2022年高中数学--抽象函数专题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式, 只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数， 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化， 有助于分析问题。抽象函数f(x)具有的性质联想到的函数模型f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)正比例函数模型：f(x)=kx (k0)f(x1+x2)=f(x1) f(x2); f(x1-x2)=f(x1) f(x2)指数函数模型：f(x

2、)=(a0且a1)f(x1 x2)=f(x1)+f(x2); f(x1 x2)=f(x1)-f(x2); (x1,x2R+)对数函数模型：f(x)=(a0且a1)例题：例 1：f (x) 在 R+上是增函数，且f (x)=f (yx)+f (y), 若 f (3)=1,f (x) f (51x) 2 ，求 x 的范围 。例 2：设函数f(x) 的定义域为R，对于任意实数m、n，总有 f(m+n)=f(m) f(n) ，且 x0 时，0f(x)1. （1）证明： f(0)=1 ；且 x1; （2）证明： f(x) 在 R 上单调递减；（3）设 A=(x,y) f (x2) f(y2)f(1),B

3、= (x,y) f (ax-y+2)=1,a R ，若 A B=?，确定 a的范围。抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性先深刻理解奇函数，偶函数概念方法：用哪个数代替x 一、 抽象函数的对称性定理 1.若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (b x)，则函数 y=f (x) 的图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载象关于直线x= 对称。推论 1. 若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (a x) （或 f (2ax)= f (x) ),

4、 则函数 y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。推论 2. 若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程f (x)=0 有 n个根，则此n 个根的和为na 。定理 2. 若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件： f (a+x)+f (b x)=c， （a,b,c为常数），则函数 y=f (x) 的图象关于点对称。推论 1.若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件： f (a+x)+f (a x)=0， （a为常数），则函数 y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。了解定理 3.若函数 y=f (x) 定义域为R，则函数 y

5、=f (a+x) 与 y=f (b x)两函数的图象关于直线x=对称。对任意 x0,令 a+x0=b-x1, 则 x0+x1=b-a 此时令 y=f(a+x0)=f(b-x1), 则(x0,y) 在第一个函数图像上,(x1,y) 在第二个函数图像上因为 x0+x1=b-a,所以有 x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y) 和(x1,y) 关于直线x=(b-a)/2 对称所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/2 是对称的定理 4.若函数 y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与 y=c f (b x)两函数的图象关于点对称。二、抽象函数的周期性命题 1：若

6、a是非零常数，对于函数y=f(x) 定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数 . 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=1( )fx，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)+f(x)=1 ，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 2ab(,)22ab c2ba(,)22ba c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载命

7、题 2：若 a、 b(ab)是非零常数，对于函数y=f(x) 定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数 . (1) 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=f(x+b) ，则 f(x) 是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b 对称， 则函数 y=f(x) 是周期函数， 且 2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点 N(b,0)对称， 则函数 y=f(x) 是周期函数， 且 2|a-b|是它的一个周期 . (4)函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数y=f(x) 是周期函数，且4|a

8、-b|是它的一个周期 . 命题 3：若 a是非零常数，对于函数y=f(x) 定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数 . (1)若 f(x) 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期 . (2)若 f(x) 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x) 是周期函数，且4a 是它的一个周期 . 我们也可以把命题3 看成命题2 的特例 ,命题 3 中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1） ，其他命题的证明基本类似. 设条件 A: 定义在 R 上的函数 f

9、(x) 是一个偶函数 . 条件 B: f(x) 关于 x=a 对称条件 C: f(x) 是周期函数 ,且 2a 是其一个周期 . 结论 : 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明 : 已知 A、B C （20XX 年全国高考第22 题第二问）f(x) 是 R 上的偶函数f(-x)=f(x) 又 f(x) 关于 x=a 对称 f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a) f(x) 是周期函数 ,且 2a 是它的一个周期已知 A、CB 定义在 R 上的函数f(x) 是一个偶函数f(-x)=f(x) 又 2a 是 f(x) 一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a)

10、f(x) 关于 x=a 对称已知 C、BA f(x) 关于 x=a 对称 f(-x)=f(x+2a) 又 2a 是 f(x) 一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x) 是 R 上的偶函数由命题 3(2)，我们还可以得到结论:f(x) 是周期为T 的奇函数，则f(2T)=0 【f(x+T)=f(x) ，令 x=-T/2 ，f(T/2)=f(-T/2) ，f(x) 为奇函数 ,所以 f(T/2)=f(-T/2)=-f(T/2) 则 2f(T/2)=0,f(T/2)=0 】基于上述命题阐述， 可以发现， 抽象函数具有某些关系。根据上述命题， 我们易得函数周期，从而解决问题。

11、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载习题：1.若函数 f（x）=x2+bx+c 对于任意实数t 均有 f（ 3+t）= f（1t） ，那么（）A. f（2） f（1） f（4）B. f（1） f（ 2） f（4）C.f（2） f（4） f（1）D. f（ 4） f（ 2） f（1）解析 ：在 f（ 3+t）= f（1t）中（ 3+t）+（1t）=4 所以抛物线f（x）=x2+bx+c 的对称轴为x=2 作示意图如图1，可见，应选A。2.设 f（x）是定义在R 上的奇函数，且f（x2）= f（ x） ，给

12、出下列四个结论：f（2） =0；f（x）是以 4 为周期的函数；f（x）的图像关于直线x=2 对称；f（x+2）=f（x）其中所有正确命题的序号是_。解析： （1）因为 y= f（ x） （xR）是奇函数，所以f（ x）= f（x）令 x=0，得 f（ 0）=f（ 0）fff( )( )( )000200，所以 f（0）=0 又已知 f（x2）= f（x）令 x=2，得 f（ 0）= f（2）所以 f（2）= f（0） =0 故成立。（2）因为 f（x2） = f（x） ，所以fxfxfxf x( )2224由 x（ x4）=4（两自变量相减得常数）所以 f（x）是以 4 为周期的周期函数。故

13、成立。（3）由 f（x+2）= f（ x）得： （x+2）+（ x）=2（两自变量相加得常数）所以 f（x）的图像关于直线x=1 对称。而不是关于直线x=2 对称。故是错误的。（4）由（ 2）知， f（x）应满足f（x+2）= f（x2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载而 f（x2） =f（x）所以 f（x+2）= f（x）= f（ x）故成立。综上所述，应填。3. 函数yaxalog210的图像关于直线x=2 对称，则 a=_。解析： 因为函数yaxalog210的图像关于直线x=2 对称所以有1

14、2log12log22xaxaaxaxaaxaax21212121a0（与题设矛盾，舍去）或a12所以a12。4.函数 y=f(x) 在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2) 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.f(1)f()f() B. f()f(1) f() C. f()f()f(1) D.f()f(1) f(). 解析： 函数y=f(x+2) 是偶函数，f(x+2)=f(-x+2) x=2 为 y=f(x) 图像的对称轴=【也可根据 y=f(x+2) y=f(x )向右平移两个单位知x=2 为 y=f(x) 图像的对称轴】函数 y=f(x) 在(2,4)上是减函数，且f(1)=f(

15、3) , , 选 B 5.f(x) 满足 f(x) =-f(6-x) ，f(x)= f(2-x) ，若 f(a) =-f(2000) ，a 5，9且 f(x) 在5，9上单调 .求 a的值 . 包哥解析： 由 f(x) =-f(6-x) ，f(x)= f(2-x) 得 f(2-x)= -f(6-x) 用 x 代替 -x, f(2+x)= -f(6+x) ； 用 x+2 代替 x， f(x)= -f(x+4) ； 用 x+4 代替 x, f(x+4)= -f(x+8)=-f(x), 即 f(x)=f(x+8),T=8 f(2000)=f(0+8*250)=f(0) 又 f(a) =-f(2000

16、) f(a)=-f(0) 又 f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6) a5，9且 f(x)在5， 9上单调 a =6 确定方程根的个数6.已知 f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4 x)，f(7+x)= f(7 x),f(0)=0 ，求在区间 1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：由 f(7+x)= f(7 x)，用 x-7 代替 x，f(x)=f(14-x) f(4 x)= f(14 x)，用 x 代替 4-x 故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0 2527272527252527精选学

17、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载即在区间 (0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根又 f(x) 是周期为10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0 在区间 1000，1000上至少有1+2200010=401 个根 . 12.（仙游一中高一数学期末）在实数集R上定义一种新运算“” ，对于任意给定的,a bR，ab为唯一确定的实数，且具有下面三个性质：(1),;a bR abba对任意(2),0;a bR aa对任意(3),()()()()2 .a bR abccabaccbc对任意关于

18、函数1( )f xxx的性质，有以下说法：在区间0 +（ ， ）上函数( )f x的最小值为3；函数( )f x为奇函数；函数( )f x的单调递增区间为（-,-1),(1,+). 其中所有正确说法的个数为（）A3B2C1D0解析： B由新运算 “ ” 的定义（ 3）令 c=0，则 ab=ab+a+b 1( )f xxx=（对勾函数）f （x）=，令f （x）=0，则x=1，当 x（ - ，-1）或（ 1，+）时， f （x）0函数 f（ x）的单调递增区间为（-，-1） 、 （1，+） 故正确；正确，错误，f(-x) -f(x) 12.（2018 厦门市高中毕业班模拟试题）已知函数，若 f(

19、)+f(2 对任意的恒成立，则t 的取值范围是（）A.(-,) B. (,+ ) C. (-, 2) B. (2,+ ) 解析： B 由，得+得：式表示只要自变量相加为1，函数值之和为2，那么题目中的不等式可以转化为：f()+f(2= f()+ f1-() 也即 f( f1-()对任意恒成立易知 f(u) 在单调递增， 1-() 对任意恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载也即 t对任意恒成立接下来求y=最大值，令a=,则=a2-1，其中a y=a2-1+a=）,当 a=时，ymax=1+转化成：（）max t，即1+ t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页