的值即可求出t 的值.【详解】过 作准线l 的垂线，垂足为M ，则PM = PF，P在 RtPQM中，

20、 PQ= 2PF PM ，= 2 PM = QM = 4，p P+ = 42P4,4 -t，把 2= 2 pyp = 4代入抛物线方程 x2故答案为：2.，解得， 4 2 2 ，t【点睛】本题考查点的纵坐标的求法，考查抛物线的简单性质、抛物线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题4 5155【分析】- ABCPBC的距离为h ，利用等体积法求出三棱锥 P的体积，设点 A到平面V= V，即可得出结果.P- ABCA-PBC【详解】 BC PD = AB = BC = 2CD = 2ABCD， AB ， PD 底面，11 1 PD = 222 =3 243=

21、SV，3P-ABCABC/ /DC， BC CD，BC PD， AB= D， BC PC ，且又CD PD=2 +1 = 5,PC22设点 A到平面 PBC的距离为h，11 1434 55=V= Sh = 2 5 h =V，解得，33 2P-ABCA-PBCPBC4 5，即点 A到平面 PBC的距离为5 4 55故答案为：【点睛】.本题主要考查了利用等体积法求点到面的距离，求出三棱锥的体积是解题的关键，属于中档题.16 4 3【分析】根据椭圆的定义可判断出当且仅当P,Q, F三点共线时，PF+ QF取得最大值，由此即可122求出结果.【详解】x2y2: + =13，=在椭圆C中， a3 2=

22、2 3 - PF QF = 2 3 -QF，由椭圆的定义可得 PF，2121()+ QF = 4 3 - PF + QF 4 3 - PQ = 4 3 - 2所以 PF，2211P,Q, F+ QF取得最大值，PF当且仅当三点共线时，1224a = 4 3此时 PQF 的周长，24 3故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17（1）3 m 6；（2）t 6 或t1 【分析】（1）由椭圆方程的特征知0 m 6，联立直线与椭圆的方程，根据 0列出不等式解出m即可得 的取值范围；qq（2）根据双曲线方程的特征得出 为真时对

23、应的 的取值范围，结合命题 是命题 的充mp分不必要条件列出不等式即可得结果.【详解】x2y2+ =1x的焦点在 轴上，0 m 6，（1）椭圆6 m又直线y = x + m与椭圆无公共点，x2y2 + =1( )m+ 6 x +12mx + 6m -6m = 022由 6 my = x + m得，( )( )D = -24m m-3 m+ 2 00 6mm ，3 6，结合，可得3 m 0m t +，解得m t2或q又命题 是命题 的充分不必要条件，p+ 2 3，解得 6 或t 1，t 6 或tt1t 6 .或t即实数 的取值范围t【点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法及其性

24、质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结BD交 AC 于点O，连接，易得O是 BD的中点，又点 是 DD 的中点，进PPO1而可知 PO/BD，利用线面平行的判定定理即可得结果；1（2）连结B O，设AA = 2AB = 2a，通过勾股定理得PB PO，再通过证明 AC 平111 AC面 BD D 来得到 B P，最后根据线面垂直判定定理即可得结果.11【详解】（1）如图所示：连结BD交 AC 于点O，连接，PO- A B C D因为四棱柱 ABCD为正四棱柱，1111所以四边形 ABCD是正方形，所以O是 BD的中点，/B

25、D又点 是 DD 的中点，所以 PO，P11而 BD 平面 PAC ， PO 平面 PAC ，1/所以直线 BD 平面 PAC ；1（2）连结B O1，设AA = 2AB = 2a，19= B P = 3aB O = a在三角形 PB O 中， PO2 ，2 ，2222111+ B P = B OPB PO所以 PO222 ，所以，111- A B C D为正四棱柱，所以 AC BD ， 平面 ABCD，B B 因为四棱柱 ABCDABCD，所以11111而 AC 平面AC BB，1 BB = BBD D1又 BD，所以 AC 平面，1B P AC因平面 BD D ，所以 B P，111= O

26、又 PO AC，所以 B P 平面 PAC .1【点睛】 本题主要考查了面面垂直的判定定理的应用，线面平行的判定定理的应用要求学生能对基础的定理能熟练记忆，属于中档题.2 33y219（1） x + = ；（2） = 1.2k4【分析】（1）由双曲线的性质可得 A的坐标，即可得椭圆中 的值，结合离心率可得a 的值，进而b可得结果.( )( ) ( )l : y = k x+1，分别将直线与双曲线的方程，M x , yN x , y（2）设，直线方程1122直线与椭圆的方程联立求得 x ， x 的值，根据面积关系可得 为 M 和 A的中点，即N12x -1= 2x，代入解出k 的值即可.12【详

27、解】( ) ( )A -1,0 B 1,0，y=1，所以在焦点在 轴上椭圆中b（1）由题意得c3又椭圆离心率e = =，结合a = b + c ，可得a= 2，222a2y2+ =1椭圆的方程为 x2.4( ) ( ) ( )M x , y 0,N x y， ，x（2）设，其中11122( )由题意可得直线斜率一定存在，故可设直线方程l : y = k x+1，y2( )x - =124- k x -2k x -k -4 = 04由 得2222，( )y = k x +1k + 4k + 422-1 x =x =1又，即，- 44 - k1k22y2( )+ x =1244 + 2k x k+

28、 - 4 = 0，由 得k x2222( )y = k x +1k - 44 - k22-1 x =x =2又，即，+ 4k + 42k22 S , S1S = 2S1，的面积分别为ABN，满足，ABM22x -1= 2x可得 N 为 M 和 A的中点，即，12k + 44 - k4 + k222-1= 2代入得，4 - k22 3= 解得 k3【点睛】本题主要考查了通过a,b,c的值求椭圆的方程，通过联立方程组求直线与曲线交点的坐标，得出交点横坐标的关系是解题的关键，属于中档题.3 35351306520（1）（2） -【分析】（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各

29、点坐标，利用方程组求面 AC D的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值11（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角B - A D -C的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.111【详解】ABC - A B C ACAA所在的直线因为在直三棱柱中，AB，所以分别以、ACAB1111y为 x 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，z则A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,4,0), A (0,0,3), B (2,0,3), C (0,4,3) ,11

30、1D(1,2,0)，因为 是D的中点，所以BC= (x , y , z )（1）因为 AC = (0,4,0), A D = (1,2,-3)，设平面 AC D的法向量n，111111111 x = 3n AC = 04y = 01则，即，取y = 0，1111x + 2y -3z = 0n A D = 01=1111z111所以平面 AC D的法向量 = (3,0,1) ，而DB= (1,-2,3) ，n1111n DB3 3535cos n , DB =11n DB所以，11113 35DB所以直线与平面 AC D所成角的正弦值为1；1351（2）=(2,0,0)， DB = (1,-2,3) ，设平面B A D1 1的法向量 = ( , , ) ，A B1nx y z112222x = 0