2022年特征根法求数列通项归纳 .pdf

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1、特征根法求解数列递推公式类型一、形如21( ,nnnapaqap q是常数）的数列（二阶线性递推式）形如112221,( ,nnnam am apaqap q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na ，其特征方程为2xpxq（1）若有二异根,，则可令1212( ,nnnaccc c 是待定常数）（2）若有二重根，则可令1212()(,nnacncc c是待定常数）再利用1122,am am 可求得12,c c ，进而求得na例 1 已知数列 na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN， 求数列 na的通项na解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnna

2、cc，由1122122243accacc，得12112cc，11 2nna例 2 已知数列 na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列 na的通项na解：其特征方程为2441xx，解得1212xx，令1212nnacnc，由1122121()121(2)24accacc，得1246cc，1322nnna名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 类型二、形如1nnnAaBaCaD的数列（分式递推式）对于数

3、列1nnnAaBaCaD，*1,( , ,am nNA B C D是常数且0,0CADBC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDA xB（1） 若有二异根,，则可令11nnnnaacaa（其中c是待定常数）代入12,a a 的值可求得c值。即数列nnaa是首项为11aa， 公比为c的等比数列，于是这样可求得na（2） 若有二重根， 则可令111nncaa（其中c是待定常数）代入12,a a 的值可求得c值。即数列1na是首项为1na， 公差为c的等差数列，于是这样可求得na例 3 已知数列 na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列 na的通项na解 ： 其 特征 方

4、程 为221xxx， 化简 得2220 x， 解 得121,1xx， 令111111nnnnaacaa由12,a得245a，可得13c，数 列11nnaa是 以111113aa为 首 项 ， 以13为 公 比 的 等 比 数 列 ，1111133nnnaa，3( 1)3( 1)nnnnna名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 4 已知数列 na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列 na的通项na解

5、： 其 特 征 方 程 为2146xxx， 即220 xx， 解 得1212xx， 令1111122nncaa由12,a得2314a，求得1c，数 列112na是 以112152a为 首 项 ， 以1为 公 差 的 等 差 数 列 ，123(1) 11552nnna，135106nnan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 【附】类型一证明 : 递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为非零常数）。先 把 原

6、递 推 公 式 转 化 为)(112112nnnnaxaxaxa， 其 中21, xx满 足qxxpxx2121，显然21, xx是方程02qpxx的两个非零根。1）如果0112axa，则0112nnaxa，na 成等比，很容易求通项公式。2）如果0112axa，则112nnaxa成等比。公比为2x ，所以1211211)(nnnxaxaaxa，转化成：)(1122221121axaxaxxxannnn，( I )又如果21xx，则121nnxa等差，公差为)(112axa，所以)(1(11122121axanaxann，即：1211221)(1(nnxaxanaa12211222)()2(n

7、nxxaxanxaa可以整理成通式：12)(nnxBnAa（II) 如果21xx，则令1121nnnbxa，Axx21，Baxa)(112, 就有BAbbnn 1，利用待定系数法可以求出nb 的通项公式21211212121221)()()1(xxxaxaxxxxxxabnn所以2221211212121221)()()1 (nnnxxxxaxaxxxxxxaa，化简整理得：1221211112121)1(nnnxxxaxaxxxxaa可以整理成通式：11nnnaAxBx(注： 类型二证明方法如同类型一， 从略。特征根法结论可直接在大题中使用。)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -