2022年特殊曲面及其方程柱面、锥面、旋转面宣贯 .pdf

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1、引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1. 柱面定义 1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1） ，曲线焦作准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的， 任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线， 通常取一条平面曲线作为准线。 特别地，若取准线为一条直线， 则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适

2、的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z轴，准线为Oxy面上的一条曲线，其方程为：,00fx yz又设, ,P x y z 为柱面上一动点（图2） ，则过点P与 z轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为,0Mx y，因点M在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点, ,P x y z 的坐标满足方程,0fx y反过来，若一点, ,P x y z 的坐标满足方程,0fx y，过P作 z轴的平行线xzyO, ,P x yz, ,0M x y图 2 图 1 uv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

3、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 交Oxy面于点M，则点M的坐标, ,0 x y满足准线的方程,0,0fx yz，这表明点M在准线上，因此直线MP是柱面的母线 ( 因为直线MP的方向向量为 0, 0,| 0, 0,1z)，所以点P在柱面上。综上所述，我们有如下结论：母线平行上于 z 轴，且与Oxy面的交线为,0,0fx yz的柱面方程为：,0fx y（1）它表示一个无限柱面。若加上限制条件azb，变得它的一平截段面。同理，母线平行于x 轴，且与Oyz面的交线为,0,0g y zx的柱面方程为,0g y z；母

4、线平行于y轴，且与Ozx面的交线为,0,0h x zy的柱面方程为,0h x z。定理 1：凡三元方程不含坐标, ,x y z中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。例 1：以Oxy面上的椭圆22221,0 xyzab，双曲线22221,0 xyzab和抛物线22,0yPxz为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为2222222221,1,2xyxyyPxabab它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又统称为二次柱面，其图形见（图3） 。例 2：证明，若柱面的准线为zxyo

5、xyzooyxz图 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - ,0:0fx yz母线方向为,0Vl m nnr，则柱面方程为,0lmfxzyznn（2）证：设111,0P xy为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：11,xxlyymzn（为叁数）当点1P 遍历准线上的所有点，那么母线就推出柱面，消去参数，由式中最后一个式子得zn，代入其余两个式子，有11,lmxxlxzyymyznn因点1P 在准线上，代入1

6、1,0fx y，即得 (2) 式若柱面的准线为1,0:0fx zy母线方向为 , 0Vl m nmu v则柱面方程为：1:,0lnfxyzymm（3）若柱面的准线为：2,0:0fy zx母线方向为 , 0Vl m nlu v则柱面方程为2:,0mnfyxzxll（4）1.2 柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线，其方程为12,0:, ,0Fx y zFx y z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 母线方向为,l

7、 m n ， 在准线上任取一点1111,P xyz， 则过点1P 的母线方程是：11,xxlyymzn（为叁数）这里,x y z是母线上点的流动坐标。因点1P 的坐标应满足：11112111,0,0Fx y zFxy z12,0,0FxlymznFxlymzn从上面这两组式子中消去参数，最后得一个三元方程, ,0F x y z (5) 这就是以为准线，母线的方向数为,l m n的柱面方程。例 3：柱面的准线是球面2221xyz与平面0 xyz的交线，母线方向是 1,1,1 ，求柱面的方向。解：设111,x y z是准线上任一点，则过这点的母线方程为111,xxyyzz由此得111,xxyyzz

8、代入准线方程，得222130 xyzxyz消去参数，得2221333xyzxyzxyzxyz展开，化简后得22223xyzxyyzzx这就是所求的柱面方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 1.3 柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为：xftyg tatbzh t母线方向为,l m n 又设1111,Pf tg th t是准线上的一点，则过1P 的母线方程为111,xf tlyg tmzh tn（为参数）令1P

9、 在准线上移动，即让1t 取所有可能的值，并让取所有可能的值，则由上式决定的点, ,x y z 的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：xf tlatbyg tmzh tn（6）例 4：设柱面的准线为：cossin020 xaybz母线方向为0,1,1，求柱面的方程。解：由(6) 式，柱面得参数方程为：cos02sinxaynz从上式中消去参数和，得住面的一般方程22221yzxab1.4 由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线， 只给出生成规律下面举一例。例 5：求以直线q为轴，半径为 r 的圆柱Mr0000,PxyzyxzO, ,P x y z000:xxyyzzqlmn图 4

10、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 面方程，其中直线q通过点0000,Pxy z, 方向向量为 , Vl m nv。解： 设, ,P x y z 为所求柱面上的一点（图4） ，按题意P到q的距离为PMr，设0PPM ，按向量的定义有00PP VPPuuu rvsinVr Vvv两端平方即得所求柱面的向量是方程：2220PP Vr Vuuu rvv写成坐标式，即220000n yym zzl zzn xx200m

11、xxlyy2222rlmn若利用公式2222000PP VP P VP P Vuuuu ruuu ruuu r则式又可写成222222000 xxyyzzlmn2000l xxm yyn zz2222rlmn或2222000 xxyyzzr=2000222l xxm yyn zzlmn特别地， 若取直线q为 z轴， 令0000 xyz， 则比时柱面方程为222xyr 。1.5 曲线的射影柱面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - -

12、- - - 定义 2：设是一条空间曲线，为一平面，经过上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从到的射影柱面（图 5）显然，在上的射影就是从到的射影柱面与的交线。通常我们将平面取为坐标平面。给定空间曲线12,0:, ,0Fx y zFx y z那么怎样求曲线到Oxy平面上的射影柱面方程？因为这个柱面的母线平行于z 轴， 因此它的方程中不应含变量 z ，这样只要消去 z 即从的某一个方程中解出 z 来，把它代入另一个方程中， 就得到从向Oxy面的射影柱面方程：,0fx y同理，曲线在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：,0 ,0g y zh x z因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所

13、以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是：从曲线的方程中轮流消去变量,x y与 z，就分别得到它在Oyz面，Ozx面和Oxy面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。例 6：求曲线222222:1,111xyxxyz在Oxy面上的射影。解：欲求曲线在Oxy面上的射影，需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去z ，由的第一个方程减去第二个方程并化简得1yz或1zy将1zy代入曲线的方程中的任何一个，得曲线到Oxy面的射影柱面：22220 xyy图 5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

14、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 故两球面交线在Oxy面的射影曲线方程是22200 xyyz这是一椭圆 . 2.锥面定义 3：通过一定点0P 且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面（图 6） ，定点0P 叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。由定义 3，可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为准线

15、。下面分几种情形讨论锥面的方程：2.1 顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线在平面zh上，其方程为,0:fx yzh又 设, ,P x y z 为 锥 面 上 一 动 点 （ 图7 ） ，111,P xyh 为准线上一点，且P、1P 、O三点共线，则1OPOPuu u vuuu v或11 , , , x y zxy h 即11,xxyyzh，于是11,xhxyhyxyzz。由于11,xy 应满足11,0fx y，可见, ,x y z 应满足方程：0P图 6 OxzP111,Px y hy图 7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

16、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - ,0hhfxyzz反过来，若一点P的坐标, ,x y z 满足方程 (1)，则将上式逆推可知，点P在过点O与1P 的直线上，因而在锥面的母线上，即点P是锥面上的点。因此，以原点为锥顶，准线为,0,g y zxk 或,0,h x yym 的锥面方程分别为：,0 ;,0kkmmgyzhxzxxyy例 7：采用上式易知，以原点为锥顶，准线为椭圆22221xyabzh双曲线22221xyabzh和抛物线22yPxzh的锥面方程分别是：2222222211111,1hhhhx

17、yxyazbzazbz和220hhyPxzz即222222222222,xyzxyzabhabh和220hyPxz。这三个二次方程都是关于x、y、 z的二次齐次方程，因此统称为二次锥面zh=zyxOyxzzh=O图 8 yzxOzh=222222xyzabh222222xyzabh220hyPxz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - （图 8） 。2.2 锥面的一般方程设锥面的准线为一空间曲线：12,0:,0Fxy

18、zFxy z顶点0P 的坐标为000,xyz。又设1111,P x y z为准线上一点，则过点1P的母线方程为：010010010,xxxxyyyyzzzz因为1P 在准线上，故应有11112111,0,0FxyzFxyz00010002111,0111,0 xxyyzzFxxyyzzF（7）从以上一组方程中消去可得,0Fx y z这就是以为准线0P 为顶点的锥面方程。例 8：锥面的顶点在原点，且准线为22221xyabzc求锥面的方程。解：设1111,Mx y z为准线上的任意点，那么过1M 的母线为111xyzxyz且有2211221xyab1zc由、得11,xyxcyczz名师资料总结

19、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 代入得所求的锥面方程为2222220 xyzabc这个锥面叫做二次锥面。定理 2：关于,x y z的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。证： 设, ,0F x y z是关于,x y z的 n 次齐次方程，点1111,P x y z是方程所表示的曲面上的任意一点（但不是原点） ，那么111,0F x y z连结1OP ，在此直线上任取一点(),P x y z，因为1OPtOP=uu u vuu

20、u v，故有11,xtxytyztz=把点P的坐标代入曲面S的方程，利用F是 n次齐次函数，有()()()111111,0nF x y zF tx ty tzt F x y z=这表示直线1OP 上任何点都在曲面S上，因而S是由过原点的动直线构成的，这就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。推论： 关于000,xxyyzz-的齐次方程表示以()000,xyz为顶点的锥面。证：平移坐标轴，以()000,xyz为新原点，利用定理 (2)即得证明。例 9：求顶点在()00, ,0Pb，准线为2222:1 ,0zxycaG-=的锥面方程。解：设(), ,P x y z 是锥面上一动点，则母线0PP 的方程

21、为11,xxybbzzrrr=-=（为叁数）其中()111,0,P xz为母线0P P 与准线G的交点，从上式可解得交点1P 的坐标11,0,xzxybbzrrr=-+=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 由此可解得ybbr-= -，将点1P 的坐标代入准线方程中，得2222221zxcarr-=或222220zxcar-=此即()2222220ybzxcba-=这就是所求的锥面方程。2.3 锥面的参数方程设锥面

22、的准线的参数方程为( )( )()( ):xftyg tatbzh t=?G=?=?顶点为()0000,P xyz，又设( )( )( )()1111,Pf tg th t为准线上一点，则母线01P P 的参数方程为( )( )( )()010010010 xxf txyyg tyzzh tzrrrr轾? =+-?臌?轾=+- ? +臌?轾=+-?臌? ?当点1P 在准线G上移动时，母线01P P 的轨迹就是锥面，因此锥面的参数方程是()( )()( )()( )000111xxf tatbyyg tzzh trrrrrrr=-+?镦?=-+?- ?是一叶，0r 是另一叶。例 10：已知锥面的

23、顶点为()0,0,0 ，准线为()cos ,sin,02xaybzcqqqp=求它的方程。解：由(8)式，所求锥面的参数方程是cos02sinxaybzcrqqprqrr=?骣?=?- ? +桫?=? ?（9）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 消去参数r和q，就得所求锥面的一般方程，它是二次锥面222222xyzabc+=（9）2.4 由生成规律给出锥面的方程定义 4：已知一定直线q上的一定点0P ，过空间一点

24、P与0P 作直线使与q所成锐角等于定角q，则动点P的轨迹叫做 (直)圆锥面，q叫做锥面的轴，锐角q叫做半锥项角，定点0P 叫做锥顶。例 11：求以000:xxyyzzqlmn-=为轴，半锥角为q的圆锥面方程。解： 设(), ,P x y z 为所求圆锥面上的一点，()0000,P xyz为锥顶 (图 9)。0P Puuu r与q的夹角为q的条件是：00P PPPu?uuu r ruuu rcosruq（10）其中 , l m nu =r为直线q的方向向量，0000,P Pxxyyzz=-uuu r。方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程，写成坐标形式是：()()()()2222222000co

25、slmnxxyyzzq轾+-+-+-犏臌()0000,Pxyzq(),Px y zzxyo000:xxyyzzqlmn图 9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - ()()()20000l xxm yyn zz轾-+-+-=臌（10）它是关于000,xxyyzz-的二次齐次式，因而是二次锥面。两个特例是: 1以原点()0,0,0 为锥项，且轴的方向为 , l m n的锥面方程为()()()22222222cos0l

26、mnxyzlxmynzq+-+=（11）若设l、 m、 n为方向余弦，则 (11)式简化为()()22222cos0 xyzlxmynzq+-+=（11）2以原点()0,0,0 为锥顶， z轴为轴，q为半锥项角的圆锥面方程是（此时 , 0,0,1 l m n =） ：()22222cos0 xyzzq+-=或()()2222222cos1cossinxyzzqqq+=-=此即2222t a nxyzq+=（12）其图形见图 10 例 12：求以原点为顶点且过三条坐标轴的圆锥面方程。解：设将过原点且方向角为、的直线q取作轴，因为所求圆锥面包含 三 条 坐 标 轴 ， 所 以 它 的 轴 必 与

27、三 条 坐 标 轴 交 成 等 角 ， 因 而 有coscoscos， 但222coscoscos1， 故 有3c o s3，3cos3，3cos3。根据不同的符号，q的位置共有四种，且分别在八个 封 限 内 ， 但 圆 锥 的 半 锥 顶 角满 足21c o s3（ 因 为 此 时22221c o sc o sc o sc o s3） 。1设q位于第、封限，则有3c o sc o sc o s3写出母线方向 , , x y z与cos, cos, cos 成角为的条件：yxz直圆锥面：2222tanxyz图 10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

28、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2222221coscoscoscos3coscoscosxyzxyz2223xyzxyz由此出锥面的方程为：0 x yy zz x此时轴的方程是：xyz2设q位于第、封限内，同理得锥面的方程为：0 xyyzzx此时轴的方程是：xyz3设q位于第、封限内，则锥面方程为：0 x yy zz x且轴的方程是：xyz4设q位于第、封限内，则锥面方程为：0 x yy zz x且轴的方程是：xyz3. 旋转曲面定义 5：一条曲线G绕一条定直线q旋转而产生的曲面叫做

29、旋转曲面（图11） ， 曲线G叫做旋转曲面的母线， 直线q叫做旋转轴，G上每一点在旋转过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。当G为直线时，若与轴平行，则旋转曲面是（直）圆柱面；若G与轴相交时，旋转曲面是（直）圆锥面；若G与轴垂直，则旋转曲面是平面（图12） ，因此圆柱面、圆锥面，还有平面都可看作是旋转曲面的例子。Gq纬线圆旋转曲面图 11 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 下面分几种情形讨论旋转面的方程：3.1 旋

30、转曲面的一般方程设旋转曲面的母线是一条空间曲线()()12,0:,0Fxy zFxy z=?G?=?旋转轴q是过点()0000,P xyz，方向为 , l m n的直线000:xxlgyymzznrrr=+?=+? =+? ?()r- ? +又设()1111,P x y z是母线上任意一点，(), ,P x y z 是过1P的纬线圆（它的圆心是q上的一点）上的任意一点（图13） ，则1,qCPqCP且1CPCP=1001,PPqP PP P=，所以有()()()1110l xxm yyn zz-+-+-=()()()222000 xxyyzz-+-+-()()()222101010 xxyyz

31、z=-+-+-式表示以0P 为中心，以01PP 为半径的球面， 而式表示通过点1P 且垂直于轴q的平面。所以和联立表示通过1P 的纬线圆。又因点1P 在母线G上，故有()()11112111,0 ,0FxyzFxyz=由三式、消去111,x y z ，即得旋转曲面方程：qGqGqG0P图 12 yzx1PPC0PO000:xxyyzzqlmn图 13 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - (), ,0F x y z

32、 =（13）例 13：求直线1122xyz-=绕直线:q xyz=旋转所得的旋转曲面方程。解： 设(), ,P x y z 是旋转曲面上的任意一点， 过P作轴xyz=的垂直平面，交母线1122xyz-=于一点1P()111,xyz （图 14） ，因为旋转轴通过点，不妨取原点为0P ，于是由上述，过点1P 的纬线圆方程是：()()()111222221110 xxyyzzxyxyz-+-+-=?+=+?由于点1P 在母线上，故1111122xyz-=或()()111121 ,21yxzx=-=-代入1111222254xyzxxxx+=+-+-=-因此()()()()()11111145221

33、1522115xxyzyxxyzzxxyz?=+?=-=+-?=-=+-? ?上式代入，得()()2222218412525xyzxyzxyz+=+-这就是所求的旋转曲面方程。在实际运用中， 我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地，若母线是一条平面曲线，我们又常把母线所在的平面取作一坐标面，旋转轴取作该平面内的某一坐标轴，这时旋转曲面的方程具有较简形式。00,0,0P, ,P x y z1111,P xy zc1122xyz:gxyz图 14 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

34、 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 3.2 平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面设G是坐标平面Oxy上的曲线（图 15） ， ，它的方程是(),0:0g y zx=?G?=? ?旋转轴为 z轴：001xyz=，如果()111,P O y z 为母线G上的一点，那么过1P的纬线圆方程为：122222110zzxyzyz-=?+=+? ?且有()11,0g y z =从上面两组式子消去参数11,yz ，具体做法是：将代入，得2222211,yxyyxy=+= ?将221yxy及1zz 代入即得22,0gxyz（14）同样，把曲线绕y轴旋转所得的旋转曲面的方程是：22,0g

35、yxz（15）同理可知，坐标平面Ozx上的曲线:,0 ,0hx zy绕 x轴或 z轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：22,0h xyz和22,0hxyzOxy面上的曲线:,0 ,0fx yz绕 x轴或y轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：22,0fxyz和22,0fxzy因此，我们有如下结论：定理 3：当坐标平面上的曲线绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，只要1PzyxO图 15 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - -

36、将曲线在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标，而以其余两个变量的平方和的平方根去替换方程中的另一坐标，即得旋转曲面的方程。例 14：将Oxy面上的圆222:,0Cxayrzar绕y轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：因为绕y轴旋转，所以方程222xayr中保留y不变，而 x 用22xz 代替，即得旋转曲面方程为：222222xzayr，即22222222xyzaraxz ，或2222222224xyzaraxz这样的曲面叫做圆环面（图16） ，它的形状象救生圈。3.3 旋转二次曲面例 15：圆222:,0C xyrz绕 x轴旋转所得的曲面方程为：22222xyzr，即2222xyzr它是以原点为

37、中心， r 为半径的球面。例 16：椭圆：22221,0 xyzab分别绕长轴（即 x轴）与短轴（即y轴）旋转二的的旋转曲面方程分别为：222221xyzab（16）OxyzxyOar222xayr图 16 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 222221xzyab（17）曲面（16）叫做长形旋转椭球面（图17） ，曲面（ 17）叫做扁形旋转椭球面（图 18） 。在研究地球时， 常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面

38、；有些锅炉为了减轻蒸汽对炉壁的冲击力，而把它做成旋转椭球面的形状。例 17：将双曲线22221,0yzxbc，绕虚轴（即 z轴）旋转的曲面方程为：222221xyzbc（18）（图 19）绕实轴（即y轴）旋转的曲面方程为：222221yxzbc（19） （图 20）zxy2222221xyzabb长形旋转椭球面（图17）2222221xyzabayzx扁形旋转椭球面（图18）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 曲

39、面（ 18）叫做旋转单叶双曲面，曲面（19）叫做旋转双叶双曲面。旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建成旋转单叶双曲面的形式。例 18： 将抛物线22,0ypyx， 绕它得对称轴（即z轴）旋转的曲面方程为：222xypz（20）它叫做旋转抛物面。（图 21）旋转抛物面有着广泛的用途， 如探照灯， 车灯和太阳灶的反光面就是这种曲面。 为了保持发射与接收电磁波的良好性能， 雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛物面。参考文献1 朱 德 祥 ， 朱 维 宗 . 新 编 解 析 几 何 M. 西 南 师 范 大 学 出 版 社 , 1989: 342367 2222221xyz

40、abczyxo旋转双叶双曲面图 20 yxz2222221xyzabc图 19 旋转单叶双曲面zyxo旋转抛物面（图21）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2 章学诚. 解析几何 M. 北京大学出版社， 1989：274324 3 崔冠之，唐宗李.空间解析几何 M. 北京：中央民资学院出版社，1989：213294 4 方德植. 解析几何 M. 北京：高等教育出版社， 1986：156171 5 陈明. 解析几何讲义 M. 北京：高等教育出版社， 1984：213237 6 汪国鑫. 解析几何 M. 四川大学出版社， 1989：133180 7 朱鼎勋，陈绍菱 . 空间解析几何学 M. 北京：北京师范大学出版社，1984：133175 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -