2022年高中数学必修四知识点总结 .pdf

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1、名师总结精品知识点必修四数学公式概念第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1、一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合ZkkS,360. 与角终边垂直的角的集合：ZkkS,18090. 1.1.2 弧度制2、如图，圆O 的半径为1，的长等于1，AOB就是 1 弧度的角。3、角的弧度数的绝对值是：rl变形：rllr其中半径r，圆心角，弧长l. 4、特殊弧度数度0153045607590120135150弧度01264312523243655、弧长公式：rl6、扇形面积公式：22121rlrS扇形1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1、如图：022y

2、xrOP正弦：rysin余弦：rxcos正切：)0(tanxxy2 三角函数定义域3、三角函数值的符号度180210225240270300315330360弧度6745342335476112三角函数定义域sinR “弧度”与“度”计算公式：180度弧度180弧度度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师总结精品知识点4、诱导公式一.,t a n)2t an (,c o s)2c o s (,s i n)2si n (Zkkkk其中利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为2 ,0内的三角函数值。5、三角函数线如

3、图，xyATOMxMPytan,cos,sin6、特殊角的三角函数cosR tanZkk ,2角度030456090120135150180270360sin正弦0 2122231232221010cos余弦1 2322210212223101tan正切0 3313不存在31330不存在0+ _ _ + 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师总结精品知识点补充 1、 如图，角平分线落在一、 三象限线xy上方，则sincosxx. 补充 2、如图，当0,2时，sintan证明：tansin2121212ATMPATO

4、AOAOMOAOATSOPASOPAS扇形1.2.2 同角三角函数的基本关系7、平方关系：1cossin22变形：22cos1sin，22sin1cos8、商数关系：tancossin变形：costansin，tansincos9、推导公式：22tan11cos222tan1tansincossin21cossin22cossincossin221.3 三角函数的诱导公式公式二：公式三：公式四：.t a nt an,c o sc o s,s i nsi n.t ant a n,c o sc o s,s i ns i n.t a nt an,c o sc o s,s ins i n公式五：公式六

5、：.t an12t an,s in2c o s,c o s2si n.t an12t an,s i n2c o s,c o s2s i n1.4 三角函数图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1、正弦、余弦函数图象x=y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师总结精品知识点2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：xysin，2,0 x：0,2,1,23,0,1,2,0,0 xycos，2,0 x：1,2,0,23,1,0,2,1, 01.4.2 正弦函数、余弦函数的性质3、对于函数xf，如果存在

6、一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有xfTxf，那么函数xf就叫做周期函数、非零常数T就叫做这个函数的周期。函数xAysin及函数xAycos的周期2T. 4、重要推论（1）若函数xafxaf，则xf关于ax对称；若函数xafxaf，则xf关于点0, a对称 . （2）与周期相关的结论xfaxf，则函数xf的一个周期aT2；xfaxf1，则函数xf的一个周期aT2；xfaxf1，则函数xf的一个周期aT2；bxfaxf，则函数xf的一个周期baT；xfxfaxf11，则函数xf的一个周期aT4；xf关于ax和bx对称，则xf周期baT2；xf关于0,a和0,b对称，则xf周期b

7、aT2；xf关于0,a和bx对称，则xf周期baT4. 5、正弦函数xysin的定义域为R；值域为1, 1. 当Zkkx22时，y取最大值1；当Zkkx22时，y取最小值1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师总结精品知识点6、余弦函数xycos的定义域为R；值域为1, 1. 当Zkkx2时，y取最大值1；当Zkkx2时，y取最小值1. 7、奇偶性由诱导公式xxsinsin，xxcoscos可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。8、对称性（1）正弦曲线对称中心坐标为Zkk0,；对称轴方程是Zkkx2. （2

8、）余弦曲线对称中心坐标为Zkk0,2；对称轴方程是Zkkx. 9、单调性（1）正弦函数xysin在Zkkk22,22上都是增函数， 其值从1增大到 1；在Zkkk223,22上都是减函数，其值从1 减小到1. （2）余弦函数xycos在Zkkk2,2上都是增函数，其值从1增大到 1；在Zkkk2,2上都是减函数，其值从1 减小到1. 1.4.3 正切函数的性质与图像10、正切函数的图像11、正切函数xytan的定义域是：Zkkxx,2. 12、周期性由诱导公式Rxxx,tantan, Zkkx,2可知，正切函数是周期函数，周期是T. 13、奇偶性由诱导公式Rxxx,tantan，Zkkx,2可

9、知，正切函数是奇函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师总结精品知识点14、单调性：正切函数在开区间Zkkk2,2内都是增函数。15、值域：正切函数的值域为R. 1.5 函数xAysin的图像1、对xysin，xR 图像的影响函数xysin（0） 的图像，可以看做是把xysin的图像上各点向左 （0）或向右（0）平移个单位得到的。 （可简记为左“”右“” ）2、0对xysin图像的影响函数)sin( xy的图像上点的横坐标缩短1或伸长10到原来的1倍（纵坐标不变）而得到的。3、A0A对xAysin图像的影响函数

10、xAysin的图像，可以看做是把xysin上所有点的纵坐标伸长)1(A或缩短)10(A到原来的A倍（横坐标不变）而得到。4、xAysin，0,x，0,0A的性质（1）对称轴：令1sinx，即kx2，)(2Zkkx（2）对称中心：令0sinx，kx，kx，Zkk0,（3）最值：kxykxy22, 1,22,1minmax（4）单调区间：,A均大于 0 以后，将x整体代入5、当函数0,00sinAxxAy表示一个振动量时，A为振幅，2T是周期，21Tf是频率，x为相位，为初相。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师总结

11、精品知识点第二章平面向量2.1 平面向量的基本概念2.1.1 平面向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。2.1.2 向量的几何表示3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模） ，记作AB或者a. 5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。6、单位向量：长度等于1 个单位长度的向量，叫做单位向量。7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字

12、母、 、abc、表示向量；手写时，写成带箭头的小写字母a b c、 表示。8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作a/b。零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0/a.平行向量也叫做共线向量。2.1.3 相等向量与共线向量9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。10、共线向量： 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义1、三角形法则：如图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A， 作ABa，BCb， 则向量AC叫做a与b的和，记作ab，即ABBCACab. 对于零向

13、量与任一向量a，仍然有+=+=00aaa2、平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。记作ACab =. 3、向量a、b、ab的关系（1）a、b都为非零向量（）当a、b不共线时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师总结精品知识点ababab（）当a、b共线时，同向，则abab；反向，则abab（2）当a、b至少有一个为零向量时，ababab综上所述：当a、b不共线时，一般地，我们有ababab. 4、向量加法（1）交换律：abba（2）结合

14、律：abcabc2.2.2 向量减法运算及其几何意义5、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a. 若a、b是互为相反的向量，则ab，ba，0ab. 6、向量的减法：如图，已知向量a于b，在平面内任取一点O，作OAa，OBb，则BAab，即ab表示的向量从向量b的终点指向向量a的终点的向量。7、向量a、b、ab的关系（1）a、b都为非零向量，（）当a、b不共线时：ababab（）当a、b共线时，同向，则abab；方向，则abab（2）当a、b少有一个为零向量时，ababab综上所述：当a、b不共线时，一般地，我们有ababab. 2.2.3 向量乘法运算及其几何意义8、

15、向量的数乘：实数于向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：aaaa当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a. 9、向量满足的运算律设、为实数，则有结合律：aa；第一分配律：aaa；第二分配律：abab. 特别的，我们有aaa；abab. a结果也是向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师总结精品知识点10、数乘向量与原向量之间的位置关系（1）当0a时，a与a共线；（2）当0a时，a与a同向，则0；反向，则0. 11、对于向量0a a、b，如

16、果有一个实数，使ba，那么由向量数乘的定义知，a与b共线。12、共线向量定理（1）判定定理：如果Rba，那么a/b（2）性质定理：如果a/b，0a，那么存在唯一一个实数，使得ba2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee.我们把不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2、两向量的夹角如图，非零向量a、b中，作OAa，OBb，则oo0108AOB叫做向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是

17、90，我们说a与b垂直，记作ab. 2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x、y使得xyaij. 把,x ya叫做向量的坐标表示。2.3.3 平面向量的坐标运算5、向量的加减法运算若11,x ya，22,xyb，则1212,xxyyab，1212,xxyyab两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。6、实数于向量的积若11,x ya，22,xyb，则1111,xyxya实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。7、若11,A x y，22,B

18、 xy，则2121,ABxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师总结精品知识点一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2.3.4 平面向量共线的坐标表示8、设11,A x y，22,B xy，其中0b，当且仅当12210 x yx y时，向量a、b共线。即a/b（0b）12210 x yx y. 2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的含义1、数量积：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosa b叫做a与b的数量积（或内积） ，记作a b，即cosa ba b.其中，是a

19、与b的夹角。我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.即00 a. 注意：（1）a、b运算结果是数量； （2）它在0,2为正，,2为负。2、根据向量数量积的定义得出的结论（1）0aba b（2）当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b. 特别的，22a aaa或2aaa a. （3）a ba b（共线时取等号）（4）求投影，由cosa ba bcosa bab. 求夹角，由cosa ba bcosa ba b3、平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cosb的乘积。4、向量的运算律（1）交换律：a bb a（2）结合律：aba bab（3）分配

20、律：cab cab c（4）2222abaa bb（5）22ababab2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5、平面向量数量积的坐标表示设11,A xy，22,B xy，则1212x xy ya b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师总结精品知识点也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。6、向量的长度（模）的坐标表示（1）向量的长度（模） ：若, xya，则有222xya，22xya. （2）两点间的距离公式：设A、B两点坐标分别为AAyx ,，BByx ,，则22AABBABxxy

21、y7、两向量垂直的充要条件的坐标表示设11,xya，22,xyb，则12120 x xy yab8、两向量夹角的坐标表示设11,xya，22,xyb，a，b的夹角为，则有121222221122cosx xy yxyxya ba b平面向量补充内容补充 1、平面内不同四点为,O A B C，则,A B C三点共线1OCOAOB或1OCOAOB. 特别的，当21时，C为AB中点，12OCOAOB. 补充 2、 （1）若GAGBGC0，则G为ABC的重心。（ 2）若11,A xy，22,B xy，33, yxC，则G坐标为12312333xxxxyyyy补充 3、当12PPPP时，则1122,xx

22、yyxxyy1212xxxxyyyy121211xxxyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师总结精品知识点总结：若P PP P起分分终，则,11xxyy起终起终. 第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式1、coscoscossinsin（C）给出任意角，的正弦、 余弦值与其夹角的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公式。简记作C. 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式2、两角和的余弦公式c oscosco ssi nsi n（C）3、两角和（差）的正弦公式

23、si nsi nc o sc o ssi n（S）si nsi nc o sc o ssi n（S）4、两角和（差）的正切公式t ant ant a n1t a nt an（T）t ant ant a n1t a nt a n（T）3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5、二倍角的正弦、余弦、正切公式si n 22 si nc o s（2S）2222c o s 2c o ss i n2 c o s112 si n（2C）22 t a nt a n 21t an（2T）8、公式的逆运算即变形公式（1）2221sin2sincos2sincossincos（2）升幂公式：21cos2cos221

24、cos2sin2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师总结精品知识点降幂公式：21 cos2cos221c o s 2s i n2补充 1：辅助角公式：222222sincossincosababababab补充 2：若在三角形“”中，sin,cosAaBb，则sinsinabABAB. 3.2 简单的三角恒等变换6、半倍角的正弦、余弦、正切公式1c o ssi n221 coscos221c o ssi n1c o st a n21c o s1c o ss i n7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式21c o

25、ssi n2221coscos2221c o st a n21c o s8、象限角符号的判定22sin2cos2tan第一象限第一、三象限、第二象限第一、三象限、第三象限第二、四象限、第四象限第二、四象限、若给出角的范围（某一区间）时，可先求出2的范围，然后再根据2所在的范围来确定符号。如果没有决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号9、三角函数的积化和差公式1si nco ssi nsi n21c ossi nsi nsi n21c osc o sc o sco s21si nsi nco sc o s210、三角函数的和差化积公式si nsi n2 si nco s22si nsi n2

26、 c o ssi n22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师总结精品知识点c osc o s2 co sc o s22c osco s2 si nsi n2211、三倍角的正弦、余弦、正切公式3si n 33 s i n4 s i n3cos34cos3cos323 t ant a nt a n 313 t a n12、其他一些恒等变换22tan2sin1tan2221t an2c os1t an222tan2tan1tan2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页