华东交通大学概率论及数理统计PPT课件第四章.ppt

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1、第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征第一节：数学期望第一节：数学期望第二节：方差第二节：方差第三节：协方差及相关系数第三节：协方差及相关系数第四节：矩、协方差矩阵第四节：矩、协方差矩阵 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的的概率分布概率分布，那么，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，

2、只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征数字特征就够了就够了.例：例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是是平均产量平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长纤维长度与平均长度的偏离程度；度的偏离程度； 考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知考察南宁市居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年家庭的年平均收入平均收入，又要研究，又要研究贫富之间的差贫富之间的差异程度；异程度； 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在

3、对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的 .而而所谓的数字特征就是用数字表所谓的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。示随机变量的分布特点。在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质小结小结引例引例：某：某7人的数学成绩为人的数学成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩

4、为9085 280 275607 1221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称数学期望简称期望期望，又称为，又称为均值均值。1)(kkkpxXE若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpx)(XE即的和为的和为随机变量随

5、机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,例例1、（0-10-1）分布的数学期望）分布的数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为XP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布， 则则E(X) = p()0 (1)1E Xppp 例例2,21XX所得分数分别记为所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为它们的分布率分别为 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的数学期望，的数学期望，和和解：我们先来算解：我们先来算21XX分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016

6、. 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 XEXE试比较甲、乙两人的技术那个好试比较甲、乙两人的技术那个好到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望. 例例3 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为： 其分布率为其分布率为以分计以分计为为解：设旅客的候车时间

7、解：设旅客的候车时间),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162616361)()()(70 BPAPABPXP上表中例如上表中例如的数学期望为的数学期望为候车时间候车时间到站到站第二班车第二班车为事件为事件到站到站第一班车第一班车为事件为事件其中其中XBA.30:9,10:8分分22.2736290363703615062306310)( XE).(),(XEX求求设设 例例40, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的分布率为的分布率为解解 )()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即即的数学期望为的数学期望为定义定义2 设设X是连续型随机

8、变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分如果积分dxxxf)(绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望, 即即dxxfxXE)()(请注意请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望).(),(XEbaUX求求设设例例4 其它其它的概率密度为的概率密度为解解01)(bxaabxfX babadxabxdxxxfXEX2)()(的数学期望为的数学期望为.),(的的中中点点即即数数学学期期望望位位于于区区间间ba 例例5其概率密

9、度为其概率密度为服从同一指数分布服从同一指数分布它们的寿命它们的寿命装置装置个相互独立工作的电子个相互独立工作的电子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00, 01)( xxexfx若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以小时计以小时计) N 的数学期望的数学期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函数为的分布函数为解解12min(,)NXX 0001)(11)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度为的概率密度为于是于是22)()(02min dxexdxxxfNEx的分布函数为的

10、分布函数为三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算

11、出来计算出来. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的 .(1) 当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X= xk)=pk ;绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk 1)()()(kkkpxgXgEYE(2) 当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若绝对收敛，

12、则有绝对收敛，则有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g (X) (g是连续函数是连续函数)连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.)(,(,是是连连续续函函数数的的函函数数是是随随机机变变量量设设gYXgZYXZ 则则是一维随机变量是一

13、维随机变量,Z则有则有概率密度为概率密度为是二维连续型是二维连续型若若),(,),()1(yxfYX dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(则有则有概率分布为概率分布为是二维离散型是二维离散型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji 11),(),()(jikjipyxgYXgEZE.积分或级数都绝对收敛积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的这里假定上两式右边的密度密度即具有概率即具有概率上服从均匀分布上服从均匀分布在在设风速设风速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的数学期望的数学期望求求常数常数的函数的函数是是压力压力又设

14、飞机机翼受到的正又设飞机机翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式例例 7EX=0101312),(xdyxdxdxdyyxxfE(-3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdxEXY=01011212),(xydyxdxdxdyyxxyf其它；, 0),( , 2),(Ayxyxf解：0 xy01 yx 设设(X,Y)在区域在区域A上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中A为为x轴，轴，y轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。所围成的区域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY。 四、数学期望的性质四、数学期

15、望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立。和和来证性质来证性质请同学自己证明，我们请同学自己证明，我们，性质性质4321于是有于是有概率密度为概率密度为其边缘其边缘）的概率密度）的概率密度设二维随机变量（设二维随机

16、变量（证证),(),().,(,yfxfyxfYXYX得证。得证。性质性质3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE , 相互独立相互独立又若又若YX.4)()()()(),()(得证得证性质性质YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例8 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望 . 可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布

17、的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p. XB(n,p), 若设若设则则 X= X1+X2+Xn= np次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n因为因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.E(Xi)= )1 (01pp= p六、小结六、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数

18、字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：量另一个重要的数字特征：方差方差第二节 方差方差的定义方差的定义方差的计算方差的计算方差的性质方差的性质切比雪夫不等式切比雪夫不等式小结小结 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的它体现了随机变量取值的平均水平平均水平，是随机变，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的

19、环数；YX 8 9 10 P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 平较高？试问哪一个人的射击水比较两个人的平均环数91 . 0108 . 091 . 08EX94 . 0102 . 094 . 08EY。，而乙射手则较为分散环分集中在均值甲射手射击大部是有差异的的，但两个人射击技术是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看9 由此可见由此可见,研究研究随机变量与其均值的偏离程度随机变量与其均值的偏离程度是十是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易容易看到看到这个数字特征就是我们这一节要介绍的这个数字

20、特征就是我们这一节要介绍的方差方差)(XEXE 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量)(2XEXE 来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在 , 称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差. 记为记为D(X)或或Var(X)，即，即具具有有相相同同的的量量纲纲。，它它与与记记为为的的标标准准差差或或均均方方差差称称为为方方差差的的算算术术平平

21、方方根根XXXXD)()( D(X)=Var(X)=EX-E(X)2若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度离散程度 .若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D（X）是刻画）是刻画X取值分散程度的一个量，它取值分散程度的一个量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2

22、的的数学期望数学期望 . ,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质例例1设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解pppXE 1)1(0)(pppXE 2221)1(0)(由公式由公式)1(

23、)()()(222ppppXEXEXD 因此因此,0-1分布分布)1()(,)(ppXDpXE 例例2。，求，求设设)()(XDX 解解X的分布率为的分布率为0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上节已算得上节已算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee.,泊松分布就被确定了泊松分布就被确定了只要知道只要知道分布率中只含一个参数分布率中只含一个参数。泊松分布的。泊松分布的等于等于数学期望与方差相等，数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊

24、松分布 )(,)(XDXE例例3。，求，求设设)(),(XDbaUX解解 的概率密度为的概率密度为X 其它其它01)(bxaabxf。方差为。方差为上节已求得上节已求得2)(baXE 1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba 因此因此,均匀分布均匀分布 12)(,2)(2abXDbaXE 例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxexdxxxfXEx01)()(2022221)()( dxexdxxfxXEx2)( XD因此因此由此可知由此可知,指数分布指数分布

25、2 ）（，）（XDXE三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C 是常数是常数, 则则 D(C)=0 ; 2. 若若 C 是常数是常数, 则则 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 4. D(X)=0 PX= C=1 ,这里这里C=E(X)下面我们证明性质下面我们证明性质3证明证明)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD 若若 X,Y 相互独立相互独立, 由数学期望

26、的性质由数学期望的性质4得得)()()(YDXDYXD 此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.例例6 设设XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若设若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数niiXX1下面我们举例说明方差性质的应用下面我们举例说明方差性质的应用 .解解XB(n,p),“成功成功” 次数次数 . 则则X表示表示n重努里试验中的重努里试验中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互独立独立niiXDXD1)()(=

27、np(1- p)E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iXnpXEXEnii 1)()(则则若若),(pnBX)1()(,)(pnpXDnpXE 例例7).()(),1 , 0(XDXENX和和求求设设解解的概率密度为的概率密度为X xexx2221)( 于是于是021)()(22 dxxedxxxXEx 121)()()(2222 dxexdxxXExXDx 则则若若),1 , 0( NX1)(, 0)( XDXE），（，则，则若若10),(2NXZNX 1)(, 0)( ZDZE质得质得由数学期望和方差的性由数学期望和方差的性而而, ZX

28、 )()()()(EZEZEXE22)()()()( DZDZDXD，则，则若若),(2 NX2)(,)( XDXE差所确定。差所确定。可由它的数学期望和方可由它的数学期望和方布完全布完全望和方差，因而正态分望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期分别是该分布的数学期和和概率密度中的两个参数概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的这就是说，正态分布的2 例如例如,),4 , 2(),3 , 1(相互独立相互独立和和且且若若YXNYNX），（故有也服从正态分布，而则484,48)(, 4)(32NZZDZEYXZ且且它它们们相相互互独独立立，则则若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,

29、(:212211仍然服从正态分布仍然服从正态分布的常数的常数是不全为是不全为它们的线性组合它们的线性组合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且例例8气缸的计以设活塞的直径),03. 0 ,40.22()(2NXcm,.),04. 0 ,50.22(2任取一支活塞相互独立和直径YXNY.,率求活塞能装入气缸的概任取一只气缸解解.0,YXPYXP即求按题意需求由于由于)0025. 0 ,10. 0(NYX故有故有9772. 0)2()05. 010. 0(0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(0YXPYXPYXP四、切

30、比雪夫不等式四、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|0, D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY 称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .XY 相关系数的性质：相关系数的性质：11 | . 证证: 由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )(),(XDYXCovb 令令，则上式为，则上式为 D(Y- bX)= )(),()(2XDYXCovYD)()(),(1)(2YDXDYX

31、CovYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1- 0,所以所以 | |1。22. X和和Y独立时，独立时， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YDXDYXCov= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.，Cov(X,Y)=0，事实上，事实上，X的密度函数的密度函数其它021211)(xxf0)(XE可得0)(cos)cos()(2121dxxxfxXXEXYE0)()()(),(YEXEXYEYXCov例例1 设设X服从服从(-1/2, 1/2)内的均

32、匀分布内的均匀分布 , 而而Y=cos X,不难求得不难求得1.3 存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.因而因而 =0， 即即X和和Y不相关不相关 .但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立 .相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独

33、立，则独立，则X与与Y不相关不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.4、二维正态分布独立与相关的关系、二维正态分布独立与相关的关系三、小结三、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重的一个重要的数字特征要的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y) 服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关第四节 矩、协方差矩阵原点矩原点矩 中心矩中心矩协方差矩阵协方

34、差矩阵n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度小结小结一、一、 原点矩原点矩 中心矩中心矩定义定义 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 , 2 , 1),(kXEk存在，称它为存在，称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k阶矩阶矩 , 3 , 2,)(kXEXEk若存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩可见，均值可见，均值 E（X）是是X一阶原点矩，方差一阶原点矩，方差D（X）是是X的二阶中心矩。的二阶中心矩。协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+L 阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若)()

35、(LkYEYXEXE存在，存在，称它为称它为X 和和 Y 的的 k+L 阶混合中心矩阶混合中心矩. )(LkYXE设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc排成矩阵的形式排成矩阵的形式:)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.22211211cccc这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵 类似定义类似定义n

36、维随机变量维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2, ,Xn) 的的协方差矩阵协方差矩阵都存在都存在,( i, j=1,2,n ),(jijiXXCovc若若)()(jjiiXEXXEXEnnnnnncccccccccC212222111211矩阵矩阵称称三、三、n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度)()(21exp|)2(11212 XCXCnf (x1,x2, ,xn)则称则称 X 服从服从 n 元正态分布元正态分布.其中其中C是是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.|C|是它的行列式，是它的行列式， 表示表示C的逆矩阵，的逆矩

37、阵，1CX 和和 是是 n 维列向量，维列向量， 表示表示X 的转置的转置.X 设设 =(X1,X2, ,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量,若它的概率密度为若它的概率密度为Xn元元正态分布的几条重要性质正态分布的几条重要性质1. X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数 a1,a2,an，若若 X=(X1, X2 , , Xn) 服从服从 n 元正态分布元正态分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数的线性函数，则则 (Y1,Y2, ，Y

38、k) 也服从多元正态分布也服从多元正态分布.2. 正态变量的线性变换不变性正态变量的线性变换不变性. 3. 设设(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布，则则“X1,X2, ,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2, ,Xn两两不相关两两不相关” 例例 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度. 故故X 和和Y 的联合分布为正态分布的联合分布为正态分布，X 和和Y 的任意线的任意线性组合是正态分布性组合是正态分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且且 X 与与Y 独立独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)ZN(5, 32)四、小结四、小结 在这一节中我们学习了随机变量的原点矩在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵和中心矩以及协方差矩阵 . 一般地一般地 , n维随机变量的分布是不知道的维随机变量的分布是不知道的 , 或者太复杂或者太复杂 , 以至于在数学上不易处理以至于在数学上不易处理 , 因此因此在实际中协方差矩阵就显得重要了在实际中协方差矩阵就显得重要了 .