2022年高中数学必修一知识点 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高中数学必修1 知识点第 一章集合与函 数概念一 、集合有关 概念1、集 合的含义：某些指 定的对象集在一起就 成为一个集合，其中每一个对 象叫元素。2、集 合的中元素的三个特 性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于 一个给定 的集合， 集合中的元素是确定 的，任何一个对象或者是或者 不是这个 给定的集 合的元素 。(2)任 何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对 象，相同 的对象归 入一个集 合时，仅算一个元素。(3)集 合中的元素是平等的， 没有先后顺序， 因此判定两个集合是否一样， 仅需比较 它们的元 素是否一 样， 不需 考查排列

2、顺序是否 一样。(4)集 合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体 性。3、集 合的表示： 如我校的篮球 队员， 太 平洋,大西洋,印度 洋,北 冰洋 1用拉丁字母表示集合：A= 我 校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法 。注意：常用数 集及其记 法：非负整数集 （即自然数集）N 正整数 集N*或N+ 整 数集Z 有理数 集Q 实数集R 关于 “属于” 的概念：集合的元素 通常用小写的拉丁字母表示,如： a是集 合A的元 素，就说a属于集合A 记作 a A ，相反， a不属于集合A 记 作 a A 列举法：把集 合中的元 素一一列 举出来， 然后用一 个大

3、括号括上。描述 法：将集合中的元 素的公共属 性描述出 来，写在大括号内表示集合的 方法。用 确定的条件表示某些对象是否属于这个集合 的方法： 语言描 述法：例：不是直角三角 形的三角 形 数学式子描述法： 例：不等 式x-32的 解集是x R| x-32或x| x-32 4、集 合的分类：1有限集含有 有限个元 素的集合2无限集含有 无限个元 素的集合3空集不 含任何元素的集合例：x|x2=5二 、集合间的 基本关系1.“包含”关系子 集注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分， ； （2）A与B是同一集 合。反之：集合A不包含于 集合B,或集 合B不包含集合A,记作AB或B A 2 “相等

4、”关系(55， 且55，则5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论： 对于两个集 合A与B ， 如果 集合A的 任何一个 元素都是 集合B的 元素， 同 时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集 合A等于集 合B ， 即：A=B 任何一个集合是它本 身的子集 。A A 真子集:如果A B,且A B那就说 集合A是 集合B的 真子集， 记作AB(或BA) 如果 A B, B C ,那么 A C 如果A B 同时B A 那么A=B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎

5、下载3. 不含任何元素的集合 叫做空集 ，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任 何非空集 合的真子 集。三 、集合的运 算1、交集的定义：一般地 ，由所有 属于A且 属于B的 元素所组成的集合,叫做A,B的交集 记作A B(读 作A交B)，即A B= x|x A ，且xB 2、 并集的定义 ： 一般 地， 由所 有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合， 叫做A,B的并集 。 记作 ： A B(读作A并B )，即A B=x|x A ， 或xB3、交 集与并集的性质：A A = A, A = , AB = B A ，A A = A,A = A ,AB = B A. 4、全 集与补集（1

6、）补集： 设S是一 个集合， A是S的 一个子集 （即SA） ，由S中所有不属 于A的元 素组成的集合，叫做S中 子集A的 补集（或 余集）记 作：CSA 即 CSA =x x S且x A （2）全集：如果集合S含有我 们所要研 究的各个 集合的全 部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示 。（3）性质 ：CU(CUA)=A (CUA)A= (CUA)A=U 四 、函数的有 关概念1函数的概念：设A 、B是 非空的数 集，如果 按照某个 确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合B的一个 函数记

7、作：y=f(x)， xA 其 中，x叫做自变 量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫 做函数的值域注意： 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域 ，则函 数的定义域即是指能使这个式子有意义的 实数的集 合；函数的定义域、值域要 写成集合 或区间的形式定义域补充:能使函 数式有意义的实数x的集合称为函数的定 义域，求 函数的定 义域时列 不等式组 的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零 ；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零 且不等于1. (5)如果函数 是由一些

8、 基本函 数通过四 则运算结 合而成的 .那么 ，它的定 义域是使 各部分都有意义的x 的值组 成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还 要保证实际问题有 意义.( 又 注意：求出 不等式组 的解集即 为函数的 定义域。 ) 构成函数的三要素：定义域、对应关 系和值域再注意 ：（1）构成函数三个要素是定义 域、对应 关系和值 域由于 值域是由定义域和对 应关系决定的，所 以，如果 两个函数的定义域和对应关系完全一致，即 称这两个 函数相等 （或为同 一函数）（2） 两 个函数相等当且仅当 它们的定义域和对应 关系完全 一致， 而与表示自 变量和函 数值的字 母无

9、关。 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域 一致(两点必须同时具备) 值域补充:（1） 、函 数的值域取决于定义域和对应法则，不论 采取什么 方法求函 数的值域 都应先考 虑其定义域. （2） 应熟悉掌握一次函 数、二次函数、指数、对数函 数及各三角函数的 值域，它是 求解复杂 函数值域的基础。2. 函数图象知识归纳S CsA A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载(1)定义：在平面直角坐标系中 ，以函数 y=f(x) , (x A)中的x为横坐标 ，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C， 叫做

10、函数y=f(x),(x A)的图 象 C上每一点的 坐标(x， y)均满足 函数关系y=f(x)，反 过来， 以满足y=f(x)的每一组 有序实数 对x、 y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 。图象C一般的 是一条光滑 的连续曲线(或直线), 也可能是由与任意平行 与Y轴的 直线最多 只有一个 交点的若 干条曲线或离散点组 成。(2)画法A 、描点法：根据函 数解析式和 定义域， 求出x,y的一些对 应值并列表，以(x,y) 为 坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用 平滑的曲 线将这些点连接起来. B 、图象变换法（请 参考必

11、修4三角函数 ）常用变 换方法有 三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直 观的看出函数的性质；2、利 用数形结合的方法分析解题的思路。提高 解题的速 度。发现 解题中的 错误。3. 了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半 开半闭区 间； （2） 无穷区间 ； （3）区 间的数轴表示4什么叫做映射一般地 ，设A 、B是两个非空的 集合，如果按某一 个确定的对应法则f，使对 于集合A中 的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确 定的元素y与之对 应，那么 就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f ： AB ”给定 一个集合A到B的映射， 如果aA ,bB

12、.且 元素a和 元素b对应，那 么 ，我 们把元素b叫做元 素a的象 ，元 素a叫做元 素b 的原 象说明： 函数是一 种特殊的 映射，映 射是一种特殊的对应，集合 A 、B及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集 合A到集 合B的对 应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对 于映射f：A B来 说，则应 满足： （）集合A中 的每一个 元素，在 集合B中都有象，并且象是唯 一的； （）集合A中不同的元素，在集合B中对应的 象可以是同一个 ； （ ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有 原象。常用的函数表示 法及各自的优点： 1 函数图象 既可以是连续的曲线，也可以是

13、直线、折线、离散 的点等等 ，注意判 断一个图 形是否是函数图象的依据； 2 解析法 ：必须注 明函数的定义域； 3 图象法 ：描点法 作图要注意：确定函数的定义域；化简函 数的解析 式；观察 函数的特 征； 4 列表法 ：选取的 自变量要有代表性，应能反映定义域的特 征注意：解析法： 便于算出 函数值。 列表法： 便于查出 函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数：在定义 域的不同 部分上有不同的解析表达式的函数。在 不同的范围里求函数值时必须 把自变量代入相应的表达 式。分段函数的解析式不能写成几个不同 的方程， 而就写函 数值几种 不同的表 达式并用一个左大括号括 起来，并 分别注

14、明各部分的自变量的取值情况 （1） 分段函数 是一个函 数， 不要 把它误认 为是几个函数 ；（2）分段函数 的定义域 是各段定 义域的并 集，值域 是各段值域的并集补充二：复合函 数：如果y=f(u),(uM),u=g(x),(x A),则y=fg(x)=F(x)， (xA) 称为f、g的 复合函数。例如: y=2sinXy=2cos(X2+1) 5函数单调性（1）增 函数设函数y=f(x)的定义 域为I， 如果对 于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2， 当x1x2时， 都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增 函数。区间D称为y=f(x)的单调 增区间

15、（睇 清楚课本单调区间的概念）如果对于 区间D上 的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么 就说f(x) 在这个区间上是减函数.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载区间D称 为y=f(x)的 单调减区 间. 注意：1 函数的单调性 是在定义 域内的某 个区间上 的性质， 是函数的局部性质； 2 必 须是对于 区间D内 的任意两个自变量x1，x2； 当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 。（2）图 象的特点如 果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数

16、y=f(x)在这一 区间上具有(严格的)单调性， 在单调区 间上增函 数的图象从左到右是上升的，减函数的图 象从左到 右是下降 的. （3）函 数单调区间 与单调性 的判定方 法(A) 定义法 ：1 任取x1，x2D ，且x11 ，且nN*当n是奇数时， 正数的n次方根是一 个正数， 负数的n次方根是 一个负数 此时，a的n次 方根用符号na表示 式子na叫做 根式 （ radical） ， 这里n叫做根指数 （radical exponent ） ，a叫做 被开方 数 （radicand ） 当n是偶数时， 正数的n次 方根有两个， 这两个数互为相 反数 此时， 正 数a的正的n次方根用符号

17、na表示， 负的n次方根用符号na表示 正的n次方根与负的n次 方根可以合并成na（a0 ） 由 此可得：负数没有 偶次方根 ；0的任何次方根都是0，记作00n。注 意：当n是 奇数时，aann，当n是偶数 时，2 分数指数 幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数 指数幂等于0，0的负分数 指数幂没有意义指出： 规定了分数指数幂的意 义后， 指数的概 念就从整数指数推广到了有理数指数， 那么整数 指数幂的 运算性质也同样可以推广到有理 数指数幂3实数指数幂 的运算性 质（1）rasrraa（2）（3） 二）指数函数 及其性质1、指 数函数的概念：一般地，函 数)1,0(aaayx且叫做指数

18、 函数（exponential function ） ，其中x是自 变量，函数的定义 域为R 注意：指数函数的底 数的取值 范围，底 数不能是 负数、零 和12、指数函数的 图象和性 质)1,0(*nNnmaaanmnm)1,0(11*nNnmaaaanmnmnm)0()0(|aaaaaann),0(Rsra),0(Rsra),0(Rsrasrraaab)(rssraa )(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载a1 0a1 0a1 图象特征函数性质1a1a01a1a0函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（

19、0，）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点（1，0）01loga自左向 右看，图 象逐渐上 升自左向 右看，图 象逐渐 下降增函数减函数第 一象 限的 图 象纵 坐标 都 大于0第一 象限的 图 象 纵坐 标 都大 于00log, 1xxa0log, 10 xxa第 二象 限的 图 象纵 坐标 都 小于0第二 象限的 图 象 纵坐 标 都小 于00log, 10 xxa0log, 1xxa四）幂函 数1、幂函数定 义：一般 地，形如xy)(Ra的函数称 为幂函数，其中为常数 2、幂函数性 质归纳（1）所有 的幂函数 在（0，+）都有 定义，

20、并 且图象都过点（1，1） ；（2）0时，幂函数 的图象通过原点， 并且在区间), 0上是 增函数 特别地， 当1时 ，幂函数的图象下凸；当10时 ，幂函数 的图象上 凸；（ 3）0时，幂函数 的图象在 区间), 0(上是减函 数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象 在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无 限地逼近x轴正半轴 第 三章函数的应 用一 、方程的根 与函数的 零点1、函数零点的概念：对 于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫 做函数)(Dxxfy的零点。2、函 数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)( xf实数根，亦即函数)(xfy的图

21、象与x轴交点的横坐标。即：方 程0)(xf有实数 根函数)(xfy的图象与x轴有 交点函数)(xfy有零点bmnbanamloglogabbalog1log5log5xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载3、函数零 点的求法：求函数)( xfy的零点： 1 （代数法）求方程0)(xf的实数根； 2 （几何法）对于不能用 求根公式 的方程， 可以将它 与函数)(xfy的图象 联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函 数的零点：二次函数)0(2acbxaxy） ，方程02cbxax有两不等实根，二次 函数的图 象与x轴有 两个交点，二次函数有两个零点） ，方程02cbxax有两相等实 根（二重根） ，二次函 数的图象与x轴有一个交点，二 次函数有一个二重零点 或二阶零 点） ，方程02cbxax无实根，二次函数的 图象与x轴 无交点， 二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页