2022年高考数学-数列通项公式求解方法总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求数列通项公式的十种方法一、公式法n 例 1 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 2,a 1 2,求数列 a n 的通项公式；解：a n 1 2 a n 3 2 n 两边除以 2 n 1,得 a n n 1 1 a n n 3,就 a n n 1 1 a n n 3,故数列 a n n 是以 2 2 2 2 2 2 2 a2 1 1 22 1 为首项,以 3 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 2 a2 n n 1 n 1 32,所以数列 a n 的通项公式为 a n 3 n 1 2 n；2 2评注：此

2、题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2 a n 3 2 n 转化为 a n n 1 1 a n n 3,说明数列 a n n 是 2 2 2 2等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 a n n 1 n 1 3,进而求出数列 a n 的通项公式；2 2二、累加法名师归纳总结 例 2 已知数列 a n满意an1an2 n1,a 11,求数列 an的通项公式；,进而求出第 1 页,共 12 页解：由an1an2n1得an1an2 n1就a na na n1 a n1a n2a 3a 2a 2a 1a 12n1 1 2n2122 12 1 1 12n1n22 1n1 12n1 nn1 12n

3、1 n1 1n2所以数列 an的通项公式为an2 n ；评注：此题解题的关键是把递推关系式a n1an2n1转化为a n1a n2n1anan1an1an2a 3a2a 2a 1a ,即得数列 a n的通项公式；例 3 已知数列 a n满意an1an23n1,a 13,求数列 a n的通项公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由an1a n23n1得an1an学习必备1欢迎下载2n 3就名师归纳总结 anana n1a n1a n2a3a2a 2a 1a 1第 2 页,共 12 页2n 31123n2122 3121 31323n1n 32321

4、 3 n13231 3n1n1313n 33n13n 3n1所以a n3nn1.评注：此题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为a n1an23n1,进而求出anana n1a n1a n2a3a2a 2a 1a ,即得数列 an的通项公式；例4 已知数列 a n满意an13an23n1,a 13,求数列 an的通项公式；解：a n13a n2n 31两边除以3n1,得a n1a n211,n 31n 33n 3就a n1a n211,故n 31n 33n 3a na na n1a n1a n2a n2a n3a 2a 1a 1n 3n 3a n1a n1n 32n 32n 332

5、31 33212112122133n 33n 33n 332 332n1111112113n 3n 3n 3n 32 3因此a n2 n11 1 3 n n3112 n11,n 3332n 2 313就a n2nn 31n 31.322评注：此题解题的关键是把递推关系式an13 a n2n 31转化为a n1a n211,进而求n 31n 33n 3出a na n1a n1a n2a n2a n3a 2a 1a 1,即得数列a n的通项公式, 最n 3n 31n 31n 32n 32n 332 31 33n 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 后再求数

6、列 a n的通项公式；学习必备欢迎下载三、累乘法名师归纳总结 例 5 已知数列 a n满意an12n15nan,a 13,求数列 an的通项公式；n 15,进而求出第 3 页,共 12 页解：由于an12n15nan,a 13,所以an0,就an12n15n,故a na na na n1a 3a 2a 1a n1a n2a 2a 12nn 1 1512n2n 152222 1 5 211 1 5 3n 21 n n13 2 5n1 n22 13n n13 2 n152n .n n1所以数列 an的通项公式为an32n152n.评注：此题解题的关键是把递推关系an12nn 15a 转化为an12

7、nanan1an1a3a2a 1,即得数列 a n的通项公式；a nan2a2a 1例 6 （ 20XX年全国 I 第 15 题,原题是填空题）已知数列an满意a 11,ana 12a 23 a 3n1 an1n2,求 an的通项公式；解：由于ana 12a23 a3n1 an1n2所以a n1a 12a 23 a 3n1 an1nan用式式得an1a nnan.就a n1n1 ann2故a nn1n1 n2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a na n1an1a 3a 2 n n学习必备4 3欢迎下载a2.1a2n.anan2a 22由a na

8、 12a23a 3n1 a n1n2,取n2得a2a 12 a2,就a2a ,又知a 11,就a 21,代入得a n1 3 4 5nn .；1 ann2转化为an1n1 n2,进而求出2所以, a n的通项公式为a nn .2a n1n评注： 此题解题的关键是把递推关系式anan1an1a3a 2,从而可得当n2 时,an的表达式,最终再求出数列an的通项公式；a nan2a2四、待定系数法例 7已知数列 a n满意an12an3n 5,a 16,求数列a n的通项公式；2a ,得解：设an1x5n12anxn 5 xn 512a n2x5n,等式两边消去将a n12a n3 5n代入式,得2

9、a n3n 5n 3 5xn 512 xn 5,两边除以 5n ,得 35x2 ,就 x1,代入式得an15n12a nn 5 名师归纳总结 由a 11 56510及式得an5n0,就a n1n 512,就数列 a n5 n是以a 11 51为第 4 页,共 12 页a nn 5首项,以 2 为公比的等比数列,就a n5n2n1,故an2n15n；评注：此题解题的关键是把递推关系式a n12a n3n 5转化为a n15n12ann 5 ,从而可知数列 ann 5 是等比数列,进而求出数列a nn 5 的通项公式,最终再求出数列an的通项公式；例 8 已知数列 a n满意an13a n5n 2

10、4,a 11,求数列 an的通项公式；解：设an1x2n1y3anx2ny - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将a n13 an52n4代入式,得学习必备欢迎下载名师归纳总结 3an52n4x2n1y3anx2ny第 5 页,共 12 页整理得 52 2n4y3x2n3y ；令5 42x3 x,就x5,代入式得y3yy2an152n123an52n2由a 151 221 12130及式,得na52 n20,就a n152n1223,a n52n故数列 a n5n 22是以a 151 2211213为首项,以3 为公比的等比数列,因此an52n213n

11、31,就an13 3n15n 22；评注：此题解题的关键是把递推关系式a n13a n5n 24转化为an152n123an52n2,从而可知数列a n52n2是等比数列,进而求出数列an52n2的通项公式,最终再求数列an的通项公式；例 9 已知数列 a n满意an12an3n24n5,a 11,求数列 a n的通项公式；解：设an1x n2 1y n1z2a nxn2ynz 将a n12 an3 n24n5代入式,得2an3n24n5x n12y n1z2anxn2ynz ,就2an3x n22xy4nxyz52an2xn22yn2z等式两边消去2a ,得3x n22xy4nxyz52xn

12、22yn2z ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3x2xx学习必备欢迎下载3解方程组2xy42y,就y10,代入式,得0n3n210n18是等xyz52zz18an13n2 110n1182an3n210n18由a 12 3 1101 18131320及式,得an3n210n18就a n13 n2 110n1 182,故数列an3 n210n18为以a n3 n210 n18ana 12 3 110 11813132为首项,以2 为公比的等比数列,因此an3 n210n1832n 21,就an2n43 n210n18；评注：此题解题的关键是把递推关系

13、式a n12a n3n24n5转化为an13n2 110n1182an3n210n18,从而可知数列比数列,进而求出数列an3 n210n18的通项公式,最终再求出数列a的通项公式；五、对数变换法名师归纳总结 例 10 已知数列 an满意a n12 3n5 a ,a 17,求数列 a n的通项公式；第 6 页,共 12 页解：由于an123na5 n,a 17,所以a n0,a n10；在an123n5 a 式两边取常用对数得lga n15lgannlg3lg 2y5lga nxny ,两边消去 5lga 并整理,设lga n1x n1y5lganxny11 将式代入 11式,得 5lgann

14、lg3lg 2x n1得 lg3x nxylg 25xn5y ,就lg3yx5x5y,故xlg3lg 24xlg 2ylg3164- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 代入 11式,得lga n1lg3n1lg3学习必备欢迎下载nlg3lg 212 lg 25lga nlg341644164由 lg a 1 lg3 1 lg3 lg 2 lg 7 lg3 1 lg3 lg 2 0 及12式,4 16 4 4 16 4得 lg a n lg3n lg3 lg 20,4 16 4lg a n 1 lg3 n 1 lg3 lg 2就 4 16 4 5,lg a

15、n lg3 n lg3 lg 24 16 4所以数列 lg a n lg3n lg3 lg 2 是以 lg 7 lg3 lg3 lg 2为首项,以 5 为公比的等比数列,4 16 4 4 16 4就 lg a n lg3 n lg3 lg 2 lg 7 lg3 lg3 lg 2 5 n 1,因此4 16 4 4 16 4lg 3 lg 3 lg 2 n 1 lg 3 lg 3 lg 2lg a n lg 7 5 n4 16 4 4 6 41 1 1 n 1 1lg 7 lg 3 4 lg 3 6 lg 2 5 n 1lg 3 4 lg 3 16 lg 2 41 1 1 n 1 1lg7 3 4

16、 3 16 2 5 n 1lg3 4 3 16 2 1 1 1 n 1 1lg7 3 4 3 16 2 5 n 1lg3 4 3 16 2 5 n 1 n 5 n 1 1 5 n 1 1lg7 5 n 13 4 3 16 2 4 5 n 4 n 1 5 n 1 1lg7 5 n 13 16 2 4 5 n 4 n 1 5 n 1 1就 na 7 5 n 13 16 2 4；n 5评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 a n 1 2 3 a 转化为lg a n 1 lg3 n 1 lg3 lg 2 5lg a n lg3 n lg3 lg 2 ,从而可知数列4 16 4 4 16 4l

17、g3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2lg a n n 是等比数列, 进而求出数列 lg a n n 的通项公式, 最4 16 4 4 16 4后再求出数列 a n 的通项公式；六、迭代法名师归纳总结 例 11 已知数列 an满意a n1a n3 a nn12n,a 15,求数列 an的通项公式；第 7 页,共 12 页解：由于a n13 a nn12n,所以3 na n2 1n13 a nn1 2 n23 n2n12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a3 2n1n2 n2n1学习必备欢迎下载n2a3n2 2n33 2n1n2 n2n1na

18、n1a n 3n12n两边取n3a3 3n2n1n2 n3n2 n1n33 a 1n12 3n2 n1n2 1 2n3 n2n1n n13 a 1n1n. 22n n1又a 15,所以数列 an的通项公式为an53n1n . 22；评注：此题仍可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式；即先将等式常 用 对 数 得lgan13n12nlgan, 即lgan13n12, 再 由 累 乘 法 可 推 知lga nlga nlga n1lga n1lga 3lga 2lga 1lg53 n1n. 2n n1,从而an53 n1n. 2n n1；22lga nlga n2lga 2lga 1七、数学

19、归纳法名师归纳总结 例 12 已知数列 a n满意an1an2n8n132,a 18,求数列 a n的通项公式；第 8 页,共 12 页2 1 2n9解：由an1an2n8n132及a 18,得2 1 2n9a2a 1281 1132882242 1 1 2992525a 3a222821232248 3482 1 225254949a4a328313324884802 3 1 249498181由此可推测a n2nn1221,往下用数学归纳法证明这个结论；21（1）当n1时,a 1212 118,所以等式成立；22 1 19- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

20、- - （2）假设当 nk时等式成立,即a k学习必备2 1欢迎下载nk1时,2k1,就当2k2 1ak1ak2k8k1321*N 都成立；2 1 2k2k1 218k12 k2 12k2 1 2k2 32k2 112 k2 38 k12 k2 1 2k2 32k2 1 2k2 32k2 38 k2k1 2 2 k3 22k2 1 2k2 32k2 12k2 1 2 k2 32k2 312 k2 32k2 1 112k2 1 1由此可知,当nk1时等式也成立；依据（ 1）,（ 2）可知,等式对任何n评注：此题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 最终再用数学归纳法加以证明；八、换元法

21、n 项,进而猜出数列的通项公式,名师归纳总结 例 13 已知数列 a n满意a n11 1 4 a n16124 a n,a 11,求数列 a n的通项公式；第 9 页,共 12 页解：令b n124 a ,就a n1 242 b n1124 a n得故a n11 242 b n11,代入a n11 1 4 16a n12 b n1111412 b n1b n24162410即2 4 b n1b n3211 24a n由于b n124 a n0,故b n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就2 b n1b n3,即b n11b n3,学习必备欢迎下载22

22、可化为b n131 b n3,得32所以 b n3是以b 13124 a 13124 132为首项,以1 为公比的等比数列,因此 2b n31 n2 211 n 22,就b n1n2 ,3即12 a n41n2,22a n21n1；13423形评注：此题解题的关键是通过将124 a 的换元为b ,使得所给递推关系式转化b n11b n322式,从而可知数列bn3为等比数列,进而求出数列nb3的通项公式,最终再求出数列a n的通项公式；九、不动点法名师归纳总结 例 14已知数列 an满意a n121 an24,a 14,求数列 a n的通项公式；第 10 页,共 12 页4 an1解：令x21

23、x24,得4x220x240,就x 12,x 23是函数f x 21 x24的两个不4 x14x1动点；由于a n1221 a n24221 a n244 a n124a n113 a n2613a n2；所以数列a n2是a n1321 a n24321 a n2434 a n19a n279a n3a n34 a n113 为 公 比 的 等 比 数 列 , 故 9an2213n1, 就以a 12422为 首 项 , 以a 1343an39a n1113；f x 21 x24的不动点,即方程x21 x24的两个根2 13 9n评注：此题解题的关键是先求出函数4x14x1x 12,x 23,

24、进而可推出an1213an2,从而可知数列a n2为等比数列,再求出数an139an3a n3列a n2的通项公式,最终求出数列a n的通项公式；a n3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 15 已知数列 an满意a n17a n学习必备2欢迎下载a n的通项公式；2,a 1,求数列 2a n3解：令x7x2,得2x24x20,就x1是函数f x 3 x1的不动点；2x34 x7由于an117a n215a n5,所以2a n32a n3an112,an112a n32a n321a5 12215a n55a n155n所以数列a n11是以1121

25、11为首项,以2 为公差的等差数列,就 5a1112n1,a 1n5故a n2 n8；2 n3的不动点,即方程x7x2的根x1,进而评注：此题解题的关键是先求出函数f x 3 x14 x72 x3可推出an11a112,从而可知数列a n11为等差数列, 再求出数列a n11的通项公式,1n5最终求出数列 a n的通项公式；十、特点根法名师归纳总结 例 16已知数列 an满意a n13 ana n1n2,a 1a 21,求数列 an的通项公式；第 11 页,共 12 页解 ：a n13 ana n1n2的 相 应 特 征 方 程 为2310 , 解 之 求 特 征 根 是1325,2325,所以a nc 1325c 235；2由初始值a 1a21,得方程组1c 13251 c 232511c 13252c 23252- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求得c 152 5学习必备欢迎下载5