2022年高中数学导数部分复习专题及详解 2.pdf

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1、专题一导数及其应用导数及其运算一、知识导学1. 瞬时变化率：设函数)(xfy在0 x附近有定义，当自变量在0 xx附近改变量为x时，函数值相应地改变)()(0 xfxxfy，如果当x趋近于 0 时，平均变化率xxfxxfxy)()(00趋近于一个常数 c（也就是说平均变化率与某个常数c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数)(xf在点0 x的瞬时变化率。2. 导数：当x趋近于零时，xxfxxf)()(00趋近于常数c。可用符号“”记作：当0 x时，xxfxxf)()(00c或记作cxxfxxfx)()(lim000，符号“”读作“趋近于” 。函数在0 x的瞬时变化率

2、，通常称作)(xf在0 xx处的导数，并记作)(0 xf。3. 导函数：如果)(xf在开区间),(ba内每一点x都是可导的，则称)(xf在区间),(ba可导。这样，对开区间),(ba内每个值x，都对应一个确定的导数)(xf。于是，在区间),(ba内，)(xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(xfy的导函数。记为)(xf或y（或xy） 。4. 导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，则)()() )()(xgxfxgxf即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，则)()(

3、)()( )()(xgxfxgxfxgxf即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设)(xf，)(xg是可导的，0)(xg，则)()()()()()()(2xgxgxfxfxgxgxf5. 复合函数的导数:设函数)(xu在点x处有导数)(xux, 函数)(ufy在点x的对应点u处有导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页数)(ufyu, 则复合函数fy)(x在点x处有导数 , 且xuxuyy.6. 几种常见函数的导数： (1)(0为常数CC

4、(2)(1Qnnxxnn）（(3)xxcos)(sin (4)xxsin)(cos(5)xx1)(ln (6)exxaalog1)(log(7)xxee )( (8)aaaxxln)(二、疑难知识导析1. 导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2. 运用复合函数的求导法则xuxuyy, 应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后, 要把中间变量换成自变量的函数, 层层求导 .(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆， 一直计算到最后，常出现如下错误，如xx2sin)2(cos实际上应是x2sin2。(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如

5、4)31(1xy选成uy1，xwwvvu3,1,4计算起来就复杂了。3. 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率. 导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.的关系与)()(0 xfxf)(0 xf表示0)(xxxf在处的导数，即)(0 xf是函数在某一点的导数；)(xf表示函数)(xf在某给定区间),(ba内的导函数，此时)(xf是在),(ba上x的函数，即)(xf是在),(ba内任一点的导数。5. 导数与连续的关系若函数)(xfy在0 x处可导，则此函数在点0 x处连续，但逆命题不

6、成立，即函数)(xfy在点0 x处连续，未必在0 x点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6. 可以利用导数求曲线的切线方程由于函数)(xfy在0 xx处的导数，表示曲线在点)(,(00 xfxP处切线的斜率，因此，曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP处的切线方程可如下求得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页（1）求出函数)(xfy在点0 xx处的导数，即曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：)(000 xxx

7、fyy，如果曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP的切线平行于y轴 （此时导数不存在） 时， 由切线定义可知， 切线方程为0 xx.三、经典例题导讲 例 1 已知2)2cos1(xy, 则y .错因： 复合函数求导数计算不熟练, 其x2与x系数不一样也是一个复合的过程, 有的同学忽视了, 导致错解为:)2cos1(2sin2xxy.正解： 设2uy,xu2cos1, 则)2()2sin(2)2cos1(2xxuxuuyyxux)2cos1(2sin42)2sin(2xxxu)2cos1 (2sin4xxy. 例 2 已知函数)1)(1(21) 1)(1(21)(2xxxxxf判断 f(x)在

8、 x=1 处是否可导？错解：1) 1(, 1) 11 (21 1)1(21lim220fxxx。分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解：1) 11(21 1)1(21limlim2200 xxxyxx f(x)在 x=1 处不可导 .注：0 x，指x逐渐减小趋近于0；0 x，指x逐渐增大趋近于0。点评： 函数在某一点的导数，是一个极限值，即xxfxxfx)()(lim000， x 0，包括 x0，与 x0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. 例 3 求322

9、xy在点)5, 1 (P和)9,2(Q处的切线方程。错因： 直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页分析： 点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在1x处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线解：4.4, 3212xyxyxy即过点P的切线的斜率为4，故切线为：14xy设过点Q的切线的切点为),(00yxT，则切线的斜率为04x，又2900 xykPQ，故00204262xxx，3 , 1.06820020 xxx。即切线QT的斜率

10、为4 或 12，从而过点Q的切线为：1512, 14xyxy点评 ： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标 例 4 求证：函数xxy1图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0 的切线方程 .分析：由导数的几何意义知，要证函数xxy1的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解： （1）111,12xyxxy，即对函数xxy1定义域内的任一x，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数xxy1图象上各点处切线的斜率都小于1.（2）令0112x，得1x，当1x时，2111y

11、；当1x时，2y，曲线xxy1的斜率为0 的切线有两条，其切点分别为)2, 1(与)2,1(，切线方程分别为2y或2y。点评：在已知曲线)(xfy切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(xfy的导数值为k时的解，即方程kxf)(的解，将方程kxf)(的解代入)(xfy就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程kxf)(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页 例 5 已知0a，函数axxf3)(，, 0 x，设01x，记

12、曲线)(xfy在点)(,(11xfxM处的切线为l . （1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为)0,(2x，求证：312ax；若311ax，则1231xxa分析： 本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解： （1）xaxaxxxyxfxx3300/)(limlim)(xxxxxxx3220)()(33lim22203)(33limxxxxxx2113)(xxf切线l的方程为)()(111xxxfxfy即)(3)(12131xxxaxy.（ 2）依题意，切线方程中令y=0 得，由知2131123xaxxx，2131123xaxxx 例 6 求抛物线2xy上的点到直线02

13、yx的最短距离 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页分析： 可设),(2xxP为抛物线上任意一点，则可把点P到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函数最小值即可， 另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02yx的距离即为本题所求. 解：根据题意可知， 与直线 x y 2=0 平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x y2=0 的距离最短，设切点坐标为（），那么12|2|000 xxyxxxx, 210 x 切点坐标为)41,21(，切点到直线xy2=0 的距离8272|241

14、21|d， 抛物线上的点到直线的最短距离为827. 2、导数的应用一、知识导学1. 可导函数的极值（1）极值的概念设函数)(xf在点0 x附近有定义，且若对0 x附近的所有的点都有)()(0 xfxf（或)()(0 xfxf） ，则称)(0 xf为函数的一个极大（小）值，称0 x为极大（小）值点.（2）求可导函数)(xf极值的步骤 :求导数)(xf。求方程0)(xf的根 .求方程0)(/xf的根 .检验)(xf在方程0)(xf的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(xfy在这个根处取得极小

15、值.2. 函数的最大值和最小值（1）设)(xfy是定义在区间ba,上的函数，)(xfy在),(ba内有导数，求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值，可分两步进行. 求)(xfy在),(ba内的极值 . 将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页值. （2）若函数)(xf在ba,上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数)(xf在ba,上单调递减，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值. 二、

16、疑难知识导析1. 在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(xf取值为 0 的点称为函数)(xf的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数| xy在点0 x处有极小值)0(f=0，可是这里的)0(f根本不存在，所以点0 x不是)(xf的驻点 . (1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3)(xxf的导数23)(xxf，在点0 x处有0)0(f，即点0 x是3)(xxf的驻点， 但从)(xf在,上为增函数可知，点0 x不是)(xf的极值点 . (2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区

17、间的增减情况一目了然. (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域 . 如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导） ，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）. 记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值

18、进行比较等步骤. 2. 极大（小）值与最大（小）值的区别与联系极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的. 极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间),(ba内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值. 三、经典例题导讲 例 1 已知曲线xxxyS432:23及点)0 ,0(P，求过点P的曲线S的切线方程 . 错解：4222xxy，过点P的切线斜率40 xyk，过点P的曲线S的切线方程为xy4. 错因： 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义. 在此题中，

19、点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P，上述解法对求过点P的切线方程和求曲线在点P处的切线方程，认识不到位，发生了混淆. 正解： 设过点P的切线与曲线S切于点),(00yxQ，则过点P的曲线S的切线斜率4220200 xxykxx，又00 xykPQ，00020422xyxx。点Q在曲线S上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页.432020300 xxxy，代入得002030020432422xxxxxx化简，得0342030 xx，00 x或430 x. 若00 x，则4k，过点P的切线方程

20、为xy4；若430 x，则835k，过点P的切线方程为.835xy过点P的曲线S的切线方程为xy4或.835xy 例 2 已知函数13)(23xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围 . 错解：, 163)(2xaxxf)(xf在R上是减函数，0)(xf在R上恒成立，01632xax对一切Rx恒成立，0，即01236a，3a. 正解 :23)(axxf16x，)(xf在R上是减函数，)(xf0在R上恒成立，0且0a，即01236a且0a，3a. 例 3 当0 x，证明不等式xxxx)1ln(1. 证明：xxxxf1)1ln()(，xxxg) 1ln()(， 则2)1()(xxxf， 当0 x

21、时。)(xf在,0内是增函数，)0()(fxf，即01)1ln (xxx，又xxxg1)(， 当0 x时，0)(xg，)(xg在,0内是减函数，)0()(gxg， 即0)1l n (xx， 因此，当0 x时，不等式xxxx)1ln(1成立 . 点评： 由题意构造出两个函数xxxxf1)1ln()(，xxxg)1ln()(. 利用导数求函数的单调区间，从而导出)0()(fxf及)0()(gxg是解决本题的关键. 例 4 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为 B.铁路线上距离B为 100km处有一原料供应站C,现要在铁路 BC之间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如

22、果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么 ,D 应选在何处 , 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省 ? 解 ： 设 BD之间的距离为xkm,则|AD|=2220 x,|CD|=x100. 如果公路运费为a元/km, 那么铁路运费为53a元 /km. 故从原料供应站C途经中转站D到工厂 A所需总运费y为:y)100(53xa+a4002x,(1000 x). 对该式求导 , 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页y=53a+4002xax=4005)40035(22xxxa,令0y, 即得 252x

23、=9(2x400), 解之得1x=15,2x=-15( 不符合实际意义, 舍去 ). 且1x=15 是函数y在定义域内的唯一驻点, 所以1x=15 是函数y的极小值点 , 而且也是函数y的最小值点 . 由此可知 ,车站 D建于 B,C 之间并且与B相距 15km处时 , 运费最省. 点评：这是一道实际生活中的优化问题, 建立的目标函数是一个复合函数, 用过去的知识求其最值往往没有一般方法 ,即使能求出 , 也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识, 求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下 , 对于实际生活中的优化问题, 如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的

24、指数、对数函数, 或它们的复合函数, 均可用导数法求其最值. 由此也可见 , 导数的引入 , 大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. 例 5 函数5)()(, 133)(3axxfxgaxxxf，其中)(xf是)(xf的导函数 .（ 1）对满足 1a1 的一切a的值，都有)(xg 0，求实数x的取值范围；（2）设a2m，当实数m在什么范围内变化时，函数y)(xf的图象与直线y3 只有一个公共点. 解： （1）由题意2335g xxaxa令2335xx ax，11a对11a，恒有0g x，即0a1010即22320380 xxxx解得213x故2,13x时，对满足1a1 的一切a的值

25、，都有0g x. （2）2233fxxm当0m时，31fxx的图象与直线3y只有一个公共点当0m时，列表：x, mm,mmm,mfx00fx极大极小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页2211fxfxmm极小又fx的值域是R，且在,m上单调递增当xm时函数yfx的图象与直线3y只有一个公共点. 当xm时，恒有fxfm由题意得3fm即3221213mmm解得332,00,2m综上，m的取值范围是332,2. 例 6 若电灯 B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0 的距离怎样，可使

26、点A处有最大的照度？（,rBABAO照度与sin成正比，与2r成反比）分析： 如图，由光学知识，照度y与sin成正比，与2r成反比，即2sinrCy（C是与灯光强度有关的常数）要想点A处有最大的照度，只需求y的极值就可以了. 解： 设O到B的距离为x，则rxsin，22axr于是)0()(sin232232xaxxCrxCrCy，0)(2252222axxaCy. 当0y时，即方程0222xa的根为21ax（舍）与22ax，在我们讨论的半闭区间, 0内，所以函数)(xfy在点2a取极大值， 也是最大值。 即当电灯与O点距离为2a时，点A的照度y为最大 . （ 0，2a）),2(ay+ - y精

27、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得)(xf=0 且在该点两侧，)(xf的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点. 【课后练习】一、与导数概念有关的问题【例 1】函数 f(x)=x(x- 1) (x- 2) (x- 100)在 x=0 处的导数值为A.0 B.1002C.200 D.100！解法一f(0)=xfxfx)0()0(lim0= xxxxx0)100()2)(1(lim0=lim0 x(x- 1)(x-2 )

28、( x- 100)=（- 1） （- 2）（ -100）=100！选 D. 解法二设 f(x)=a101x101+ a100 x100+ a1x+a0， 则 f(0)= a1， 而 a1= （- 1）（-2） （- 100） =100！ . 选 D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例 3】如圆的半径以2 cm/s的等速度增加， 则圆半径 R=10 cm 时， 圆面积增加的速度是. 解 S =R2，而 R=R(t)，tR=2 cm/s，tS=tR )(2=2RtR=4R，tS/R=10=4R/

29、R=10= 40 cm2/s. 点评 R 是 t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（ R 是中间变量） ，此题易出现“ S=R2， S=2 R，S/R=10=20 cm2/s”的错误 .本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004 年高考湖北卷理科第16 题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4 分.二、与曲线的切线有关的问题【例 4】 以正弦曲线y=sinx 上一点 P

30、为切点的切线为直线l，则直线 l 的倾斜角的范围是A.4,0,43B. , 0C.43,4D. 4,043,2解 设过曲线 y=sinx 上点 P 的切线斜率角为，由题意知， tan=y=cosx. cosx- 1，1， tan- 1，1，又 ,0， 4,0,43. 故选 A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页点评 函数 y=f(x)在点 x0处的导数f(x0)表示曲线， y=f(x)在点（ x0，f(x0)）处的切线斜率，即k=tan (为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及

31、直线倾斜角的范围，极易出错.【例 5】 曲线 y=x3- ax2的切线通过点（0，1） ，且过点（ 0，1）的切线有两条，求实数a 的值 . 解 点（ 0， 1）不在曲线上，可设切点为（m,m3- am2）.而 y=3x2-2ax，k切=3m3-2 am，则切线方程为y=(3m3-2 am)x- 2m3- am2. 切线过（ 0，1） ， 2m3- am2+1=0.(*) 设（ *）式左边为f(m)， f(m)=0，由过（ 0，1）点的切线有2 条，可知f(m)=0 有两个实数解，其等价于“ f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且 a0” . 由 f(m)=2m3- am2+1，得 f(

32、m)= 6m3- am2=2m(3m- a)，令 f(m)=0，得 m=0，m=3a，a 0，f(0)f(3a)=0，即 a0，-271a3+1=0， a=3. 点评 本题解答关键是把“切线有2 条”的“形”转化为“方程有2 个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（ *）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0” .另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例 6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.、B.、C.、D.、解 由题意知导函数的图像

33、是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是、，故选C. 点评f(x)0（或 0）只是函数f(x)在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f(x)在 (a，b)上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x (a，b)，都有 f(x)0(或 0)且 f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页