2022年高中数学论文向量与三角形内心外心重心垂心知识的交汇新课标人教A版 .pdf

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1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3） 内心角平分线的交点（内切圆的圆心） ： 角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心 . 证法 1：设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxO是ABC的重心 . 证法 2：如图OCOBOA0

2、2ODOAODAO2DOA、三点共线，且O分AD为 2：1 O是ABC的重心（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心 . 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心， BE 垂直 AC ，AD 垂直 BC， D、E 是垂足 . 0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO为ABC的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心 . 证明：bACcAB、分别为ACAB 、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC, (AObACcAB) ，令cbabcOABCDEOABCDE精选学习资料 - - - - - - -

3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页cbabcAO（bACcAB) 化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa（4）OCOBOAO为ABC的外心。典型例题：例1：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点 . ADACAB2ADOAOP2APOAOPADAP2AP/AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C. 例 2： （03 全国理 4）O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满

4、足)(ACACABABOAOP，,0， 则点P的轨迹一定通过ABC的 （B ）A外心B内心C重心D垂心分析：ACACABAB、分别为ACAB 、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC, 点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B. 例3：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)co sco s(CACACBABABOAOP，, 0，则点P的轨迹一定通过ABC的ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页（）A外心B内心C重心D垂心分析： 如图所示AD 垂直 BC，BE 垂直 AC ， D、E

5、是垂足 . )coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0 点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D. 练习：1已知ABC三个顶点CBA、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A2 B23C3 D 6 2若ABC的外接圆的圆心为O，半径为 1，0OCOBOA， 则OBOA( ) A21B0 C1 D213点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A0 B23C45D344ABC的外接圆的圆心为O，若OCOBO

6、AOH，则H是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心5O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA222ABOCCA，则O是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心6ABC的外接圆的圆心为O， 两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页则实数 m = 7 （06 陕西）已知非零向量 AB与AC满足 (AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12, 则 ABC为( ) A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形8已知ABC三个顶点CBA、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D既非等腰又非直角三角形练习答案： C、 D、C、 D、 D、 1、D、C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页