椭圆综合复习讲义--高三数学一轮复习.docx

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1、 课题:椭圆与方程第1课：椭圆的标准方程第2课：椭圆的几何性质第3课：基于椭圆的轨迹问题研究第4课：椭圆的焦点三角形第5课：直线与椭圆的位置关系及弦长计算第6课：中点弦问题-椭圆垂径定理第7课：椭圆离心率的计算第8课：面积计算第9课：椭圆综合问题研究第1课：椭圆的标准方程一学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.二概念梳理.1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.2.根据椭圆的定义可知：集合，且 为常数.当时，集合P为_；当时，集合P为 当时，集合P为 .3.焦点在x轴上的椭圆的标准方程为.来源:学科网ZXXK焦点在y轴上的椭圆的标准方程为. 其中满足

2、关系为.三典例分析.例1.求下列椭圆的焦点坐标.(1). (2). (3). (4). 例2.已知方程.(1) 若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；(2) 若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；(3) 若上述方程表示椭圆，求实数的取值范围.例3.求下列椭圆的标准方程1两个焦点坐标分别为,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10；2.已知椭圆上点，且两焦点是；3.经过两点；4.与椭圆有相同焦点，且经过点.四练习题1.椭圆与椭圆的焦距相等，则的值是2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_.3.椭圆，焦点在y轴上，则的取值范围是.4.椭圆的焦点坐标为 5.求适合

3、下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(4，0)和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；(2) 中心在原点，且经过点，.第2课：椭圆的几何性质 一 学习目标二 知识梳理标准方程+=1（ab0）+=1（ab0）图形性 质焦点，焦距范围，对称性对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点顶点，轴长轴的长为，短轴的长为离心率，其中三典例分析例.求适合下列条件的椭圆的标准方程：.焦点在轴上，；.焦点在轴上，；.经过点，；.长轴长等到于，离心率等于四练习题1已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程为（ ）ABCD2已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，

4、则C的方程为ABCD3已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点若的周长为8，则椭圆方程为（）ABCD4椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为（，0），则椭圆的标准方程是_5已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为，点P在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的方程为_6设椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则值为_7求适合下列条件的椭圆的标准方程：.经过点，；.长轴长是短轴长的倍，且经过点；.焦距是，离心率等于第3课：基于椭圆的轨迹问题研究一学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.二知识梳理:1

5、.定义法求轨迹方程的基本步骤:2.代入法求轨迹方程的基本步骤:三典例分析.1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.例1.已知是两个定点，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点的轨迹方程.例2.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程.例3.已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线.求曲线的方程.2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.例4.已知曲线M上的动点到定点距离是它到定直线距离的一半求曲线M的方程.3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.例5.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.求动点的轨迹的方程.4.相关点法求轨迹.例6.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交

6、轴于点，点满足求动点的轨迹方程.四.练习题1已知，且的周长为，记点的轨迹为曲线.直线：与曲线交于不同两点，.求曲线的方程.2 已知动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数求动点的轨迹方程.3 在圆内有一点,为圆上一动点，线段的垂直平分线与的连线交于点求点的轨迹方程4 设为圆的动点，在轴的投影为，动点满足，动点的轨迹为.求的方程.5圆上的动点在轴、轴上的射影分别是，点满足.求点的轨迹方程.第4课：椭圆的焦点三角形一学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.二概念梳理.1.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，进一步，有2.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有三典例分析.例1.证明以下结论：(1).

7、 焦点三角形的周长为(2). 焦点三角形的面积为：.(3).已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则例2椭圆的两个焦点为,点是椭圆上任意一点（非左右顶点）,则的周长为( )A B C D例3.已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中求该椭圆离心率的范围.例4.椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，则的最大值为_.方法1.均值不等式.方法2.焦半径公式.四.练习题.1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ）A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆的

8、左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆（1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A1 B C D5.已知椭圆的两个焦点为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 6已知椭圆的两个焦点分别为， ，斜率不为的直线过点，且交椭圆于， 两点，则的周长为（ ）A B C D7椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则F1PF2的余弦值为A B C D8已知椭圆的左右焦点分别为， ，过的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率

9、为（ ）A B C D9已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满，则的面积为（ ）A B C2 D110如图，椭圆的焦点为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若是线段的三等分点，则的周长为（ ）A20 B10 C D11已知焦点在轴上的椭圆的离心率，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值第5课：直线与椭圆的位置关系及弦长计算一 学习目标.掌握直线与椭圆位置关系的判定方法以及能够应用弦长计算公式求解简单的弦长问题.二知识梳理.1直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 判定方法代数法。将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况： 0，方

10、程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； 0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； 0，方程无解，则直线与椭圆相离2.弦长的一般形式设A(),B()弦长= =3.椭圆弦长: 相切条件：,三典例分析例1.已知直线l：y2xm，椭圆C：，试问：当m取何值时，直线l与椭圆C， (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？例2.已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，求弦长四练习题1.已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点， 求弦AB的长.2.已知椭圆及直线（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程

11、3.已知直线与椭圆相交于两点，当变化时，求的最大.4.已知椭圆的离心率连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线与椭圆相交于不同的两点已知点的坐标为若,求直线的倾斜角.第6课：中点弦问题-椭圆垂径定理一学习目标:掌握点差法，能够在不同情境中用点差法解决中点弦问题，会推导椭圆垂径定理.二.知识梳理:1.中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）椭圆：交点在x轴上时 直线与椭圆相交于点A、B设点A(),B()A、B在椭圆上 则 即 -得： 即 则 （其中M为A、B中点，O为原点）同理可以得到当焦点

12、在y轴上，即椭圆方程为当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点则2.椭圆垂径定理：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于下的系数比上下的系数的相反数.三.典例分析例1.已知椭圆，弦的中点是,求弦所在的直线方程.例2.已知椭圆直线不经过原点,且不平行于坐标轴,与C有两个交点,假设线段中点为,证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.四.练习题.1已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为()ABCD2.已知椭圆，椭圆内一点,则以为中点的弦所在的直线的斜率是 A. B. C.2 D.23若椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为( )ABCD

13、4已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆交于A，B两点，若AB的中点，且直线AB的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）A B C D5中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程6已知椭圆方程为，求： （1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹.7.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差第7课：椭圆离心率的计算第8课：面积计算1.三角形面积直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三

14、角形的面积处理方法：一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离） =（直线为斜截式y=kx+m） =特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。 例1.已知椭圆C:，直线y=x+1交椭圆于A、B两点，O为坐标原点,求OAB的面积.练习1.已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(1).求的方程；(2).设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.2.四边形面积在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助

15、棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.例2.平面直角坐标系中，过椭圆M:右焦点F的直线交与A,B两点，C,D为M上的两点，且CDAB，（1）若直线CD过点（0,1），求四边形ABCD的面积；（2）求四边形ACBD面积的最大值.第9课：椭圆综合问题研究一 学习目标:通过在角度关系的问题情境中的探究过程，进一步体会几何问题代数化，代数关系坐标化，联立方程设而不求的解析几何基本思想，提升逻辑分析和数学运算的核心素养.二 知识梳理：1.斜率的定义：2.斜率的坐标公式：三典例分析.1.基于角度关系的情境.例1.设椭圆

16、的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.练习1.已知椭圆,点分别为椭圆的左顶点，上顶点，左焦点，若，求椭圆的离心率.2.基于向量情境的问题.例2.已知椭圆的两个焦点为，且经过点.(1) 求椭圆的方程；(2) 过的直线与椭圆交于A,B两点(点A位于轴上方)，若,求直线的斜率的值练习2已知椭圆D：1(ab0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|OF|，AOF的面积为1(其中O为坐标原点)(1) 求椭圆D的标准方程；(2) 过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线xa交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，求的值解题技法解决椭圆中与

17、向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题3.定值问题.例3.已知椭圆经过，且离心率为.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点A),证明:.练习3.已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，P是椭圆C上的点(1) 求椭圆C的方程；(2) O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值4.定点问题.例4.已知椭圆：（），四点，中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线不

18、经过点且与相交于两点。若直线与直线的斜率的和为1，证明：过定点.练习4.已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标11.附录:解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题附几种几何条件的转化，以供参考1平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对

19、角线互相平分中点重合2直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为1，或向量数量积为0(2)勾股定理两点的距离公式(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)两点的距离公式3等腰三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边相等两点的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式4菱形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合5圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零(2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数6角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角，直角，钝角角的余弦(向量数量积)的符号(2)倍角，半角，平分角角平分线性质，定理(夹角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例线段或斜率22学科网（北京）股份有限公司