第6章-最优控制ppt课件.ppt

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1、第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物最优控制最优控制线性二次型最优控制线性二次型最优控制 西华大学电气信息学院西华大学电气信息学院第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物q什么是最优控制？寻找寻找容许控制作用容许控制作用（规律），使动态系统（规律），使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某种要求的（受控对象）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且

2、保证所规定的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标性能指标（目标函数）取最大（最小）值。函数）取最大（最小）值。 第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括5个方面：线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。系统辨识：根据输入、输出观测确定系统的数学模型。最优控制：寻找最优控制向量u(t)最佳滤波（卡尔曼滤波）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出估计状态变量。适应控制：参数扰动情况下，控制器的设计1.

3、 最优控制理论的发展第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物先期工作： 1948年，维纳(N.Wiener)发表控制论，引进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)的基础。并提出了 相对于某一性能指标进行最优设计的概念。 1954年，钱学森编著工程控制论，作者系统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。其中“最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控制理论的形成和发展。 最优控制的发展简史：最优控制的发展简史：第6章

4、 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 19531957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。 19561958年，庞特里亚金创立“最大值原理”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法

5、无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在最优过程的数学理论著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件( (库恩库恩图克定理图克定理) )以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。 理论形成阶段：第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的

6、世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 经典控制理论设计控制方法 幅值裕量、相位裕量（频率指标） 上升时间、调节时间、超调量（时域 指标） 特点：系统的控制结构是确定的，控制参数设计一般采用试凑方法，不是最优结果。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 最优化(optimization)技术是研究和解决最优化问题的一门学科, 它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研究和解决如下两个问题：（1）如何将最优化问

7、题表示为数学模型（2）如何根据数学模型（尽快）求出其最优解 最优控制(optimal control)是控制理论中的优化技术。寻找在某种性能指标要求下最好的控制。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 现有产品A、B,每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成，其所需工时如下表所示，且每台机器每周最多只能工作40小时。若产品A的单价为200元，产品B的单价为500元，应如何安排生产计划，即A、B各应生产多少可使总产值最高。解：设该车间每周应生产产品A、B的件数分别为X1、

8、X2,由于每台机器工作时间有限制，则有约束条件：在这些约束条件下选择X1、X2 ,使总产值达到最大。第一道工序第一道工序第一道工序第一道工序产品产品A1.5h2h产品产品B5h4h00) 10(40424055 . 1212121XXXXXX)20(50020021XXJ 例例0-1 0-1 生产计划安排问题生产计划安排问题第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设有一盛放液体的连续搅拌槽。如下图所示。槽内装有不停地转动着的搅拌器J，使液体经常处于完全混合状态。槽中原放

9、0的液体，现需将其温度经1小时后升高到40。为此在入口处送进一定量的液体，其温度为u(t)，出口处流出等量的液体，以便保持槽内液面恒定。试寻找u(t)的变化规律，使槽中液体温度经1小时后上升到40，并要求散失的热量最小。解：因假定槽中液体处于完全混合状态，故可用x(t)表示其温度。由热力学可知，槽中液体温度的变化率与温差u(t)一x(t)成正比，为简便计，令比例系数为1，于是有 在1小时内散失掉的热量可用下式表示： 其中g和r都是正的常数。因此在目前情况下，最 优控制问题是：找u(t)的变化规律使槽中液体 经I小时后从0上升到40 ，并要求散失的热 量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。 例

10、例0-2 0-2 搅拌槽的温度控制搅拌槽的温度控制)30()()()(txtudttdx)40()()()(2102dttrutqxuJ第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物q 静态最优化问题。最优化问题的解不随时间t的变化而变化，则称为静态最优化(参数最优化)问题。 解决方法：线性规划和非线性规划法。q 动态最优化问题。如果最优化问题的解随时间t的变化而变化，即变量是时间t的函数，则称为动态最优化(最优控制)问题。 解决方法：动态规划和最大值原理。其它分类：无约束与有

11、约束 确定性和随机性 线性和非线性 2. 最优化问题的分类第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3. 最优化问题的解法1) 间接法(又称解析法) 对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学解析表达式的最优化问题，通常可采用间接法(解析法)来解决。 其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析方法(求导数方法或变分方法)求出其解析解，然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。间接法(解析法) 无约束法有约束法经典微分法极大值法经典变分法库恩-图克法第6章

12、线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2) 直接法(数值解法) 对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题，通常可采用直接法(数值解法)来解决。 直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过系列的迭代以产生点的序列(简称点列)，使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验或试验而得到的。直接法(数值解法) 区间消去法(一维搜索) 爬 山 法(多维搜索) 菲波纳奇（Fibonacci）法黄金分割(0.618)法函数逼近法（插值法）变量加速法步长加速法方向加

13、速法单纯形及随机搜索法第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 3) 以解析法为基础的数值解法。解析与数值计算相结合的方法。 4) 网络最优化方法。以网络图作为数学模型，用图论方法进行投索的寻优方法。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4. 最优控制问题 最优控制问题的实质，就是求解给定条件下给定系统的控制规律，致使系统在规定的性能指标(目标函数

14、)下具有最优值。控制装置控制装置受控对象受控对象要求状态要求状态初始状态初始状态控制作用控制作用性能最好性能最好限制条件限制条件第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1. 最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标 (拉格朗日型)fttdtttutxLuJ0)50(),(),()(2)末值型性能指标 （梅耶型）)60(),()(ffttxuJ(3)综合性能指标 （鲍尔扎型）fttffdtttutxLttxuJ0)70(),(),(),()(第6章 线性二次型的最优控制

15、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2. 最优控制问题的数学模型用以下4个方程来描述(1)给定系统的状态方程(3)给定性能指标fttffdtttutxLttxuJ0)100(),(),(),()(2)状态方程的边界条件(4)允许控制域 u(t)80(),(),()(ttutxftx )90()()(000Stxttxtxttff)110()(Utu 确定一个最优控制u*(t)，使系统从初始状态x(t0)，转移到终端状态x(tf) ，并使性能指标J(u)具有极大（极小）值。第6章 线性二次型的最

16、优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第5章 线性二次型的最优控制本章主要内容：q 6.1 线性二次型问题q 6.2 状态调节器q 6.3 输出调节器q 6.4 跟踪器线性二次型问题的特点 （1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）)140()(21)(0fttTTdtRuuQxxuJ第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜

17、测没有错：表里边有一个活的生物6.1 线性二次型问题线性二次性问题的提法： 设线性时变系统的状态方程为 )()()() 15()()()()()(txtCtytutBtxtAtx 假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为正定二次型正定二次型 半正定二次型半正定二次型实对称阵实对称阵A A为为正定（正定（半正定半正定）的充要条件是全部特征值的充要条件是全部特征值00（=0=0) )。加权矩阵总可化为对称形式。加权矩阵总可化为对称形式。)(tu)(*tu固定及正定对称时变加权矩阵阵半正定对称时变加权矩阵半正定对称常数加权矩fttTTffTtttRtQFdttutRtutetQtet

18、FeteuJf0)()() 35()()()()()()(21)()(21)(000AxxxT00AxxxT)25()()()(tytyter)(tyr 求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物性能指标的物理含义：加权矩阵的意义： （1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。 （2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如： Q(t)可开始取值小，而后取值大)35()()()(

19、)()()(21)()(21)(0fttTTffTdttutRtutetQtetFeteuJ大小的代价函数状态转移过程中衡量)(0)()()(21tetetQteLTe大小的代价函数状态转移过程中衡量)(0)()()(21tututRtuLTu点误差）终端代价函数（衡量终0)()(21)(fTfftFetet坏。并不反映系统性能的好始前形成，很大，但误差在系统开时刻)(00tett 第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误

20、差，以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的三种重要情形： )()()() 15()()()()()(txtCtytutBtxtAtx)25()()()(tytyter状态调节器)()()(0)()() 1tetxtytyItCr输出调节器)()(0)()2tetytyr跟踪问题)()()(0)() 3tytytetyrr第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6.2 状态调节器问题 设线性时变系统的状态方程为 ) 15()()()()()(tutBtxtAtx

21、 假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。)(tu)(*tu)45()()()()()()(21)()(21)(0fttTTffTdttutRtutxtQtxtFxtxuJ6.2.1 有限时间状态调节器问题txtx终端时间初始条件,)(00有限时间问题终端时间,t无限时间问题终端时间,t物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。 第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式)55(2121T

22、TTTTTTBuAxRuuQxxfLH因控制不受约束，故沿最优轨线有：)65()(01TTBRtuBRuuH（R(t)R(t)正定，保证其逆阵的存在。）正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：)75(1TTAQxxHSAxBBRAxx写成矩阵形式：)85( xAQSAxT其解为：)95()()(),()()(000ttxttttx下面思路：下面思路：确定确定 与与 的关系，带入的关系，带入 （5-65-6）形成）形成状状态反馈态反馈)(tx)(t第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有

23、一个活的生物横截条件给出了终端时刻二者的关系：即)95()()(),()()(000ttxttttx)105()()()()(21)(ffffTftFxtxtFxtxt为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：)115()()()()(),()()(22211211ttxttxttttxfff)135()()()()125()()()(22211211ttxtttxtxff（5-13）-（5-12）*F 可得)145(0)()()()()()(12221121tFtxFtFxtff第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的

24、世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)145(0)()()()()()(12221121tFtxFtFxtff)155()()()()(211111222txFFt)165()()()(211111222FFtP令)175()()()(txtPt表达式则有）代入是线性关系，（与可见)(165)()(tutxt)185()()()()()(11txtKtxtPBRBRtuTT可实现最优线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大R-1(t)BT(t)B(t)A(t)1/sP(t)x(t)x(t0 )u(t)第6章 线性二次

25、型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（5-17）对时间求导2.应用其性质求解p(t)175()()()(txtPt)195(1PxAQxAQxxHSAxBBRAxxTTT)205(11xPBPBRPAPPxBBRAxPxPxPxPTT（5-20）与（5-19）相等，可得)215(1QPBPBRPAPAPTT黎卡提方程（Riccati)边界条件： )175()()()(txtPt)105()()(fftFxt)225()( FtPf第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶

26、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物还可进一步证明，最优性能指标为：)235()()()(21),(*TTtxtPtxttxJ黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3. 状态调节器的设

27、计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)FtPQPBPBRPAPAPfTT)()215(1（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)185()()()()()(1*txtPBRtxtKtuT（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值)235()()()(21),(*TTtxtPtxttxJ第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),(RQBAlqr0)(dtRuuQxxJBuAxxKxu在在MATLAB中，命令中，命令可解连续时间的线性二次型调节器

28、问题，并可解与其有关的黎卡提方程。可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。，并且产生使性能指标。在约束方程在约束方程条件下达到极小的反馈控制律条件下达到极小的反馈控制律第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),(,RQBAlqrEPKQPPBRBPAPAHH0BKABKABKA),(RQBAlqrK ),(,RQBAlqrEPK 另一个命令另一个命令 也可计算相关的矩

29、阵黎卡提方程也可计算相关的矩阵黎卡提方程的唯一正定解的唯一正定解P。如果。如果为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或的特征值。的特征值。 对于某些系统，对于某些系统，无论选择什么样的无论选择什么样的K，都不能使，都不能使为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，情况，命令命令不能求解，详见不能求解，详见MATLAB Prgram 6.1。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样

30、一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例5-1已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：000)()(21)(210222rqfdttrutqxtfxJftf0)0()()()(xxtutaxtx二次型性能指标为：)()(1)()()(1*txtprtxtPBRtuT其中p(t)为黎卡提方程的解ftpFtPqtprtaptpQPBPBRPAPAPffTT)()()(1)(2)(21最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）0)0()()(1)()()(xxtxtpratutaxtx第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多

31、么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物利用matlab进行最优控制系统仿真1)0()()()(xtutxtx )()()(*txtptu3858. 0)(1)()(2)(02tptptptp 第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3858. 0)(11, 1, 1)0(, 0, 10tprtqxfaf计算得，取第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

32、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物变化，设rtqxfaf1, 1, 1)0(, 0, 1幅值越大衰减越快、越平稳、越小，)()()(tutxtpr第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设线性定常系统的状态方程为 ) 15()()()(tButAxtx 假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。)(tu)(*tu)245()()()()(21)(0tTTdttRututQxtxuJ6.2.1 无

33、限时间状态调节器问题txtx终端时间初始条件,)(00无限时间问题终端时间,t说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 最优轨线满足下列线性定常齐次方程：)265()()()(1txBKAtxPBBRAxtxT)275()()(21)(000*TTtPxtxtxJ性能指标最优值)245()()()(1*tPxBRtKxtuT 可以证明： P P为为正定正定常数矩阵常数矩阵，满足下列黎卡提，满足下

34、列黎卡提矩阵代数方程矩阵代数方程。)255(01QPBPBRPAPATT可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例5-1)()(tKxtudtuQxxJT02)(0,001QBuAxx研究如图所示的系统。假设控制信号为研究如图所示的系统。假设控制信号为试确定最优反馈增益矩阵试确定最优反馈增益矩阵K，使得下列性能指标达到极小，使得下列性能指标达到极小式中式中 由图可看出，被控对象的状态方程为由图可看出，被控对

35、象的状态方程为式中式中10,0010BA第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物01QPBPBRPAPAHH 0000001101100010010022121211221212112212121122121211pppppppppppppppp000000100002222212221221212111211pppppppppp 以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求解解(6.26），

36、将其重写为），将其重写为注意到注意到A为实矩阵，为实矩阵，Q为实对称矩阵，为实对称矩阵，P为实对称矩阵。因此，上式可写为实对称矩阵。因此，上式可写为为该方程可简化为该方程可简化为第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物01212 p0221211ppp0222212pp11p12p22p211222121211ppppPPBPKH1由上式可得到下面由上式可得到下面3个方程个方程将这将这3个方程联立，解出个方程联立，解出且要求且要求P为正定的，可得为正定的，可得参照式参照式

37、(6.25）,最优反馈增益矩阵最优反馈增益矩阵K为为 21 101221222121211pppppp第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物212xxKxu因此，最优控制信号为因此，最优控制信号为注意，由上式给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指注意，由上式给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能得出最优结果。图标下都能得出最优结果。图6.8是该系统的方块图。是该系统的方块图。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

38、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),(RQBAlqr0)(dtRuuQxxJBuAxxKxu在在MATLAB中，命令中，命令可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。，并且产生使性能指标。在约束方程在约束方程条件下达到极小的反馈控制律条件下达到极小的反馈控制律第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证

39、实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),(,RQBAlqrEPKQPPBRBPAPAHH0BKABKABKA),(RQBAlqrK ),(,RQBAlqrEPK 另一个命令另一个命令 也可计算相关的矩阵黎卡提方程也可计算相关的矩阵黎卡提方程的唯一正定解的唯一正定解P。如果。如果为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或的特征值。的特征值。 对于某些系统，对于某些系统，无论选择什么样的无论选择什么样的K，都不能使，都不能使为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此为稳定矩阵。在此情况下。这个矩

40、阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，情况，命令命令不能求解，详见不能求解，详见MATLAB Prgram 6.1。第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物MATLAB Program 6.1%Design of quadratic optimal regulator system%*Determination of feedback gain matrix K for quadratic %optimal control*%*Enter state matrix A a

41、nd control matrix B*A=-1 1;0 2B=1;0;%*Enter matrices Q and R of the quadratic performanceQ=1 0;0 1;R=1;%*To obtain optimal feedback gain matrix,K,enter the following command*K=lqr(A,B,Q,R)Warning:Matrix is singular to working precision.K=NaN NaN%* lf we enter the command K,P,E=lqr(A,B,Q,R).then*K,P,

42、E=lqr(A,B,Q,R)Warning;Matrix is singular to working precision.K= NaN NaNP= -lnf -lnf -lnf -lnfE= -2.0000 -1.4142第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物BuAxxDuCxy)()()(3322111332211xkxkxkrkxkxkxrku321kkkK yyyxxxxRqqqQ 321332211, 1,000000dtRuuQxxJ)(0 0, 001,1

43、00,320100010DCBA例例6.13 考虑系统的状态空间表达式为考虑系统的状态空间表达式为式中式中在确定最优控制律时，假设输入为零，即在确定最优控制律时，假设输入为零，即r =0。 确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵K（t），使得性能指标达到极小。这里），使得性能指标达到极小。这里假设控制信号假设控制信号u为为第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11q22q33q01. 0, 1,100332211Rqqq),(RQBAlqrK 为了得到快速响应，为了得

44、到快速响应，与与 和和R相比必须充分大。相比必须充分大。为了利用为了利用MATLAB求解，可使用命令求解，可使用命令在该例中，选取在该例中，选取MATLAB Program 6.4A=0 1 0;0 0 1;0 -2 -3;B=0;0;1Q=100 0 0;0 1 0;0 0 1;R=1;第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物%-Design of quadratic optimal control system %*To obtain the optimal stat

45、e feedback gain matrix K,%enter the following command*K=lqr(A,B,Q,R)k=100.0000 53.1200 11.6711k1=K(1),k2=K(2),k3=K(3)k1= 100.0000k2= 53.1200k3= 11.6711第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物rBkxBKArkKxBAxBuAxx11)()(321001 xxxCxy),(,DDCCBBAAsteptxyDDDCCCBkBB

46、BKAAA,1 采用确定的矩阵采用确定的矩阵K来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性。所设计的系统的状态方程为。所设计的系统的状态方程为 输出方程为输出方程为为求对单位阶跃输入的响应，使用下列命令为求对单位阶跃输入的响应，使用下列命令式中式中第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1x2x3x MATLAB Program 6.5可求出该系统对单位阶跃的响应。图可求出该系统对单位阶跃的响应。图6.10画出了输出画出了输出y对时间对时间

47、t的响应曲线，图的响应曲线，图6.11在同一张图上画出在同一张图上画出了了,和和对对t的响应曲线。的响应曲线。MATLAB Program 6.5A=0 1 0;0 0 1;0 -2 -3;B=0;0;1K=100.0000 53.1200 11.6711;K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);C=1 0 0;D=0;AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物t=0:0.01:8;y,x,t=stepAA,BB

48、,CC,DD);%*Toplot the unit-step response curve y(=xl)versus t,%enter the following command*plot(t,y)gridtitle(Unit-Step Response of Quadratic Optimal Control System)ylabel(Output y=xl)%*To plot curves x1,x2,x3 versus t on one diagram, enter%the following command*plot(t,x)gridtitle(Response Curvesx1,x

49、2,x3,versus t)xlabel(t Sec)ylabel(x1,x2,x3)text(2.6,1.35,x1)text(1.2,1.5,x2)text(0.6,3.5,x3)第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1x2x3x二次型最优控制系统的单二次型最优控制系统的单位阶跃响应曲线位阶跃响应曲线对对t的响应曲线的响应曲线第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有

50、错：表里边有一个活的生物例5-2已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式正定）式中QbadttutaxtxtbxtxJ(0)()()()(2)(21202222121)(10)(0010)(tutxtx二次型性能指标为：11100010RabbQBA验证系统能控性20110 RankABBRank第6章 线性二次型的最优控制我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物展开整理得到三个代数方程020122212221211212appbpppp P满足下列黎卡提矩阵代