2022年高考数学导数的综合应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载其次轮专题复习：导数的综合应用（老师版） 高考在考什么【考题回放】2（ 06 江西卷） 对于 R 上可导的任意函数fx,如满意 x1 f x 0,就必有（C ）A f0 f2 2f1 B. f0 f2 2f1 C. f0f2 2f1 D. f0f2 2f1 解：依题意, 当 x 1 时,f x 0,函数 fx在（1,）上是增函数； 当 x 1 时,f x 0,fx在（,1）上是减函数,故fx当 x1 时取得最小值,即有f0 f1,f2 f1,应选 C 3（06全国 II ）过点（ 1,0）作抛物线 y=x2+x+1的切线,

2、就其中一条切线为（A ）2x+y +2=0 （ B）3x-y+3=0 （C）x+y+ 1=0 （D）x-y+ 1=0 解：y =2x+1,设切点坐标为 x0,y0,就切线的斜率为 2x0+1,且 y0=x0 2+x0+1 于是切线方程为 y-x0 2+x0+1=2 x0+1x-x0,由于点（ 1,0）在切线上,可解得x00 或 4,代入可验正 D 正确；选 D 4.（06 四川卷） 曲线 y=4x-x 3 在点 -1,-3处的切线方程是（A）y= 7x+ 4 （B）y=7x+ 2 （C）y=x- 4 （D）y=x- 2 解：曲线 y=4x-x3,导数 y =4-3x2,在点 -1,-3处的切线

3、的斜率为 k= 1,所以切线方程是 y=x- 2,选 D. 5.（06 天津卷） 函数 fx的定义域为开区间 a,b,导函数 f x在a,b内的图象如下列图,就函数 fx在 y y f x 开区间 a,b内有微小值点（）A1 个 B2 个bC3 个 D 4 个 a O x解析：函数 fx的定义域为开区间 a,b,导函数 f x在a,b内的图象如下列图,函数 fx在开区间 a,b内有微小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有 1 个,选 A. 6.（浙江卷） f x=x 3-3x 2+2 在区间 -1,1 上的最大值是A-2 B0 C2 D4 解： f x=3x 2-6

4、x=3xx-2,令 f x=0 可得 x0 或 2（ 2 舍去）,当 1 x 0 时, f x 0,当 0 x 1时, f x 0,所以当 x0 时, fx取得最大值为 2；选 C 9.（湖南卷） 曲线 y 1和 y=x 2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积x是 . 解析： 曲线 y 1和 y=x 2 在它们的交点坐标是 1, 1,两条切线方程分别是 y= x+2 和 y=2x 1,x它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 3. 4（安徽卷） 设函数 fx=x 3+bx 2+cx x R,已知 gx= fx- f x是奇函数；名师归纳总结 第 1 页,共 13 页- - - -

5、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（）求 b、c 的值；x（）求 gx的单调区间与极值；【 专家解答 】：（） fx=x 3+bx 2+cx, f x=3x 2+2bx+c .从而 gx= fx- f x=3+bx 2+cx -3x 2+2bx+c x 3+b-3x 2+c-2bx-c 是一个奇函数, 所以 g0=0 得 c= 0,由奇函数定义得b=3；（）由（）知gx=x3-6x,从而 g x=3x2-6,由此可知,2 和 2, 是函数 gx是单调递增区间；2,2 是函数 gx是单调递减区间；gx在x2时,取得极大值,极大值为4 2 ,gx在

6、x2时,取得微小值,微小值为4 2 ； 高考要考什么【考点透视】从近几年的高考命题分析,高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景,求导公式和求导法就；其次层次是导数的简洁应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的增减性等；第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题；【热点透析】导数综合试题 ,主要有以下几方面的内容 : 1. 函数,导数,不等式综合在一起 ,解决单调性,参数的范畴等问题 ,这类问题涉及到含参数的不等式 ,不等式的恒成立 ,能

7、成立 ,恰成立的求解 ; 2. 函数,导数,方程 ,不等式综合在一起 ,解决极值,最值等问题 , 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值 ,有时需要借助于方程的理论解决问题 ; 3. 利用导数的几何意义 ,求切线方程 ,解决与切线方程有关的问题 ; 4. 通过构造函数 ,以导数为工具 ,证明不等式 . 5. 导数与其他方面的学问的综合 高考将考什么【范例 1】设函数 fx=ax3-2bx2+cx+4da 、b、c、dR的图象关于原点对称,且x=1 时, fx取微小值 -2 ；31求 a、b、 c、d 的值；2当 x-1,1 时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线相互垂直？试证明你的结论；3如

8、 x 1,x2 -1,1 时,求证： |fx1-fx 2| 4 ；3解答 1 函数 fx 图象关于原点对称,对任意实数x,都有 f-x=- fx. 名师归纳总结 -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d ,即 bx2-2d=0 恒成立 . 第 2 页,共 13 页b=0,d=0, 即 fx=ax3+cx. fx=3ax 2+c. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x=1 时,fx 取微小值 -优秀学习资料欢迎下载, 2. f1=0且 f1=- 233即 3a+c=0 且 a+c=-2. 解得 a=1,c=-1. 332证明：当 x

9、-1,1 时,图象上不存在这样的两点使结论成立,假设图象上存在两点 Ax 1,y1、Bx 2+y2,使得过这两点的切线相互垂直,就由 fx=x 2-1,知两点处的切线斜率分别为 k1=x 1 2-1,k 2=x 2 2-1, 且x 1 2-1x 2 2-1=-1. * x1、x2-1,1, x 1 2-10,x2 2-10x 1 2-1x 2 2-1 0,这与 * 相冲突,故假设不成立 . 3证明： fx=x 2-1,由 fx=0,得 x=1. 当 x-,-1或（ 1,+）时, fx0; 当 x-1,1时, fx0. fx在 -1,1 上是减函数,且 fmaxx= f-1= 2, f minx

10、= f1= -2. 3 3在 -1,1 上, |fx| 2. 32 2 4于是 x1,x2-1,1 时, |fx 1-fx 2| | fx 1|+|fx2|+ = . 3 3 34故 x1,x2-1,1 时,|fx 1-fx 2| . 3【点晴】 如 x0 点是 y= fx 的极值点,就 fx 0=0,反之不肯定成立；在争论存在性问题经常用反证法；利用导数得到y=fx 在-1,1 上递减是解第 3问的关键 .【文】 设函数fx 1x32 ax23a2xb,0a1.3（ 1）求函数fx的单调区间、极值. （2）如当xa,1a2 时,恒有|fx|a,试确定 a 的取值范畴 . 解答：（ 1）f x

11、24ax32 a =x3 xa令f 0得x 1a x23 a列表如下：xx （-,a）a （a,3a）3a （3a,+）第 3 页,共 13 页f - 0 + 0 - f x 微小极大f x 在（ a,3a）上单调递增,在（-, a）和（ 3a, +）上单调递减a 时,f微小 b4a3,x3 a 时,f微小 b3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载第 4 页,共 13 页（2）f x24ax3 a20a1,对称轴x2 aa1,f x 在 a+1,a+2上单调递减fMaxa124 a a13a22 a1,fmina224

12、a a23 a24a4依题 |f |a|fMax|a ,|fmin|a即 | 2a1|a,| 4a4 |a解得4 5a1,又 0a1 a 的取值范畴是4,15【范例 2】 已知f x 2x32ax23 aR.31当|a|1时, 求证 fx在-1,1内是减函数 ; 42如 y= fx在-1,1内有且只有一个极值点, 求 a 的取值范畴 . 解答： 1 fx2x32ax23x,fx2x24ax3 .3|a|1, f1 4 a10,44f 1 4a1 40又二次函数f x的图象开口向上, 在,11 内 f x0, 在x0,1 内 f x0, fx在定义域内递增第 5 页,共 13 页名师归纳总结 -

13、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f akf a ,即ak1a优秀学习资料欢迎下载n=k+1 时,命题成立由知,对任意nN*,均a na1,F 0F x 递减,（2）解：令F x f x x ,就f aka 1a 时,F a 1F a 0,即f a 1a ,a2a 1推测a nan1,下证之n=1 时,a 1a 成立2f ak1,即ak1假设 n=k 时,akak1成立就 n=k+1 时,由于f x 递增,f a kn=k+1 时,命题成立由知,对任意n* N ,均anan1【点晴】 由导数争论函数的单调性,再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将

14、会成 为今后高考的重点内容,在复习中要足够地重视；【文】 已知平面对量a =3 ,-1. b =1,3. 221证明 a b ；2如存在不同时为零的实数k 和 t,使 x =a +t2-3 b , y =-k a +t b , x y ,试求函数关系式k=ft；名师归纳总结 3据2的结论,争论关于t 的方程 ft-k=0 的解的情形 . 第 6 页,共 13 页解答： 1 a b =3 1 +-1 23 =0 2 a b . 2 x y , x y =0 即 a +t2-3 b -k a +t b =0. 整理后得 -k2 a +t-kt2-3 a b + tt2 2-3 b =0 a b =

15、0,2 a =4,2 b =1,上式化为 -4k+tt2-3=0 ,即 k=1 tt 42-3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3争论方程 1tt 2-3- k=0 的解的情形,可以看作曲线 ft= 1tt 2-3与直线 y=k 的交点个数 . 4 4于是 ft= 1t 2-1= 3t+1t-1. 4 4令 ft=0,解得 t1=-1,t 2=1.当 t 变化时, ft、ft 的变化情形如下表：t -,-1 -1 -1,1 1 1,+ ft + 0 - 0 + Ft 极大值微小值当 t=-1 时, ft有极大值, ft 极大值

16、= 1. 2当 t=1 时, ft有微小值, ft微小值 =-1 . 2函数 ft= 1tt 2-3的图象如图 1321 所示,4可观看出：1当 k1 或 k-1 时,方程 ft-k=0 有且只有一解；2 22当 k= 1 或 k=-1 时,方程 ft-k=0 有两解；2 23 当-1 k1 时,方程 ft-k=0 有三解 .2 2【点晴】 导数的应用为作函数的草图供应了新途径,方程根的个数与极值的正负有关；【范例 4】已知双曲线C:ymm0与点 M （1,1） . m 的值及切点坐标；有两个x（1）求证：过点M 可作两条直线,分别与双曲线C 两支相切；（2）设（ 1）中的两切点分别为A、B,

17、其 MAB 是正三角形,求解答： （1）证明：设Q t ,mC,要证命题成立只需要证明关于t 的方程y|x tkMQt符号相反的实根；y|x tt2kMQm0m1t22 mtm0,且 t0, t1；tt21t设方程2 mtm的两根分别为t1与 t2,就由 t1t 2=m0 ,知 t1,t2是符号相反的实数,且t1,t2均不等于 0 与 1,命题获证；名师归纳总结 （2）设A t ,m,B t2,m,由（ 1）知, t1+t2=2m,t1t2=m,从而第 7 页,共 13 页t 1t2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载yx 上；t 1

18、2t 2m ,1mmm t 1t 222 mm,即线段 AB 的中点在直线2t1t 22 t t 1 22 mmm又kABt2t 1m t 12t21,AB 与直线 yx垂直；t2t 1t t tt1故 A 与 B 关于 yx对称,设A t ,m t0,就B m, tt有 t2-2mt+m=0 由kMAm 2, tkMBt2,AMB60及夹角公式知mtan601t2m,即mt22 3mt22 tmt2mmt2由得mt212 t从而mt22t112t14 1t0t2m2t1由知mt22 3,m32,代入知t31t2mt22因此,m1,A31,31,B31,31 ；22222【点晴】 此题的关键在

19、于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通；应深切领悟导数的几何意义在解析几何综合问题中的特别作用【文】 设抛物线 y=x 2 与直线 y=x+a （a 是常数）有两个不同的交点,记抛物线在两交点处切线分别为 l 1,l 2,求值 a 变化时 l 1 与 l 2 交点的轨迹；解答： 将 y=x+a 代入 y=x 2 整数得 x 2xa=0,为使直线与抛物线有两个不同的交点,必需 = 1 24a0,所以 a14设此两交点为 , 2, , 2, ,由 y=x 2 知 y =2x ,就切线 l1,l 2 的方程为 y=2 x名师归纳总结 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学

20、习资料 - - - - - - - - - 2,y=2 x 2. 就x优秀学习资料欢迎下载两切线交点为 x,y 2y由于 , 是的解,由违达定理可知由此及可得x=1 ,y= a214 =1, =a 从而,所求的轨迹为直线x=1 上的 y21 的部分 4【自我提升】1设曲线 y1 x 2和曲线 y1 x 在它们交点处的两切线的夹角为 ,就 tan（ C ）A1 B1 2 C1 3 D2 32函数 y= f x的图象关于直线 x=1 对称,就导函数 y= f x的图象 C A. 关于直线 x=1 对称 B. 关于直线 x=-1 对称C. 关于点（ 1,0）对称D. 关于点（ 1,0）对称3函数 y

21、= f x在定义域 3 ,3 内可导,其图象如下列图记 y= f x的导函数为 y= f x,就不等式2f x0 的解集为（ A ）A 1 ,1 2,3 y 3B 1, 1 4 8 , y f x 2 3 33 1C 3 12 2 , 1,2 2-1 13 O 2 1 43 2 83 3 x D 3 , 1 1 4 , 8 ,32 2 3 34假如函数 fx = ax 3x 2 + x5 在, + 上单调递增,就实数 a 的取值范畴是 D 1 1A 0,+ B 0, C 3,+ D3 , 5设 f x = x 3 +bx 2 + cx + d ,又 k 是一个常数 . 已知当 k 4 时,f

22、x k = 0 只有一个实根；当 0 k 4 时, f x k = 0 有三个相异实根 , 现给出以下命题：1 f x 4 = 0 和 f x = 0 有一个相同的实根；2 f x = 0 和 f x = 0 有一个相同的实根；3 f x+3 = 0 的实根大于 f x 1 = 0 的任一实根； 4 f x + 4 = 0 的实根小于 f x 2 = 0 的任一实根 .；其中,错误命题的个数是（D ）A4 B3 C2 D1 名师归纳总结 第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载g,1206设 f x,g x分别是定

23、义在R 上的奇函数和偶函数, 当 x0 且2就不等式f x g x0 的解集是 =_,1 0 ,1227（文）假如fx= x 2+1,gx= ffx, 设 Fx=gx- fx,问是否存在适当的,使 Fx在2上是减函数,在2,0上是增函数？如存在,求出的值,如不存在,说明理由；2=3 8（理）已知函数fx4x27,x01,01, ,如对于任意x 101, ,总存在x 001, ,2x（）求fx 的单调区间和值域；（）设a1,函数g xx22 3 a x2 a,x使得g x 0fx 1成立,求 a 的取值范畴解：对函数fx求导,得f,x42 x16x72x21第 10 页,共 13 页2x12x7

24、2x2令 f x=0 解得x 11或x2722当 x 变化时, f x、fx的变化情形如下表：x 0 0,1211 1,22f,x0 3fx7421 1, 时, fx是增函数；2所以,当x0,12时, fx是减函数；当x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载fx 1,就第 11 页,共 13 页当x01, 时, fx的值域为4,3（）对函数gx求导,得g,x3x2a2因此a1,当x01, 时,gx3 1a20因此当x01, 时, g x 为减函数,从而当x01, 时有g xg1,g0又g112 a2 3 a ,g02 a

25、,即当x0, 时有g x12a3 a2,2a任给x 10, ,fx 14,3,存在x 001, 使得g x 012 a3 a2,2a4,3即12 a3 a24（）2 a3（ ）解 1（）式得a1或a53解 2（ ）式得a32又a1,故： a 的取值范畴为1a329已知函数Fx=|2xt|x3+x+1（x R,t 为常数, tR）（ 1）写出此函数Fx在 R 上的单调区间；（ 2）如方程 Fxk=0 恰有两解,求实数k 的值；解： （1）Fx|2xt|x3x1x 333x1t,xt2 txx1tx2Fx 3x2,3xt2 t3 x2,1x2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 -

26、 - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载由 3x 2+3=0 得 x1=1,x2=1,而 3x 210 恒成立 i 当t t 1 时, Fx在区间 ,t上是减函数2 2在区间 t ,1上是增函数,在区间 1, +上是减函数2iii 当 t 1 时, Fx在, + 上是减函数2（2）由 1）可知i 当t 1 时, Fx 在 x=1 处取得微小值21 t,在 x=1 处取得极大值3t,如方程 Fxm=0 恰有两解,此时 m=1t 或 m=3tii 当 1t1,Fx在 x=t 处取值为 2t3t1,282在 x=1 处取得极大值3t,如方程 Fxm=0 恰有两解,此时 m=t3t1或

27、 m=3t1、1 所以21182iii 当t 1 时,不存在这样的实数 2m,使得 Fxm=0 恰有两解110（理）已知 0x1, n 为大于 1 的正整数,求证：n2解答：设 fx= x n1x n ,就 f x=nx n-1-1x n-1,1x n1x n 1 令f x 0,得 x n-1=1x n-1,由于 0 x1,就有 x=1x,解得 x=12又f111,f 0,1f 1,1经比较知fx在0,1上的最小值、最大值分别为122 n2nnxn1x n1A 胜的概率为 Q,打算冠军队的11（理） A、B 两队进行某项运动的竞赛,以胜三次的一方为冠军,设在每次竞赛中p,B 胜的概率为q pq

28、1,p0. q0,又 A 得冠军的概率为P,冠军的概率为竞赛次数为N. （ 1）求使 Pp 为最大的 p 值；名师归纳总结 （ 2）求使 N 的期望值为最大的p 值及期望值；p3；第 12 页,共 13 页（ 1）要打算冠军队,至少需要竞赛三次,最多需要竞赛5 次；解答：假如竞赛3 次 A 获冠军, A 需连胜三次,其获冠军的概率为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1 3 3假如竞赛 4 次 A 获冠军, 前三次有一次 B 胜,其余三次 A 胜,A 获冠军的概率为 C qp 3 p q .假如竞赛 5 次 A 获冠军,前四次有两次

29、 B 胜,其余三次 A 胜, A 获冠军的概率为2 2 3 3 2 3 2 3 2C q p 6 p q . 故 P p 3 p q 6 p q .于是 P p p 33 p q 36 p q 3 2p f p .将 q 1 p 代入整理得 f p 6 p 515 p 410 p 3p 0 p 1.2 2令 f 30 p 1 p 11 130 1 p p 1 p 0.30 30即 P 2p 1 0, 解得 P 1 1 1 1 4 , p 2 1 1 1 4 .30 2 30 2 30当 0 p p 时,1 f 0; 当 p 1 p p 2 时 , f 0; 当 p 2 p 1 时 , f 0. 又limp 0 f p