格林函数法ppt课件.ppt

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1、计算电磁学基础1 经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。函数法。 事实上，希尔伯特空间中的事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。程，进而得到问题的求解。格林函数与格林定理格林函数与格林定理计算电磁学基础2 有源有源电磁场问题要求解电磁场问题要

2、求解非齐次非齐次波动方程，格林函数法波动方程，格林函数法是其中一种重要的求解方法。是其中一种重要的求解方法。 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次波动方程的基本解。波动方程的基本解。 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产生的场。生的场。 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程，方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程，从而有利于用数值方法对问题进行求解从而有利于用数值方法对问题进行求

3、解.确定论问题边值问题计算电磁学基础3格林函数法的主要特点是：格林函数法的主要特点是：1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限），和边界条件的局限），2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。

4、就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。计算电磁学基础41、点电荷密度的、点电荷密度的函数表示函数表示(1)、 函数函数 , 0)(x , 1d )(VVx(x0)(积分区域积分区域V包含包含x = 0点点) ,)(x(x = 0) 函数函数-密度函数密度函数计算电磁学基础5(2) 函数的一个重要性质函数的一个重要性质若若 f (x)在在x点附近连续，则点附近连续，则)(d)()(xxxxfVfV同理，若同理，若 f (x) 在原点附近连续，则在原点附近连续，则)0(d)()(fVfVxx这一性质称为这一性质称为函数的选择特性函数的选择特性。计算电磁学基础6处于原点上的处于原点上的单位点电荷单

5、位点电荷的密度用函数的密度用函数 (x)表示表示1d)(d)(VVVVxx(3) 点电荷的电荷密度点电荷的电荷密度处于原点上的处于原点上的点电荷点电荷Q的的密度可用密度可用Q(x)表示表示,即即)()(xxQ , 0)(xxQ ,d )(QVQVxx(积分区域积分区域V包含包含x=x点点)(xx点点)处于处于x点上的点电荷点上的点电荷Q的密度可用的密度可用Q(x- -x)表示表示,即即)()(xxxQ计算电磁学基础72、 格林函数引入格林函数引入 Green函数是与理想点源相联系的。函数是与理想点源相联系的。 具体地说，具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的函数是理想点源

6、在给定边界条件下微分方程的解答。解答。 用用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。 当给定边界条件的当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用函数比较容易求得时，利用Green函数函数计算分布场源的解答常常是方便的。计算分布场源的解答常常是方便的。 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。计算电磁学基础8qGrq0014rG41VGdV01静态场时，位于原点的静态场时，位于原点的点电荷点电荷q在自由空间产生的标量电位为在自由空间产生的标量电位为式中，式中，G为静态场的

7、自由空间为静态场的自由空间Green函数。函数。上式表明，格林函数上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。将电荷与电位联系起来。 利用格林函数，分布电荷的标量位为利用格林函数，分布电荷的标量位为场与源电荷源计算电磁学基础9GlIdrelIdAjkr4Gl dIrel dIAmjkrmm4reGjkr4时谐场中，位于原点的时谐场中，位于原点的电流元电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为在自由空间产生的矢量磁位为位于原点的位于原点的磁流元磁流元Imdl在自由空间产生的矢量电位为在自由空间产生的矢量电位为式中式中，G为交变场中的自由空间格林函数。为交变场中的自由空间格林函数。 利用格林函数，分布电

8、流和磁流的矢量位为利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为VmmVGdVJAGdVJA电流源计算电磁学基础103、格林函数的一般概念、格林函数的一般概念 定义：纯点源产生的场定义：纯点源产生的场 （不计初始条件和边界条件的影响）。（不计初始条件和边界条件的影响）。 例子：例子： G = (r-r)，G|=0 ( t a2) G = (r-r)(t-t)， G|= G|t=0=0 一般形式一般形式 L G(xi) = (xi-xi) G|边界边界= G|初始初始=0计算电磁学基础11 分类：分类： 按泛定方程可以分为：按泛定方程可以分为： 稳定问题的格林函数稳定问题的格林函数 L = 热传导问题的

9、格林函数热传导问题的格林函数 L = ( t a2) 波动问题的格林函数波动问题的格林函数 L = ( tt a2) 按边界条件可以分为按边界条件可以分为 无界空间的格林函数，又称为基本解；无界空间的格林函数，又称为基本解； 齐次边界条件的格林函数。齐次边界条件的格林函数。计算电磁学基础12格林函数格林函数稳定问题稳定问题G = (r-r)输运问题输运问题( t a2) G = (r-r)(t-t)G|t=0=0波动问题波动问题( tt a2) G=(r-r)(t-t) G|t=0=0Gt|t=0=0无界空间无界空间泊松方程的泊松方程的基本解基本解热传导方程热传导方程的的基本解基本解波动波动方

10、程方程的基的基本解本解齐次边界齐次边界G|= 0泊松方程的泊松方程的格林函数格林函数热传导方程热传导方程的的格林函数格林函数波动波动方程方程的格的格林函数林函数计算电磁学基础13 性质：性质： 设数学物理方程为设数学物理方程为 L u(x) = f (x) 而格林函数方程为而格林函数方程为 L G(x) =(x-x) 在相同的齐次定解条件下在相同的齐次定解条件下 因为：因为： f(x) =f (x)(x-x) dx 所以：所以： u(x) =f (x) G(x-x) dx 应用（求解数学物理方程的格林函数法）应用（求解数学物理方程的格林函数法） 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件范围：非齐次泛

11、定方程、齐次定解条件 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数格林函数是为了求解实际问题的格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而泊松方程而找到的特殊函数，找到的特殊函数，不同的实际问题对应不同的格林函数。不同的实际问题对应不同的格林函数。计算电磁学基础144、稳定问题的基本解、稳定问题的基本解原问题点源问题点电荷电场方程解)(rfu) (rrG0/ ) (rrqV| |40rrqV| |41rrG| |4) (rrdrfu稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到计算电磁学基础15原问题原问题0|)(urfu

12、点源问题点源问题0|) (GrrG关系关系) ,() ()() () ()(drrGrfrudrrrfrfn基本思路基本思路计算电磁学基础16 求解方法求解方法 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 点源问题可以看成接地的导体边界内在点源问题可以看成接地的导体边界内在 r 处有一个处有一个电量为电量为 - 0 的点电荷。的点电荷。 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。产生。 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来

13、代替，该等效电荷称为点电一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电荷的电像。荷的电像。 这种方法称为这种方法称为电像法电像法计算电磁学基础17 例题例题在半空间内求解稳定问题的格林函数在半空间内求解稳定问题的格林函数0|0),() () (0zGzzzyyxxG解：根据题目，定解问题为解：根据题目，定解问题为 这相当于在接地导体平面上方点这相当于在接地导体平面上方点 M(x,y,z) 处放处放置一个电量为置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。的点电荷，求电势。 设想在设想在M的对称点的对称点 N (x,y,-z)处放置一个电量为处放置一个电量为 + 0 的点电荷，容易看出在平面的点电荷，容

14、易看出在平面 z=0上电势为零，上电势为零，这表明在这表明在N点的点电荷就是电像。点的点电荷就是电像。计算电磁学基础18|141| |141) ,(NrrrrrrG根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数222222) () () (141) () () (141zzyyxxzzyyxx计算电磁学基础19一个处于一个处于x x点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程)(1)(02xxx若方程的解满足第一类边界条件若方程的解满足第一类边界条件 ，则方程的解就叫，则方程的解就叫做做第一类边值问题的格林函数第一类边值

15、问题的格林函数。5、 泊松方程泊松方程格林格林函数函数0S若方程的解满足第二类边界条件若方程的解满足第二类边界条件 则方程则方程的解就叫做的解就叫做第二类边值问题的格林函数第二类边值问题的格林函数。，SnS01格林函数一般用格林函数一般用G表示，则表示，则G所满足的微分方程为：所满足的微分方程为：)(1),(02xxxxG计算电磁学基础20格林格林函数与实际问题的对应关系：函数与实际问题的对应关系：格林函数格林函数:实际问题实际问题:求解区域求解区域V内内：已知已知( x )(xx方程：方程：)(1)(02xx)(1),(02xxxxG边界边界S上：上：S0SGSn已知已知令令令令已知已知，S

16、nGS01计算电磁学基础21在无界空间中在无界空间中x点上放一个单位点电荷，激发的电点上放一个单位点电荷，激发的电22200) () () (4141)(zzyyxxrx因此，无界空间的格林函数为因此，无界空间的格林函数为2220) () () (41),(zzyyxxGxx常见的几个常见的几个格林格林函数：函数：（1）无界空间的格林函数。）无界空间的格林函数。势为势为:计算电磁学基础22 当当Q1时，可得上半空间第一类边值问题的格林时，可得上半空间第一类边值问题的格林函数。函数。2220) () () (141),(zzyyxxGxx) () () (1222zzyyxx 以导体平面上任一点

17、为坐标原点，设点电荷所在以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在点的坐标为点的坐标为(x,y,z) ，场点坐标为，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格，上半空间格林函数为：林函数为：（2）上半空间的格林函数。）上半空间的格林函数。计算电磁学基础23（3）球外空间的格林函数。）球外空间的格林函数。以球心以球心O为坐标原点。设电荷所在点为坐标原点。设电荷所在点P的坐标为的坐标为R，场点场点P的坐标为的坐标为R。yzxRRR0 xxrro计算电磁学基础242120402202122cos21|)(|cos2|)cos(sinsincoscoscosRRRRRRRRRrRRRRrxxxx)cos2)

18、(1)cos2(141)(21202021220RRRRRRRRRRG xx其中：其中：根据镜象法得根据镜象法得222zyxR222zyxR计算电磁学基础25由上分析可知，一般自由空间格林函数为标量，量纲为由上分析可知，一般自由空间格林函数为标量，量纲为1/m1/m。它们将电荷、电流和电位、磁位联系起来。它们将电荷、电流和电位、磁位联系起来。在线性系统理论中，系统的冲击响应函数具有非常重要的在线性系统理论中，系统的冲击响应函数具有非常重要的地位。地位。在某种意义上，格林函数具备系统冲击响应函数的特征。在某种意义上，格林函数具备系统冲击响应函数的特征。因此许多近代电磁场问题可以借助于格林函数，采

19、用线性因此许多近代电磁场问题可以借助于格林函数，采用线性系统理论的方法来分析。系统理论的方法来分析。 计算电磁学基础26 对 应用高斯定理，可得标量第一格林定理 第一格林定理相减，可得标量第二格林定理 22VSdVdSnn 22VSdVd S或6、标量格林公式、标量格林公式计算电磁学基础277、矢量格林公式、矢量格林公式 对区域对区域V中任意两个矢量场中任意两个矢量场P和和Q，对，对P(DQ)应用应用高斯定理，可得矢量第一格林定理高斯定理，可得矢量第一格林定理 若将第一格林定理相减，即得矢量第二格林定理若将第一格林定理相减，即得矢量第二格林定理 VSdVdPQPQPQSVSdVdQPPQPQQ

20、PS计算电磁学基础28 格林定理说明格林定理说明区域中的场区域中的场与与边界上的场边界上的场之间的关系。因之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。界上场的求解问题。 此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。可利用格林定理求解另一种场的分布特性。计算电磁学基础29先考虑第一类边值问题先考虑第一类边值问题 ，设，设V内有电荷

21、分布内有电荷分布，边界边界S上给定电势上给定电势 |s ，求，求V 内的电势内的电势 (x)。设区域内有两个函数设区域内有两个函数 (x) 和和 (x) ，格林公式，格林公式: SVSnnV)d(d)(22取取 (x)为实际问题的解，满足泊松方程为实际问题的解，满足泊松方程 0218、格林公式与边值问题的解、格林公式与边值问题的解计算电磁学基础30取取 (x)为格林函数为格林函数G(x , x) ，将，将x与与x互换，则有互换，则有 VGGVd),()()(),(22xxxxxxSGnnGSd),()()(),(xxxxxxVVGd)(),()(xxxxSGnnGSd),()(),(0 xxx

22、xx这就是用这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。函数求解静电问题的一种形式解。计算电磁学基础31所以第一类边值问题的解为所以第一类边值问题的解为SGnVGSVd ),()(d)(),()(0 xxxxxxx由这公式，只要知道格林函数由这公式，只要知道格林函数G(x,x) ，在给定边界，在给定边界上的上的 |s值情形下就可算出区域内的值情形下就可算出区域内的 (x) ，因而第一，因而第一类边值问题完全解决。类边值问题完全解决。在在第一类边值问题第一类边值问题中，格林函数满足边界条件中，格林函数满足边界条件0),(SGxx计算电磁学基础32对第二类边值问题对第二类边值问题，由于，由于G

23、(x , x)是是x点上单位点点上单位点电荷所产生的电势，其电场通量在边界面电荷所产生的电势，其电场通量在边界面S上应上应等于等于1/0，即，即 01d ),(SGnSxx满足上式的最简单的边界条件是满足上式的最简单的边界条件是SGnS01, xxxVVGd)(),()(xxxxSGnnGSd),()(),(0 xxxxx计算电磁学基础33所以，第二类边值问题的解所以，第二类边值问题的解VVGd)(),()(xxxx其中其中s是电势在界面是电势在界面S上的平均值。上的平均值。SSSnGd )(),(0 xxx计算电磁学基础341.12 并矢和并矢格林函数并矢和并矢格林函数 在数学、物理和工程技

24、术中引入矢量分析之后在数学、物理和工程技术中引入矢量分析之后,使一些使一些复杂的标量式用较简单的矢量式来描述。复杂的标量式用较简单的矢量式来描述。 而对于一些更复杂的物理量而对于一些更复杂的物理量,如应力、各向异性媒质的如应力、各向异性媒质的介电常数或导磁率等介电常数或导磁率等,使用张量来描述很方便使用张量来描述很方便,这些量在这些量在三维空间坐标中是以二阶张量形式来表示。三维空间坐标中是以二阶张量形式来表示。 张量：满足某种坐标转换关系的有序数组成的集合。张量：满足某种坐标转换关系的有序数组成的集合。1、并矢、并矢计算电磁学基础35 并矢并矢(式式)实际上是三维空间坐标中二阶张量的实际上是三

25、维空间坐标中二阶张量的一种特殊形式一种特殊形式,其定义是两矢量或两矢性函数按其定义是两矢量或两矢性函数按一种特定规律组合的一种数学形式一种特定规律组合的一种数学形式, 记为记为 ，其定义式为其定义式为计算电磁学基础36 任意两个矢量任意两个矢量a、b并写在一起，并写在一起，ab称为称为并矢并矢，即，即张量积张量积 任意的电流源任意的电流源(或磁流源或磁流源)所引起的场都可以表示所引起的场都可以表示成并矢形式。成并矢形式。332313322212312111bababababababababaab计算电磁学基础372、并矢格林函数、并矢格林函数rekIGjkr4)1(2VmVdVJGdVJGjE自由空间并矢格林函数定义为自由空间并矢格林函数定义为利用并矢格林函数，有利用并矢格林函数，有于是，并矢格林函数将电流密度于是，并矢格林函数将电流密度J、磁流密度、磁流密度Jm和电场和电场E直接直接联系起来。联系起来。 当散射场是各媒质、各面、各方向电流元的叠加，可采用当散射场是各媒质、各面、各方向电流元的叠加，可采用并矢格林函数。并矢格林函数。 如采用并矢格林函数可简洁表示任意偶极源如采用并矢格林函数可简洁表示任意偶极源(电偶极源或磁电偶极源或磁流源流源)所引起的场。所引起的场。