第一节-n维向量的定义、线性运算和线性相关性ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 n n维向量维向量的定义的定义 n n维向量维向量的线性运算的线性运算 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 向量空间向量空间 习题课习题课我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义1 1 . , 21个分量个分量称为第称为第个数个数第第个分量，个分量，个数称为该向量的个数

2、称为该向量的维向量，这维向量，这称为称为组组所组成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量， 第一节第一节 维向量的概念维向量的概念),(21naaaa n naaaa21 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个

3、分量个分量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是，也就是行行矩阵矩阵，通常用，通常用等表示，如：等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是也就是列列矩阵矩阵，通常用通常用等表示，如：等表示，如： ,ban我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意注意3行

4、向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量和矩阵之间的关系向量和矩阵之间的关系向量；向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.1向量的分量之间是有先后顺序的。向量的分量之间是有先后顺序的。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物RxxxxxxxRnnnT,),(2121令令Rn 表示一切表示一切n维实向量组成的集合。若维实向量组成的集合。若 是是n维实向量，则可简记维实向量，则可简记 ,如果没有如果没有特别的说

5、明，我们指的都是实向量。特别的说明，我们指的都是实向量。nR我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组例如例如 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan一些特殊的向量：一些特殊的向量：维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaAnmij )(我

6、吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijAanm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物n维维0向量向量：T），（000注：注：维数维数不同不

7、同的零向量是不同的向量的零向量是不同的向量n阶单位矩阵阶单位矩阵 的的n个列向量分别记为：个列向量分别记为：nI100010,00121neee称为称为n维基本向量维基本向量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二节第二节 n维向量的线性运算维向量的线性运算定义定义1 1维维实实向向量量，是是设设nbbbaaaTnTn),(,),(2121 分别定义分别定义和数乘向量和数乘向量 k K是实数域中的一个数，则向量的加法是实数域中的一个数，则向量的加法TnTnnkakakakbababa),(),(

8、212211 向量的加法和数乘统称为向量的加法和数乘统称为向量的线性运算向量的线性运算我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注：注：设设n n维向量维向量TnTnbbbaaa2121, 的对应分量相等，即的对应分量相等，即), 2, 1(nibaii称这两个量是相等的，即称这两个量是相等的，即注：注：1 与与 要么都是行向量，要么都是列向量。要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与与的分量个数应相同。的分量个数应相同。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但

9、是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 元元是数乘向量运算的单位是数乘向量运算的单位即数即数，使，使存在存在为零向量为零向量，设设的运算性质的运算性质质，我们直接给出向量质，我们直接给出向量应用已有矩阵的运算性应用已有矩阵的运算性118765040, 0 , 0000321, lklklkkkkRRRklRnnTn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 1 TT43214321， (1) 求求 ， 的负向量的负向量 (2) 计算计算 34 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的

10、东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、线性组合一、线性组合1212112212:,1,2,.,nmimmmmARimk kkkkkAk kk 给定向量组， ，对任何一组实数称为向量组 的一个线性组合称为该线性组合的系数。定义定义:第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 对于给定的向量组对于给定的向量组 A: 1, 2 , , m 和向量和向量b,如果如果存在一组数存在一组数 k1,

11、k2,km 使关系式使关系式成成立立，mmkkkb .2211则称向量则称向量b是向量组是向量组 1, 2 , , m 的的线性组合线性组合, ,或称向量或称向量b可以由向量组可以由向量组 1 , 2 , , m 线性表示线性表示.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物nnnnTneaeaeaaaaaaaaaa2211212121100010001,比如说：比如说：为为n n维基本向量维基本向量neee,21结论：结论：任何任何n n维向量都是维向量都是n n维基本向量的线性组合维基本向量的线性组

12、合我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设有向量设有向量 1411 0322 254b 212 1412 032 254212 b称称b b是是 的线性组合的线性组合. .21, 或或b b可以由可以由 线性表示线性表示. .21, 例如例如：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 nnnnnnnnmxxxxxxAXAAAXRxxxXA 221121212121,的列向量的线性组合。的列向量的线性组合

13、。可以看成是可以看成是则则为实矩阵为实矩阵如：如：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性定义定义 对于向量组对于向量组A: 1, 2, , m,0.2211 mmkkk 成立成立, ,则称向量组则称向量组 1, 2, , m 线性相关线性相关.如果存在一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数k1,k2,km使关系式使关系式反之则称向量组反之则称向量组 1, 2, , m 线性无关线性无关.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽

14、的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物成立成立, ,即即只有当只有当 k1=k2 = = km= 0 时时, ,才有才有0.2211 mmkkk 成立成立, ,则称向量组则称向量组 1, 2, , m 线性无关线性无关.如果没有不全为零的如果没有不全为零的k1,k2,km,使使0.2211 mmkkk 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1：设有向量 1411 0322 254b212 b则称向量组则称向量组21b， 线性相关线性相关例例2 2： 100,01

15、0,001321eee则由则由0332211 ekekek，得，得0321 kkk321eee，线性无关。线性无关。注：注： n n维基本向量维基本向量neee,21线性无关线性无关我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.组组线线性性相相关关含含有有零零向向量量的的任任一一向向量量应应分分量量成成比比例例。条条件件是是这这两两个个向向量量的的对对线线性性相相关关的的充充要要两两个个向向量量组组成成的的向向量量组组.;关关而而一一个个非非零零向向量量线线性性无无一一个个零零向向量量线线性性相相关关一

16、些显然的结果一些显然的结果向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关部分组线性无关我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物?,:,21关关是是线线性性相相关关还还是是线线性性无无如如何何判判定定一一个个向向量量组组一一般般地地mA 齐齐次次线线性性方方程程组组 0.0.0.221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa

17、02211 mmxxx 使使得得存存在在一一组组数数设设mxxx,21我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物讨论讨论x1,x2 , , xm的情况的情况. 如果解得如果解得x1,x2 , , xm不全为零不全为零, 则则 1, 2, , m 线性相关线性相关; 如果推出如果推出x1=x2 = = xm= 0 ,则则 1, 2, , m 线性无关线性无关.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例例3

18、3 讨论讨论的线性相关性的线性相关性e1 = ( 1, 0, , 0 )Ten = ( 0, 0, , 1 )Te2 = ( 0, 1, , 0 )T使使得得存存在在一一组组数数设设mxxx,2102211nnexexex010001000121nxxx00,2121nTnxxxxxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 向量组向量组 线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为线性相关性的判定）作为

19、线性相关性的判定）m,21 定理定理1三、线性相关与线性组合之间的关系三、线性相关与线性组合之间的关系我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 向量组向量组 线性相关线性相关, ,但但 线性无关，则向量线性无关，则向量 可由向量组唯一可由向量组唯一地线性表示。地线性表示。m,21,21m定理定理2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4 4：讨论向量组讨论向量组 ， T1231， T0, 1, 12

20、 T1, 0, 53 的线性相关性。的线性相关性。解：设有实数解：设有实数3,2,1xxx使使0332211 xxx 0020533121321xxxxxxx即即系数行列式系数行列式0101012513故方程组有非零解。如取故方程组有非零解。如取121321 xxx，有有02321 ，所以，所以321，线性相关。线性相关。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5：设向量组设向量组 线性无关，线性无关，321 ，133322211 ，试证向量组试证向量组321 ，也线性无关。也线性无关。证明：证明：设设0332211 xxx0133322211 ）（）（）（ xxx即即0)()(332221131 xxxxxx）（因为因为321 ，线性无关线性无关 000322131xxxxxx系数行列式为系数行列式为2 2，故方程组只有零解，故方程组只有零解，故得证故得证我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例6 6 设有向量组为设有向量组为 取何值时，该向量组线性相关。取何值时，该向量组线性相关。11312110 353t t