复变函数与积分变换-第一章ppt课件.ppt

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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换董滔董滔联系方式：联系方式：david_david_ 2u 复变函数复变函数 （ Chapter 1 Chapter 5 ） 教 材：复变函数复变函数 (第第四版四版) 西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室u 积分变换积分变换 （ Chapter 1 Chapter 2 ） 教 材：积分变换积分变换 (第第四版四版) 东南大学东南大学高等数学高等数学系系 共计共计54学时学时复变函数与积分变换复变函数与积分变换主要内容主要内容3对对 象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，

2、研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数复变函数的积分、级数、留数复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、复变函数复变函数简介简介复变函数与积分变换复变函数与积分变换4第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数复变函数与积分变换复变函数与积分变换二、复数及代数运算二、复数及代数运算 四、复数的乘幂与方根四、复数的乘幂与方根一、一、 复变函数的起源及应用复变函数的起源及应用三、复数的几何表示三、复数的几何表示五、区域五、区域六、复变函数六、复变函数七、复变函数的极限和连续性七、复变函数的极限和连续

3、性一、复变函数的起源及应用一、复变函数的起源及应用概率论与数理统计概率论与数理统计1. 复变函数的起源复变函数的起源)(020a cbxax042 acb12x无解无解十六世纪十六世纪, , 意大利卡尔丹在解三次方程时意大利卡尔丹在解三次方程时, , 首先产生了负数开首先产生了负数开平方的思想。平方的思想。十八世纪十八世纪, ,达朗贝尔和欧拉达朗贝尔和欧拉逐步阐明复数的几何和物理意义，逐步阐明复数的几何和物理意义，建建立了复数理论立了复数理论，并用，并用其其研究了流体力学等方面的问题。研究了流体力学等方面的问题。十九世纪，复变函数理论得到全面发展。柯西、黎曼和维尔斯十九世纪，复变函数理论得到全

4、面发展。柯西、黎曼和维尔斯特拉斯通过努力特拉斯通过努力, , 构建了非常系统的理论。构建了非常系统的理论。6复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.2.复变函数的应用复变函数的应用 复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用，在复变函数中最先得到应用的是流体力学、的应用，在复变函数中最先得到应用的是流体力学、电磁学、平面弹性力学三个领域。比如俄国的科学电磁学、平面弹性力学三个领域。比如俄国的科学家如可夫斯基采用复变函数理论解决了飞机机翼的家如可夫斯基采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构设计问题。结构设计问题。 此外在电路分析、信号处理等方面也

5、都得到了广泛此外在电路分析、信号处理等方面也都得到了广泛的应用。的应用。一、复变函数的起源及应用一、复变函数的起源及应用7第一节、复数及其代数运算第一节、复数及其代数运算 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 复数的概念复数的概念A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数。复数。称为虚单位。称为虚单位。其中其中ii,1 2 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 y

6、xz 复数的模复数的模0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判断复数相等判断复数相等82. 复数的代数运算复数的代数运算二、二、 复数及代数运算复数及代数运算 复变函数与积分变换复变函数与积分变换定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+ i(x1y2+x2y1)请证明请证明 z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)证明证明： z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2

7、)=x1(x2+iy2)+iy1(x2+iy2) = x1x2+ix1y2+ix2y1-y1y2 =(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)92. 复数的代数运算复数的代数运算二、二、 复数及代数运算复数及代数运算 复变函数与积分变换复变函数与积分变换定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的商为：的商为：)(zyxyxyxiyxyyxxzzz02222221122222212121z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数的运算满足交换律、结合

8、律、分配律。（复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实与实数相同数相同）即，）即，3. 复数的运算规律复数的运算规律10三、三、 共轭复数共轭复数 复变函数与积分变换复变函数与积分变换定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(根据根据(3)，计算，计算 时，把分子与时，把分子与分母同乘以分母同乘以 ，可得到所求的商。，可得到所求的商。21zz2z11复变函数与积分变换复变函数与积分

9、变换.,)( ,43,55:1212121虚部虚部及它们的实部及它们的实部求求设设例例zzzziziz i5157i 43i 55zz:21解例例 题题51)zzIm(57)zzRe(2121，i5157)zz(2112zzIm(z)Re(z)与，求i1i 3i1z例例2：复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例 题题解：解：i2123)23i 3(i) i1)(i1 () i1 ( i 3) i( iii1i 3i1z21(z)Im，23(z)Re254149) i21()23() i2123)(i2123(zz2213复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例 题题例例3设z1, z2是两个

10、复数, 证明 2121212Re.z zz zz z证明因为 212112,z zz zz z 21222121112Re.z zz zz zz zz z14复变函数与积分变换复变函数与积分变换练练 习习, 14 ni,14iin , 124 ni43,nii 441.ni 4i1i1:1求1n4in4i2n4i2. 求3n4i4n4i，411=111iiiii 解：解：1. 2.15复变函数与积分变换复变函数与积分变换第二节第二节 复数的几何表示复数的几何表示u 点的表示点的表示u 向量表示法向量表示法u 三角表示法三角表示法u 指数表示法指数表示法u 复球面复球面161. 1. 点的表示点

11、的表示复变函数与积分变换复变函数与积分变换),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的点点一一对对有有序序实实数数任任意意点点系系，则则在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 此此时时，表表示示的的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx)(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 点的表示：点的表示：),(yxiyxz一一对对有有序序实实数数易易见见， 数数z z与点与点z z同义同义. .172. 2. 向量表示法向量表示法.,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向

12、向量量，点点zyxrOPzArg:,|22记记作作辐辐角角模模： oxyP(x,y)rz xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正；以正实轴实轴 为始边为始边, 以以 向量向量 为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.（z0时）时）OP复变函数与积分变换复变函数与积分变换，而辐角不确定。当0z0z18x/y)z(tg0zArg时，0y, 0 x0y, 0 xxyarctg0y, 0 x2Ry, 0 xxyarctgzarg复变函数与积分变换复变函数与积分变换辐角无穷多：辐角无穷多：为任意整数）（kArgk2z1

13、 00把其中满足把其中满足 的的 称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作zArg0 计算计算argz(z0) 的公式的公式2xyarctg219复变函数与积分变换复变函数与积分变换当当z z落于一落于一, ,四象限时，四象限时， 不变不变Argz当当z z落于第二象限时，落于第二象限时， 加加Argz当当z z落于第三象限时，落于第三象限时， 减减Argz说说 明明20复变函数与积分变换复变函数与积分变换xyxyoiyxz Prz 3. 3. 向量三角、指数表示向量三角、指数表示利用直角坐标与极坐标之间的关系 cos ,xr sin ,yr 再利用Euler公式公式 cossin ,

14、iei 复数z=x+yi 可表示为 称为复数z的三角表示式三角表示式. (cossin ),zri 复数z=x+yi 又可表示为 称为复数的指数表示指数表示式式, 其中r=|z|, =Argz.,izre , , .zxyxzyz22zzzz21共轭复数的几何性质共轭复数的几何性质xyoiyxz iyxz 一对共轭复数一对共轭复数z和和 在复平面的在复平面的位置是关于实轴对称的位置是关于实轴对称的.z复变函数与积分变换复变函数与积分变换21zz 21zz1zxy2z2z21211212zzzz)(zzzz:三角不等式由此得之间的距离与点2112zzzz 当 0z 时, ArgArg .zz 当

15、 时, izre .izre zz 复数和与差的模的性质复数和与差的模的性质22例题例题复变函数与积分变换复变函数与积分变换5cosi5sinz2）例例 1. 将下列复数化为三角表示式与指数表示式i 212z1）6533arctg)122(arctgi65e4z4412zr解解 1） ， 由于z在第三象限，所以 )65sin(i)65cos(4z三角表示形式指数表示形式23解解 2） 1)5(cos)5(sinzr22)103sin()52sin()5cos()103cos()52cos()5sin(三角表示形式103sini103cosz指数表示形式i103ez复变函数与积分变换复变函数与积

16、分变换24例例 2. 设 、 为任意两个复数，证明：1z2z222)zzzzzzzz1112121）；证明证明：1) 1) 21222122112121212121zz)z()z()zz)(zz()zz)(zz()zz( )zz(zz复变函数与积分变换复变函数与积分变换25复变函数与积分变换复变函数与积分变换证明证明：2) 2) 2222222222zzzzzzzzzzzzzz)zz)(zz()zz( )zz(zz12122112111111121)zzRe(2zzzzzzzz2121211212因为2112212122121)zz(zz2zz)zzRe(2zzzz22222所以22zzzz1

17、1所以26oxyLz1z2z例例 3.通过两点通过两点 与与 的直线用的直线用复数形式的方程来表示。复数形式的方程来表示。111iyxz222iyxz)yy( tyy)xx( txx121121t其中解解：因为通过两点（x1，y1）与（x1，y2）的直线可以用参数方程表示为所以它的复数形式参数方程为).zz( tzz121)t(由 到 直线段的参数方程为).zz( tzz121) 1t0(1z2z21t 当 时，为线段 的中点，表示为21zz2zzz21复变函数与积分变换复变函数与积分变换27复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例 4. 求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线1）2）3

18、）4)ziIm(2zi2z2izxyO -i2解：解：1）如右图所示，以-i为中心， 半径为2的圆。y=-x 2i 2y=-3 2）y=-xiyxz)y1 ( ixiz4y1)ziIm( 3）设 ，则有 ，所以 因此 y=-328复变函数与积分变换复变函数与积分变换练习题练习题1. 用代数的方法求例4中的（1）和（2）。2. P31，第1题和第2题29作作 业业P31，第4题（1）、（3）、（6） 第8题（2）、（4）、（6）30复变函数与积分变换复变函数与积分变换4 4 复球面与无穷远点复球面与无穷远点 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数.

19、取一个与复平面切于原点z=0的球面. 球面上的一点S与原点重合，通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N. 称N为北极北极，S为南极南极。(如图). xyNOS31 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数. 球面上的北极N不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数的模越大.球面上的N就是复数无穷大的表示，因此球面上的每一个点，有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面复球面xyPNOS),(yx1P),(11yx复变函数与积分变换复变函数与积分变换32复变函数与积分变换复变函数与积分变换 : 的

20、四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 对于复数的无穷远点而言, 它的实部、虚部,辐角等概念均无意义, 规定它的模为正无穷大.(); (1) 加法(); (2) 减法(0); (3) 乘法0,(),(0).0 (4) 除法33第三节、复数的乘幂与方根第三节、复数的乘幂与方根复变函数与积分变换复变函数与积分变换u 复数的乘积与商复数的乘积与商u 复数的乘幂复数的乘幂u 复数的方根复数的方根34复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 1. 复数的乘积复数的乘积定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加两个复数乘积的辐

21、角等于它们的辐角相加。 设设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2)于是于是 |z1z2|= |r1|r2| ，Arg(z1z2)=Argz1+Argz235复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 1. 复数的乘积几何意义复数的乘积几何意义Z1z2表示表示将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。1 oxy1z

22、2 z1z22 z2当当|z2|=1，乘法变成只是旋转。例如，乘法变成只是旋转。例如iz相当于将相当于将z逆时针旋转逆时针旋转90，-z相当于逆时针旋转相当于逆时针旋转180。当当Argz2=0时，乘法变成了仅仅是伸长（缩短）时，乘法变成了仅仅是伸长（缩短）36复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 1. 复数的乘积复数的乘积izzizz 2121, 1. 1则则设设例例, 2, 1, 021 mmArgz , 2, 1, 0222 nnArgz , 2, 1, 022)(21 kkzzArg knm22223 代入上式代入上式要使上式成立要使上式成立,必须且只需必须且只需 k=m+n+1.

23、37复变函数与积分变换复变函数与积分变换2. 2. 复数的商复数的商定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。数的辐角之差。)(121212 ierrzzz定义 z=z2 /z1，（ z10），即），即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Arg z2 |z2/z1|=|z2|/|z1| ，Arg (z2/z1 ) =Argz2-Argz1 212211, iierzerz 设设用指数形式表示：38复变函数与积分变换复变函数与积分变换2. 2. 复

24、数的商复数的商例例2、已知正三角型的两个顶点为已知正三角型的两个顶点为z1=1，z2=2+i，求它的，求它的 另一个顶点。另一个顶点。z2=2+iz1=1z3z33解：解：如右图所示，将如右图所示，将z2-z1的向量绕的向量绕z1旋转旋转 （或（或 ）就得到另一向量，）就得到另一向量，其终点即为所求的顶点其终点即为所求的顶点z3（或（或z3），），复数复数 的模为的模为1，转角为，转角为 ，由，由复数的乘法，有复数的乘法，有i3e333i)i)(12321()z(zez-z12i313)i2321()2321(39复变函数与积分变换复变函数与积分变换)i2321()2321(zz13)i232

25、1()2321(1z3i231233类似可得类似可得)i231()233(z340复变函数与积分变换复变函数与积分变换3. 3. 复数的幂复数的幂利用数学归纳法可以证明：如果 (cossin) 1,2,kkkkzrikn1 21 212cos()nnnz zzrrr12sin().ni特别地, 如果12(cossin ),nzzzri (cossin).nnzrnin 那么那么因为 z1z2= r1r2cos (1+2)+isin(1+2)41如果写成指数形式，即如果 1,2,kikkzr ekn ,izre 那么 12121 2,ninnz zzr rr e .nninzr e 特别地，当|

26、z|=r=1时, 变为 cossin(cossin).ninin复变函数与积分变换复变函数与积分变换3. 3. 复数的幂复数的幂如果z1=z2=zn,即称为称为棣莫弗（棣莫弗（De Movie公式）公式）. innnerz.1nnzz 42复变函数与积分变换复变函数与积分变换4. 4. 复数的方根复数的方根方根方根, 记做记做 或或 如果如果 nz1.nz(cossin ),zri),sin(cos iw 于是于是, , nr ,coscos nsinsin .n (cossin)(cossin ).nninri0r 当当 时时,对给定的复数对给定的复数z, 方程方程wn=z的解的解w称为称为

27、z的的n次次43复变函数与积分变换复变函数与积分变换4. 4. 复数的方根复数的方根满足以上三式的充分必要条件是满足以上三式的充分必要条件是1,nr 2 (0,1,2,),nkk其中其中 表示算术根表示算术根. 于是于是 1nr nkinkrzwnn2sin2cos1 (0,1,2,).k 当取当取k=0,1,2,n-1时时, 可得可得n个相异根如下个相异根如下 44,sincos10 ninrwn ,2sin2cos11 ninrwn .)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnn 由三角函数的周期性由三角函数的周期性 122cossinnk nknknwrinn 12 2 coss

28、in.nkkkriwnn复变函数与积分变换复变函数与积分变换45复变函数与积分变换复变函数与积分变换当当k=0，1，n-1时，可得时，可得n个不同的根，而个不同的根，而k取取其它整数时，这些根又会重复出现其它整数时，这些根又会重复出现，如，如k= n时时几何几何意义：意义： 的的n个值是以原点为中心，个值是以原点为中心， 为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周个等分点，即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点。个顶点。nznr.wnisinncosrn2nisinn2ncosrw0n1n1n46复变函数与积分变换复变函数与积分变换xyo0 1 2 3 822i

29、1例例 3. 求求4i1)4sini4(cos2i1）（3210k,4k24sini4k24cos2i184,)16isin16(cos2w80)169isin169(cos2w81)1617isin1617(cos2w82)1625isin1625(cos2w83解：解：xyo47复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例 4. 求求31.).2 , 1 , 0k( ,3k20sini3k20cos131cos0sin0i解几何几何意义：意义：这三个根是这三个根是内内接于接于中心在原点半径为中心在原点半径为1的的圆的圆的正正三角形的三角形的3个顶点。个顶点。10 1 2 ,32sini32co

30、s, 110即).34sin(i)34cos(248复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例 5. 求求方程方程 w4+16=0的四个根的四个根. 121442422 0,1,2,3 .kikiweek 4022 cossin2(1),44iweii 3413322 cossin2( 1),44iweii 解：解：因为因为-16=24e(2k+1) i , 所以所以w4=24e(2k+1) i . 于是于是 49复变函数与积分变换复变函数与积分变换5425522 cossin2(1),44iweii 7437722 cossin2(1).44iweii 几何意义：几何意义：w0 ，w1, w2

31、, w3 恰好是以原点为圆心、半径为恰好是以原点为圆心、半径为2的圆的圆|z|=2的内接正方形的四个顶点的内接正方形的四个顶点(如图如图).oxy1w2w3w0w50u 区域的概念区域的概念u 简单曲线（或简单曲线（或Jordan曲线曲线)u 单连通域与多连通域单连通域与多连通域第四节、第四节、区区 域域复变函数与积分变换复变函数与积分变换51复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 1. 区域的概念区域的概念l邻域邻域复平面上以复平面上以 z 0为中心，任意为中心，任意 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|内部的点的集合称为点内部的点的集合称为点 z 0 的的邻域邻域 ，记为，记为(z

32、0 ,) 即，即，zz0z),z(U00),(00 zzzzU设设G是一平面上点集是一平面上点集l内点内点 对任意对任意z0属于属于G，若存在，若存在(z 0 ,)， 使该使该邻域内的所有点都属于邻域内的所有点都属于G，则称，则称z 0是是G的内点。的内点。0z 而称由不等式而称由不等式 0 | z z 0|0是常数是常数, 则则z0为中心为中心, 以以r为半径为半径的圆的内部点的圆的内部点, 即满足不等式即满足不等式 |z-z0|r 的一切点的一切点z所组成所组成的点集的点集 (z0的的r邻域邻域) 是开集是开集. 当当 0 rR (r 和和 R 均是常数均是常数) 时时, 满足不等式满足不

33、等式r |z-z0|R的一切的一切z所组成的点集也是开集所组成的点集也是开集. 但满足不等式但满足不等式 r|z-z0| R的一切点所组成的点集不的一切点所组成的点集不是开集是开集. 因为在圆周因为在圆周|z-z0|=R上的点属于集合上的点属于集合r|z-z0| R, 但这些点不是它的内点但这些点不是它的内点, 而是边界点而是边界点. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 在圆周在圆周|z-z0|=r和圆周和圆周|z-z0|=R上的点都是点上的点都是点集集 r|z-z0|R和和 r|z-z0| R 的边界点的边界点. 54l有界区域有界区域l闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界

34、一起构成闭区域闭区域或或闭域闭域,.D记记为为复变函数与积分变换复变函数与积分变换 如果一个平面点集完全包含在原点的某一如果一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域内个邻域内, 那么称它是有界的那么称它是有界的. 不是有界集的点不是有界集的点集叫做集叫做无界集无界集. .,.,1020201几几个个点点只只是是边边界界增增加加了了一一个个或或它它仍仍然然是是区区域域几几个个点点如如果果在在其其中中去去掉掉一一个个或或组组成成它它的的边边界界由由两两个个圆圆周周而而且且是是有有界界的的表表示示一一个个圆圆环环rzzrzzrzzr 55复变函数与积分变换复变函数与积分变换满足不等式满足不等式 |z|

35、 R 的一切点所组成的点集是无界区域的一切点所组成的点集是无界区域. l无界区域无界区域0z 2r1r图图1边界边界图图20z 2r1r边界边界56(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r例例1.6 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg21 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo复变函数与积分变换复变函数与积分变换57),bta () t (yy) t (xx表示为：平面上一条连续曲线可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程

36、可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb0)t ( y)t ( xbta) t ( y) t ( x22，都有是连续的，且对任何、若复变函数与积分变换复变函数与积分变换2. 2. 简单曲线（或简单曲线（或JardanJardan曲线曲线) )（1）光滑曲线）光滑曲线称曲线是一条称曲线是一条光滑曲线光滑曲线. 58 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为称为分段光滑曲线分段光滑曲线. .xyoxyo 能求出长度的曲线称为可求长曲线能求出长度的曲线称为可求长曲线. 分段光分段光滑曲线是可求长曲线滑曲线是可求长曲线. 光滑曲线光滑曲线分段光滑曲线分段光滑

37、曲线59 曲线曲线C 在复平面上的方程在复平面上的方程 z=z(t)， atb不仅确定了曲线的形状不仅确定了曲线的形状, 实际上还给出了曲线的方实际上还给出了曲线的方向向, 也就是说也就是说, 曲线是沿着曲线是沿着t 增加的方向变化的增加的方向变化的. 复平面上对应于复平面上对应于z(a)=x(a)+iy(a)的点称为曲的点称为曲线线C的的起点起点, 对应于对应于z(b)=x(b)+iy(b)的点称为曲线的点称为曲线C 的的终点终点. 若曲线若曲线C的起点与终点重合的起点与终点重合, 即即z(a)= z(b), 则称则称C是是闭曲线闭曲线. 例如例如, z=z(t)=r(cost+isint)

38、 (0 t 2 )是一条闭是一条闭曲线曲线, 因为因为z(0)=z(2 )=r. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换60复变函数与积分变换复变函数与积分变换重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为为简单曲线简单曲线或或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是是简单闭曲线简单闭曲线或或Jordan闭曲线闭曲线 。 z(a)=z

39、(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线61下列曲线是否为简单闭曲线下列曲线是否为简单闭曲线? ?答案答案简单不闭简单不闭不简单不简单,不闭不闭( )z ()z ()z 62复变函数与积分变换复变函数与积分变换简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=

40、z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界63定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，如果，如果B内的任何简单内的任何简单闭曲线的内部总在闭曲线的内部总在B内内，就称，就称 B为为单连通域单连通域；非单连；非单连通域称为通域称为多连通域多连通域。3. 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域复变函数与积分变换复变函数与积分变换例如例如 |z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域64复变函数与积分变换复变函数与积分变换练习练习 1 1 指出下列不等式所确定的点集指出下列不等式所

41、确定的点集, , 是否有界是否有界? ? 是否区域是否区域? ? 如果是区域如果是区域, , 单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的? ?21(1) Re()1;(2) arg;(3)3;3zzz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通区域无界的单连通区域( (如图如图).).解解 (1) (1) 当当 时时, ,zxiy 65复变函数与积分变换复变函数与积分变换(2) arg.3z ,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).1(3)3.z ,3131 zz周外部周外部, 无界多连通区域无界多连通区域(如图如图).是以

42、原点为中心是以原点为中心, 半径为半径为 的圆的圆1366复变函数与积分变换复变函数与积分变换第五节、复变函数第五节、复变函数u 复变函数的定义复变函数的定义u 映射的概念映射的概念u 反函数或逆映射反函数或逆映射67复变函数与积分变换复变函数与积分变换1. 1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一个个若若)( )(zfwzzfwz设设G是一个复数是一个复数z=x+iy的集合，存在法则的集合，存在法则f，对于集，对于集合合G中的每一个复数中的每一个复数z，有一个或几个复数，有一

43、个或几个复数w=u+iv与之对应，则称复变数与之对应，则称复变数w是复变数是复变数z的函数（简称复的函数（简称复变变 函数）记作函数）记作 定义定义w=f(z)而而 是多值函数是多值函数 Argarg2 (0, 1, 2,)wzzkk 例如例如, w=|z|是以复平面是以复平面C为定义域的单值函数为定义域的单值函数。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨68复变函数与积分变换复变函数与积分变换面面区区域域（定定义义域域）的的定定义义集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函数数值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yx

44、ivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw 其中其中u(x,y)和和v(x,y)都是实变量的二元函数都是实变量的二元函数. 69复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例1: : w=z2 是一个是一个复变函数复变函数. 则则 于是于是函数函数w=z2对对222()2,xiyxyxyi22, 2.uxyvxy应于两个二元实函数应于两个二元实函数令令 于是于是,.22zzzzxyi2222.2222zzzzzzzzwizii,.zxiywuiv令令例例2. 若已知若已知f(z)=22( , )( , )2,wu

45、x yiv x yxyxyi.)(的的函函数数表表示示成成将将zzf70复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例3. 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 则则设设zz112izzizz11)2zz(f(z)71复变函数与积分变换复变函数与积分变换oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(变变换换平平面面）的的映映射射平平面面wGwzGzzfw 的原象。称为的象(映象)，而为称wzzw 定义域定义域函数值集合函

46、数值集合zw=f(z)w2. 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义72复变函数与积分变换复变函数与积分变换u 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。u 在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关 系来表达两对变量系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观于几何直观. .u 复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）说说 明明73复变函数与积分变换复变函数与积

47、分变换.所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例4 iirezreirz )sin(cos设设解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射oxy(z)uv(w)o74x、uy、v(z)、(w)o复变函数与积分变换复变函数与积分变换75复变函数与积分变换复变函数与积分变换旋转变换旋转变换(映射映射)isin()cos(r ivu w)sinicos)(sinicosr(.( 实常数）所构成的映射实常数）所构成的映射研究研究 zewi 例例5)sinicosr(z解解：设：设)rsin(v)rcos(ux、uy、v(z)、(w)o 76复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例6 求求 z平面

48、上的下列图形在映射平面上的下列图形在映射 w=z2下的象。下的象。 ,Cyx122 3；22Cxy ,x 4.yArgz1) (2r0202,) (2ArgzArgw ,zw2解：解：设设ivu wiy,xzivu 2xyi)y-(xiy)(xzw22222xyv ),y-(xu2277Argz1) (22ArgzArg(z)Argw 277复变函数与积分变换复变函数与积分变换oxy(z)ouv(w) 2 2zw 782r0202,) (复变函数与积分变换复变函数与积分变换2ArgzArg(z)Argw 2因为因为 Argw0 所以所以2zw 因为因为4w0所以所以oxy(z)ouv(w)R=

49、2R=42zw 79 ,Cyx122 3；22Cxy 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2xyv ),y-(xu22因为因为所以所以21Cv ,Cuoxy(z)122Cyx2zw ouv(w)1Cu C12Cv z平面上的两族分别以平面上的两族分别以y= x和坐标轴为渐进线的等和坐标轴为渐进线的等轴双曲线，分别映射成轴双曲线，分别映射成w平面上的两族平行线平面上的两族平行线80 ,x 4.y复变函数与积分变换复变函数与积分变换映为xvu,将直线将直线消消 y，建立，建立所满足的象曲线方程所满足的象曲线方程yv ,yu222，)(4222uv是以原点为焦是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图点

50、，开口向左的抛物线（见图c1)c1)v图图c12)(4222uv其是以原点为焦点，其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图开口向右的抛物线（见图c2c2）。）。 y22,2uxvx 将将 线线映为映为，消，消 x 得得81例例 设设 w=z2 则称则称 为为w=z2的反函数或逆映射的反函数或逆映射wz 0,1)(kewwz22k为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.Gzzfz