2022年数学培优竞赛新方法-第讲-三角形的四心 .pdf

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1、GEFDCBAICBA第 24 讲三角形的四心几何是数学中的这样一部分，其中视觉思维占主导地位，几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加勇气，提高修养。- 阿蒂亚知识纵横重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。（1）重心三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。如图，设G是ABC的重心，则;21GCGFGBGEGAGD.31ABCABGAGCBGCSSSS（2）外心三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。如图，设O是ABC的外心，则;OCOBOA,2,2ABCAOCBACBO

2、C.2 ACBAOB（2）内心名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - OCBAHFEDCBAOEDCBA三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。如图，设O是ABC的内心，则I到三角形各边距离相等；,2190,2190BCIAABICOO.2190CAIBO（3）垂心三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。如图，设H是ABC的垂心，则;,ABCHACBHBCAH;FECBDHECFHDBEHFA、；、EDBADFAC

3、、;共六组四点共圆。例题求解【例 1】如图，ABC中，cABbACaBC,若BCAC、上的中线ADBE、垂直相交于点O，则C可用ba、的代数式表示为。（第 19 届江苏省竞赛题）思路点拨设，yOExOD,则由重心性质有；yBOxAO2,2建立yx、的方程组。【例 2】 已知点I是锐角三角形ABC的内心，111CBA、分别是点I关于边ABCABC、的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 对称点，若点B在111CBA的外

4、接圆上，则ABC等于 ( ) A.36B.45C.60D.90（ “ CASIO 杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨由rICIBIA2111（r为ABC的内切圆半径） ，得I同时是111CBA外接圆的圆心。【例 3】已知OCDEACE90，点B在CE上，CDCBCA，经DCA、三点的圆交AB于F（如图）求证：F为CDE的内心思路点拨连DFCF、， 即需证F为CDE角平分线的交点， 充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，

5、共 11 页 - - - - - - - - - GFEOPDCBA【例 4】如图所示 ,CDBCAB、分别与圆相切于点CDBCABGFE、，连结AC与BD交于P，连结PF.求证：BCPF（江苏省竞赛题）思路点拨设圆心为O，证明O是PBC的垂心，则BCPO，由切线性质得；PO一定通过切点F名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 【例 5】如图，已知ABCRT中，CD是斜边AB上的高，21OOO、分别是BCDACDABC

6、、的内心。求证：（1）;21CODO（2）210OOC. （武汉市竞赛题）分析在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，故通过证交角等于O90的方法证两线垂直，再用全等三角形证两线段相等。欧拉线【例 6】求证：（1）三角形的一个顶点到垂心得距离，是外心到对边距离的2 倍（2）三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2 倍。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - -

7、- - - - 学习训练基础夯实1.如图， ABCD中，E是AB的中点，12910DEACAB，,则ABCD的面积为。2.如图，D是ABC的内心，E是ABD的内心，F是BDE的内心若BFE的度数为整数，则BFE的最小度数为。3.如图，从圆外一点P作O的两条切线PBPA,，连POAB,，设PO交O于点C，则C点是ABD的心. （第 1 题）（第 2 题）（第 3 题）4.如图，CD是ABCRt的斜边AD上的高，21II 、分别是BDCADC、的内心，若43BCAB，,则21II= 。5.如图，锐角三ABC的垂心为H，三条高的垂足为FED、则H是DEF的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心6.如图

8、，设锐角ABCCFBEAD、的三条高线相交于H，若cABbACaBC,，则CFCHBEBHADAH的值为（）A.)(21acbcabB.）（22221cbaC.）（cabcab32D.）（22232cbaGEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - HFEDCBAHFEDCBA（第 4 题）（第 5 题）（第 6 题）7.已知锐角ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则A的度数是（）. A.O30B.

9、O45C.060D.075(全国初中数学竞联赛题) 8.如图，ABC内接于O，BCAD于点D，ACBE于点E，BEAD、相交于点H若46AHBC、，则O的半径为（）A.5B.132C.13D.211（2011 年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）9.如图，设AD是ABD的中线，ADCABD、的外心分别为FE、,直线BE与CF交于点G，若BCDG21，求证ACGADG2. （ “我爱数学”夏令营竞赛题）CDBEFGA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页

10、 - - - - - - - - - IEDCBA能力拓展10. 如图，设CFBEAD、为三角形的三条高， 若356EFBCAB， 则BE= . （第 10 题）（第 11 题）11.如图，ABC中，987CABCAB，ABC的内切圆圆心I作BCDE /，分别与ACAB、相较于ED、，则DE= . （全国初中数学竞赛试题）12.若锐角ABC的三边比是cba:，它的外心O到三边的距离分别为pnm,，则pnm:等于（） 。A.cba1:1:1B.cba:C.CBAcos:cos:cosD.CBAsin:sin:sin13.如果一个三角形的面积和周长都被同一条直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的

11、（）A.内心B.外心C.重心D.垂心名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - IMFEDCBA14.如图，ABC的三条中线CFBEAD、的长分别是13,12,5，求ABC的面积。15.如图，已知I是ABC的内心，CIBIAI、的延长线分别交ABC的外接圆于EFFD,、交AD于M求证：ADEF（第 22 届加拿大奥林匹克试题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

12、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 综合创新16.锐角三ABC的外心为O， 外接圆半径为R， 延长COBOAO、， 分别与对边CABC、AB交于FED、.证明：RCFBEAD2111. (江西竞赛题 ) 17.如图，在 ABCD中，A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点FE、.点1,OO分别为CEF、ABE的外心 . （1）求证：1OEO、三点共线 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - OEO1FCDBA（2）求证：ABCOBD21（全国初中数学联赛题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -