二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件.ppt

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1、2022-7-271 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的特解2022-7-272)(xfqyypy 对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构,*yYy常见类型常见类型,)()(xmexPxf,cos)(xexPxm,sin)(xexPxm难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程2022-7-273设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy)(*代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02

2、qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;)(*xmexQy;)(*xmexxQy)()(xPexfmx 一、一、 型型2022-7-274 2. .二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自由项自由项 f (x) 为多项式为多项式 Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = Pn(x),其中其中 Pn(x) 为为 x 的的 n 次多项式次多项式. ),(*xQxynk 当原方程当原方程 中中 y 项的系数

3、项的系数 q 0 时时， k 取取 0；当当 q = 0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p = 0， q = 0 时，时，k 取取 2. 因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x) 与与 Pn(x) 是同次多项式，是同次多项式，2022-7-275例例 5求方程求方程 y - - 2y + y = x2 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x2 是是 x 的二次多项式，的二次多项式，,2*CBxAxy 则则,2*BAxy ,2*Ay 代入原方

4、程后，有代入原方程后，有.)22()4(22xCBAxBAAx 且且 y 的系数的系数 q = 1 0，取，取 k = 0 . 所以设特解为所以设特解为2022-7-276比较两端比较两端 x 同次幂的系数，有同次幂的系数，有 . 022, 04, 1CBABAA解得解得A = 1，B = 4，C = 6.故所求特解为故所求特解为. 642* xxy2022-7-277例例 6求方程求方程 y + + y = x3 x + + 1 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x3 x + + 1 是一个是一个 x 的三的三次多项式，次多项式，).(*23DCxBxAxxy

5、则则,234*23DCxBxAxy ,2612*2CBxAxy 代入原方程后，有代入原方程后，有)2()26()312(423DCxCBxBAAx . 13 xx且且 y 的系数的系数 q = 0， p = 1 0，取取 k = 1.所以设方程的特解为所以设方程的特解为2022-7-278比较两端比较两端 x 同次幂的系数：同次幂的系数： . 12, 126, 0312, 14DCCBBAA解得解得. 4,25, 1,41 DCBA故所求特解为故所求特解为.4254123* xxxxy2022-7-279是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2

6、xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论, )(*xQexymxk设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2*xmexQxy2022-7-2710特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根xxxexAxepAeqpAy22*2,2,2022-7-2711的通解。的通解。：求微分方程：求微分方程例例21xyy 02 rr解：解：1, 0 rrxeccY21)(2cbxaxxy cbxaxy 232baxy26 222326x

7、cbxaxbax 2, 1,31 cbaxeccxxxy 2123231方程的通解为方程的通解为2022-7-2712.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2*xeBAxxy设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2*) 121(于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例2 22022-7-2713解解设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为

8、的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 例例3 写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 2022-7-2714型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22jeePeePexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejPPejPP)()()22()22( ,)()()()(xjxjexPexP ,)()(xjexPqyypy 设设,

9、)(*1xjmkeQxy利用欧拉公式利用欧拉公式2022-7-2715,)()(xjexPqyypy 设设,)(*1xjmkeQxy*xjmxjmxkeQeQexy,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根jjk注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.2022-7-2716.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy

10、,是单根i,*ixAxey 故代入上式代入上式, 42Ai,2iA,)cos2(sin22*ixxxxixeyjx所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2*xxy原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例4 42022-7-2717.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2ixxeyy ,2 不是特征方程的根i,)(2*ixeBAxy设代入辅助方程代入辅助方程13034ABAi,9431iBA，,)9431(2*ixeixy例例5 52022-7-2718)

11、2sin2)(cos9431(xixix所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31*xxxy原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx（取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部分别是xiAe2022-7-2719.tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例6 62022-7-2720思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式.