2022年高考数学真题分类汇编数列 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高考真题分类汇编：数列一、选择题1 （ 2012 重庆）在等差数列na中，5,142aa则na的前 5 项和5S=( ) A7 B. 15 C. 20 D. 25 2 （2012 浙江）设nS是公差为)0(dd的无穷等差数列na的前n项和，则下列命题错误的是 ( ) A若 d0，则数列nS有最大项B若数列nS有最大项，则d0 )的等比数列na的前 n 项和为 Sn若,2322aS._,2344qaS则10 （2012 四川）记 x 为不超过实数x 的最大整数，例如，。1 3 . 0, 15. 1, 2 2设a 为正整数，数列nx满足*),(2,11Nnxaxxaxnnn现有

2、下列命题：当 a=5 时，数列nx的前 3 项依次为5，3，2；对数列nx都存在正整数k，当kn时总有;knxx当1n时，; 1axn对某个正整数k，若,1kkxx则.axn其中的真命题有_ （写出所有真命题的编号）11 (2012 全国 )数列na满足, 12)1(1naannn则na的前 60 项和为 _12 (2012 辽宁 )已知等比数列na为递增数列， 且,5)(2,121025nnnaaaaa则数列na的通项公式._na13.（2012 江西）设数列,nnba都是等差数列，若,21,73311baba则._55ba14 （理科）（2012 重庆）._51lim2nnnn15.（理科

3、）（2012 上海）有一列正方体，棱长组成以1 为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为,21nVVV则._)(lim21nnVVV精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载16. (2012 福建 )数列na的通项公式, 12cosnnan前 n 项和为,nS则._2012S三、解答题17.（2012 湖北）已知等差数列na前三项的和为3，前三项的积为8(I)求等差数列na的通项公式；( )若132,aaa成等比数列，求数列|na的前 n 项和18已知数列na的前 n 项和nnSNkknnS且*),

4、(212的最大值为8(1)确定常数,k求；na(2)求数列229nna的前n项和.nT19 (2012 四川 )已知数列na的前n项和为,nS且nnSSaa22对一切正整数n都成立(I)求21, aa的值；(II)设,01a数列10lg1naa的前 n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值20 (2012陕西)设na的公比不为 1 的等比数列， 其前n项和为,nS且435,aaa成等差数列，(1)求数列na的公比：(2)证明：对任意12,kkkSSSNk成等差数列21. （2012 广东） 设数列na的前n项和为nS，满足32111,5,*),(122aaaNnaSnnn且成等

5、差数列(1)求1a的值；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有2311121naaa22. （2012 天津）已知na是等差数列，其前n项和为,nnbS是等比数列，且, 211ba.10,274444bSba(I)求数列nnba与的通项公式；(II) 记;132211nnnnnbabababaT证明；)(10212NnbaTnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载23.（2012 江苏）已知各项为正数的两个数列na和nb满足：*221,Nnbabaannnnn. （1）设,1

6、*1Nnabbnnn求证：数列2nnab是等差数列；（2）设,2*1Nnabbnnn且na是等比数列，求1a和1b的值 . 24.（2012 重庆）设数列na的前 n 项和nS满足121aSaSnn，其中.02a（ 1）求证：na是首项为1 的等比数列；（ 2）若12a，求证：),(21nnaanS并给出等号成立的充要条件. 25.（理科）（2012 全国）函数。32)(2xxxf定义数列na如下：11,2nxx是过两点 P（4，5）Qn ()(,nnxfx)的直线 PQn与 x轴交点的横坐标。（ 1）证明：; 321nnxx（ 2）求数列nx的通项公式 . 26 （理科）（2012 湖南）已

7、知数列na的各项均为正数，记,)(21naaanA,2 ,1,)(,)(243132naaanCaaanBnn(I)若,5, 121aa且对任意*,Nn三个数)(),(),(nCnBnA组成等差数列，求数列na的通项公式；(II) 证明：数列na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意*,Nn三个数),(nA)(),(nCnB组成公比为q的等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载参考答案一、选择题1 （ 2012 重庆）在等差数列na中，5,142aa则na的前 5 项和5S=( ) A7

8、 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】 B 【 解 析 】 因 为,5,142aa所 以,64251aaaa所 以 数 列 的 前5 项 和，156252)(52)(542515aaaaS选 B2 （2012 浙江）设nS是公差为)0(dd的无穷等差数列na的前n项和，则下列命题错误的是 ( ) A若 d0，则数列nS有最大项B若数列nS有最大项，则d0 )的等比数列na的前 n 项和为 Sn若,2322aS._,2344qaS则【答案】23【解析】将23, 234422aSaS两个式子全部转化成用qa ,1表示的式子即，232331312111111qaqaqaqaaqaqaa两式作

9、差得：),1(3213121qqaqaqa即：, 0322qq解之得：23q或1q（舍去）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载10 （2012 四川）记 x 为不超过实数x 的最大整数，例如，。1 3 . 0, 15. 1, 2 2设a 为正整数，数列nx满足*),(2,11Nnxaxxaxnnn现有下列命题：当 a=5 时，数列nx的前 3 项依次为5，3，2；对数列nx都存在正整数k，当kn时总有;knxx当1n时，; 1axn对某个正整数k，若,1kkxx则.axn其中的真命题有_ （写出所

10、有真命题的编号）【答案】【解析】当5a时，, 22353, 325555321xxax故正确；同样验证可得正确，错误. 11 (2012 全国 )数列na满足, 12)1(1naannn则na的前 60 项和为 _【答案】 1830 【解析】由12)1(1naannn得，, 12)12()1(12 12) 1()1(12)1(112nnannanaannnnnnnn即, 12)12() 1(2nnaannn也有, 32) 12()1(13nnaannn两式相加得,44)1(2321naaaannnnn设k为整数，则,10164)14(4)1(21444342414kkaaaakkkkk于是18

11、30)1016()(1404434241414060kaaaSKkkkkK12 (2012 辽宁 )已知等比数列na为递增数列， 且,5)(2,121025nnnaaaaa则数列na的通项公式._na【答案】n2【解析】,)(,1912411025nnqaqaqaqaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载,5)1 (2,5)1 (2,5)(22212qqqaqaaaannnnn解得2q或21q（舍去），nna213.（2012 江西）设数列,nnba都是等差数列，若,21,73311baba则.

12、_55ba【答案】 35 【解析】设数列,nnba的公差分别为,bd则由,2133ba得,21)(211dbba即,14721)(2db所以,7db所以。35747)(41155dbbaba14 （理科）（2012 重庆）._51lim2nnnn【答案】52【解析】)5)(5(5lim51lim2222nnnnnnnnnnnnnn525115151lim55lim2nnnnnnn15.（理科）（2012 上海）有一列正方体，棱长组成以1 为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为,21nVVV则._)(lim21nnVVV【答案】.78【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1 为首项，81

13、为公比的等比数列，),811(7881181121nVVVnn.78)(lim21nnVVV16. (2012 福建 )数列na的通项公式, 12cosnnan前 n 项和为,nS则._2012S【答案】 3018【解析】因为函数xy2cos的周期是4，所以数列na的每相邻四项之和是一个常数6，所以.30186420122012S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载三、解答题17.（2012 湖北）已知等差数列na前三项的和为3，前三项的积为8(I)求等差数列na的通项公式；( )若132,aaa

14、成等比数列，求数列|na的前 n 项和解： (I)设等差数列na的公差为,d则,2,1312daadaa由题意得.8)2)(, 3331111dadaada解得, 3,21da或.3,41da所以由等差数列通项公式可得,53)1(32nnan或.73)1(34nnan故,53nan或.73nan() 当53nan时，132,aaa分别为 -1，-4，2，不成等比数列；当73nan时，132,aaa分别为 -1，2，-4，成等比数列，满足条件故.3, 73, 2, 1, 7373nnnnnan记数列|na的前n项和为.nS当1n时，; 4|11aS当2n时，;5|212aS当3n时，)73()7

15、43()733(5|432naaaSSnn.10211232)73(2)2(52nnnn当2n时，满足此式，综上，.1,1021123, 1, 42nnnnSn18已知数列na的前 n 项和nnSNkknnS且*),(212的最大值为8(1)确定常数,k求；na(2)求数列229nna的前n项和.nT解：(1)当*Nkn时，knnSn221取最大值， 即,21218222kkk故, 4k从而),2(291nnSSannn又,2711Sa所以nan29(1) 因为12221122123221,2229nnnnnnnnnnbbbTnab所以11212224221422121122nnnnnnnnn

16、nnTTT19 (2012 四川 )已知数列na的前n项和为,nS且nnSSaa22对一切正整数n都成立(I)求21, aa的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载(II)设,01a数列10lg1naa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值解：取1n得,2211212aassaa取，2n得,222122aaa又-，得2122)(aaaa(1)若,02a由知若01a，若, 02a易知112aa由得：;22,21; 22, 122121aaaa(2)当01a时，由( 1 )知

17、，;22, 1221aa当2n时，有1212)22(,)22(nnnnSSassa所以，)2(21naann则111)2() 12()2(nnnaa令,10lg1nnaab则112100lg21)2lg(1nnnb所以，数列nb是以2lg21为公差，且单调递减的等差数列则01lg810lg7321bbbb当8n时，01lg21128100lg218bbn所以，7n对，nT取得最大值，且nT 的最大值为.2lg22172)(7717bbT20 (2012陕西)设na的公比不为 1 的等比数列， 其前n项和为,nS且435,aaa成等差数列，(1)求数列na的公比：(2)证明：对任意12,kkkS

18、SSNk成等差数列解：(1)设数列na的公比为).1,0(qqq由435,aaa成等差数列，得,243aaas即.2314121qaqaqa由0,01qa得,022qq解得1,221qq（舍去） ，所以.2q(2)证法一：对任意)()(2,1212kkkkkkkSSSSSSSNk,0)2(211121kkkkkaaaaa所以，对任意12,kkkSSSNk成等差数列证法二：对任意,1)1(22,1qqaSNkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载，qqqaqqqqaSSkkkkkk1)2(1)1

19、(1)1 (12112112qqqaqqaSSSkkkkkk1)2(1)1 (2)(2121112,0)2(1)2()1 (2121121qqqqaqqqqakkkk因此，对任意12,kkkSSSNk成等差数列21. （2012 广东） 设数列na的前n项和为nS，满足32111,5,*),(122aaaNnaSnnn且成等差数列(1)求1a的值；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有2311121naaa解：(1)122, 12222111nnnnnnaSaS相减得：11223nnnaa13643,32321231221aaaaaaS321,5,aaa成等差数列1)5(2

20、1231aaaa(2)5, 121aa得Nnaannn对231均成立)2(3223111nnnnnnnaaaa得：nnnnnnnnnnaaaaa23)2(3)2(3)2(321122211(3)当1n时，23111a当2n时，nnnnnnnaa21122232)23()23(2232121121212111113221nnnaaa由上式得：对一切正整数,n有2311121naaa22. （2012 天津）已知na是等差数列，其前n项和为,nnbS是等比数列，且, 211ba.10,274444bSba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

21、12 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载(I)求数列nnba与的通项公式；(II) 记;132211nnnnnbabababaT证明；)(10212NnbaTnnn解：()设数列na的公差为,d数列nb的公比为;q则23102642723210273134444qdqdaqdbSba得：.2, 13nnnbna()22(2222121211132211nnnnnnnnnnnaaaaaababababaT112112532232132nnnnnnnccnnna)(2)()()(21113221nnnnnnccccccccTnnnnnnabTabn2101212210)53(221023.（20

22、12 江苏）已知各项为正数的两个数列na和nb满足：*221,Nnbabaannnnn. （1）设,1*1Nnabbnnn求证：数列2nnab是等差数列；（2）设,2*1Nnabbnnn且na是等比数列，求1a和1b的值 . 解：(1)21121221111,1nnnnnnnnnhnnnnnabababbbabaaabb*)(112222211Nnababababnnnnnnnn数列2nnab是以 1为公差的等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载(2)。21)(2)(, 0,0221222

23、2nnnnnnnnnnnnnbabaababababa（）设等比数列na的公比为, q由0na知,0q下面用反证法证明1q若, 1q则,2221aqaa当12loganq时，,211nnqaa与（ * ）矛盾，若, 10q则,1221aqaa当11loganq时，, 111nnqaa与( * )矛盾，综上所述，21*),(111aNnaaqn又*),(2211nnnnnbNnbaabb是公比是12a的等比数列.若,21a则, 121a于是.321bbb又由221nnnnnbabaa即,22111nnbabaa得.122121211aaaabn321,bbb中至少有两项相同，与321bbb矛盾。

24、.21a21)2()2(2)2(2222nb221ba24.（2012 重庆）设数列na的前 n 项和nS满足121aSaSnn，其中.02a（ 1）求证：na是首项为1 的等比数列；（ 2）若12a，求证：),(21nnaanS并给出等号成立的充要条件. 解：(1)证明：由,1122aSaS得,12121aaaaa即.122aaa因,02a故, 11a得,212aaa又由题设条件知1211122,aSaSaSaSnnnn两式相减得),(1212nnnnSSaSS即,122nnaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18

25、 页优秀学习资料欢迎下载由,02a知，01na因此212aaann综上，212aaann对所有*Nn成立，从而na是首项为1，公比为2a的等比数列。(2)当1n或 2 时，显然),(21nnaanS等号成立。设1, 32an且,02a由(1)知，, 1121nnaaa所以要证的不等式化为：)3)(1(211212222nanaaann即证：)2)(1(21122222nanaaann当12a时，上面不等式的等号成立。当112a时，12ra与)1,3 ,2, 1( , 12nrarn同为负；当12a时，12ra与) 1,3 ,2, 1( ,12nrarn同为正；因此当12ra且12a时，总有0)

26、1)(1(22rnraa，即)1,3, 2, 1(,1222nraaanrnr上面不等式对r从 1 到n1 求和得，nrnanaaa222221)1()(2由此得)1(21122222nnanaaa综上，当12a且02a时， 有),(21nnaanS当且仅当2, 1n或12a时等号成立25.（理科）（2012 全国）函数。32)(2xxxf定义数列na如下：11,2nxx是过两点 P（4，5）Qn ()(,nnxfx)的直线 PQn与 x轴交点的横坐标。（ 1）证明：; 321nnxx（ 2）求数列nx的通项公式 . 解： (1)为, 5384)4(2f故点)5 ,4(P在函数)(xf的图像上

27、，故由所给出的两点),(,(),5 ,4(nnnxfxQP可知，直线nPQ斜率一定存在。故有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载直线nPQ的直线方程为),4(45)(5xxxfynn令,0y可求得234425)4(48252nnnnnnxxxxxxxxx所以2341nnnxxx下面用数学归纳法证明32nx当1n时，,21x满足321x假设kn时，32kx成立，则当1kn时，,2542341kkkkxxxx由325441124525152432kkkkxxxx即321kx也成立综上可知32nx对任

28、意正整数恒成立。下面证明1nnxx由24) 1(2234234221nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx由, 34)1(0211322nnnxxx故有01nnxx即1nnxx综上可知321nnxx恒成立。(2) 由2341nnnxxx得到该数列的一个特征方程234xxx即,0322xx解得3x或1x23323431nnnnnxxxxx2551234)1(1nnnnnxxxxx两式相除可得,13511311nnnnxxxx而3112321311xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载故数列

29、13nnxx是以31为首项以51为公比的等比数列,)51(31131nnnxx故。15343153159111nnnnx26 （理科）（2012 湖南）已知数列na的各项均为正数，记,)(21naaanA,2 ,1,)(,)(243132naaanCaaanBnn(I)若,5, 121aa且对任意*,Nn三个数)(),(),(nCnBnA组成等差数列，求数列na的通项公式；(II) 证明：数列na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意*,Nn三个数),(nA)(),(nCnB组成公比为q的等比数列解： (1)对任意*Nn三个数)(),(),(nCnBnA是等差数列，所以),()()()(

30、nBnCnAnB即,211nnaaa亦即.41212aaaann故数列na是首项为l，公差为4 的等差数列 . 于是.344)1(1nnan()(1)必要性：若数列na是公比为q的等比数列，则对任意*,Nn有.1nqnaa由0na知，)(),(),(nCnBnA均大于 0，于是，,)()()(22121132qaaaaaaqaaaaaanAnBnhnnn,)()()(132132132243qaaaaaaqaaaaaanBnCnnnn即,)()()()(qnBnCnAnB所以三个数)(),(),(nCnBnA组成公比为q的等比数列(2)充分性：若对于任意*,Nn三个数)(),(),(nCnBn

31、A组成公比为q的等比数列，则),()(),()(nqBnCnqAnB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载于是),()()()(nAnBqnBnC得),(1122aaqaann即1212aaqaann由1n有),1 ()1 (qAB即,12qaa从而.012nnqaa因为,0na所以,1212qaaaann故数列na是首项为,1a公比为q的等比数列，综上所述，数列na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意*,Nn三个数)(),(),(nCnBnA组成公比为q的等比数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页