第三章圆锥曲线的方程：点差法学案--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、圆锥曲线专题381 点差法（5套，6页，含答案） 知识点：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点， ， 点差法：设直线和曲线的两个交点，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，代入抛物线方程，得； ；将两式相减，可得；整理得：典型例题：1. 已知椭圆4x29y236，以(1， 1)为中点的弦所在的直线n的方程是 .2. 求与n平行的弦

2、的中点M的轨迹方程 ；3. 已知椭圆4x29y236的一条弦AB的方程为yx1，则弦AB的中点为 .4. 已知椭圆4x29y236的一条弦AB过点(1， 1)，则弦AB的中点的轨迹方程是 .5. 已知直线与焦点为的椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为(1， 1)，则椭圆方程为 答案：，4x(x1）9y(y1)0，； 随堂练习1：6. 已知点是椭圆内的一点（1）求以P为中点的弦所在的直线n的方程；（2）求与直线n平行的弦的中点M的轨迹方程；（3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程；（4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为。（5）已知直线，椭圆的一个焦点为（3，0），直线和椭

3、圆相交于A、B两点，弦AB的中点为，则椭圆方程为 答案：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）； （该小问答案错）随堂练习2：1. 已知抛物线的弦AB过定点（2，0），则弦AB中点的轨迹方程是_ 答案：；_2. 直线与椭圆相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点横坐标为2，则直线的斜率等于 答案： ； 。 3. 抛物线被点P(1，1)所平分的弦的直线方程为_ 答案：； _4. 已知椭圆E：(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为( 答案：D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在椭圆上，得，即，AB的中点为(1，1)，

4、y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.椭圆E的方程为.故选D.)A B C D5. 已知圆x2y24，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（ 答案：B； ）A、(x2)2y24 B、(x2)2y24(0x1)C、(x1)2y24 D、(x1)2y24(0x1)专题381答案：，4x(x1）9y(y1)0，； 答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 答案：； 答案：； 答案：； 答案：D ； 答案：B；圆锥曲线专题382 点差法1. 已知点P（1，1）是椭圆内的一点（1）求以P为中点的弦所在的直线L的方程；（2）求斜率为3弦的中点M的轨迹

5、方程；（3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程；（4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为 。（5）已知直线，椭圆的一个焦点为（，0），直线和椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为，则椭圆方程为 答案：x2y30，x6y0，x（x1）2y（y1）0，； 2. 椭圆x24y216的斜率为1的弦的中点的轨迹方程为（ 答案：D； ）（A）x4y0 （B）4xy0 （C）4xy0(4x4) （D）x4y0(4x4)3. （2018山东理G106）已知直线L与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线L的方程为（ 答案：D； ） A B C D4. 中心为(0, 0)，一焦点为F(0

6、， 5)，截直线y3x2所得弦的中点的横坐标为的椭圆为（ 答案：A； ）（A） （B） （C） （D）5. 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：动点P的轨迹方程；（ 答案：； （1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.将代入并化简得，所以于是 设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 当时，点A、B的坐

7、标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为）专题382答案：x2y30，x6y0，x（x1）2y（y1）0，； 答案：D； 答案：D； 答案：A； 答案：；圆锥曲线专题383 点差法1. 已知点P（1，2）是椭圆内的一点（1）求以P为中点的弦所在的直线的方程；（2）求斜率为-2的弦的中点M的轨迹方程；（3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程；（4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为 ；（5）已知直线，椭圆的两个焦点为，直线和椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为，则椭圆方程为 答案：，9x8y0，； 2. 若倾斜角为的直线交椭圆y21

8、于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是_ 答案：x4y0；解析：设中点坐标为(x，y)，直线方程为yxb，代入椭圆方程得5x28bx4(b21)0，则得x4y0.由0得b，故x._3. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线C相交于两点若线段AB的中点为，则直线l的方程为( 答案：A【解析】易知抛物线的方程为.设则，两式相减得：，所以的斜率，来源:学科网ZXXK从而直线的方程为，即.故A正确. )A B C D4. 若、是抛物线上关于直线对称的相异两点，则( 答案：C；解：设点，依对称性可知，由点差法可得，设 中点为，则，代入对称轴方程可得，直线的方程为，与抛物线方程联立知

9、：，故选C。) A B C D5. 已知椭圆的方程为，过点P(，的直线与椭圆相交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程.（ 答案：）专题383答案：，9x8y0，； 答案：x4y0； 答案：A； 答案：C； 答案：；圆锥曲线专题384 点差法1. 已知点P是椭圆内的一点（1）求以P为中点的弦所在的直线L的方程；（2）求斜率为4的弦的中点M的轨迹方程；（3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程；（4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为 。（5）已知直线，椭圆的一个焦点为，直线和椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为，则椭圆方程为 答案：，5x+8y0，； 2. 已知直线与抛物线交于

10、A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 答案：（4，2）；3. 若抛物线 （ ）的弦PQ中点为（），则弦PQ的斜率为（ 答案：B；）ABCD 4. 已知倾斜角为的直线交双曲线于两点，若线段的中点为，则的离心率是（ 答案：C； ）A B C. D5. 过点M( 2， 0)作直线L交双曲线xy 1于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。（ 答案：）专题384答案：，5x+8y0，； 答案：（4，2）； 答案：B； 答案：C； 答案：；圆锥曲线专题385 点差法1. 已知点P（2，1）是椭圆内的一点（1）求以P为中点的弦所在的直线的方程；（2）求斜率为-3的弦的中点M

11、的轨迹方程；（3）求过点P的直线被椭圆截得的弦的中点Q的轨迹方程；（4）该椭圆的一条弦AB的方程为，则弦AB的中点为 ；（5）已知直线，椭圆的两个焦点为，直线和椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为，则椭圆方程为 答案：，； 2. 已知椭圆C的焦点F1（，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。（ 答案：；解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c，a3，从而b1，所以其标准方程是: .联立方程组，消去y得， .设A()，B()，AB线段中点为M()那么: ，所以也就是说线段AB中点坐标为（2）解:由于椭圆焦点为F(0，4)，离心率为e，所以双曲线的焦点为

12、F(0，4)，离心率为2，从而c4，a2，b2.所以求双曲线方程为: .）3. 已知椭圆，以及椭圆内一点P(4， 2)，则以P为中点的弦所在的直线的斜率是（ 答案：B； ） （A） （B） （C）2 （D）24. 点位于椭圆内，过点的直线与椭圆交于两点A、B，且点为线段AB的中点，求直线AB的方程及的值。 答案： AB：x 2y 3 0，| AB | ；点差法或联立方程组法 AB：x 2y 3 0 | AB | 5. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(ab0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；（2）（ 答案：； ，最大值为；解：(1)设A(x1，

13、y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，由此可得.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为y，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3，4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|.由已知，四边形ACBD的面积.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为. ）专题385答案：，； 答案：； 答案：B；答案：AB：x 2y 3 0，| AB | ；答案：； 第 15 页 共 15 页学科网（北京）股份有限公司