高数1-2极限概念ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 第一章 二、函数的极限二、函数的极限 第二节极限的概念极限的概念一、数列的极限一、数列的极限 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、数列的极限一、数列的极限,nf,f,f,f,f)()4()3()2()1(定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，将其对应的函数值排成一列，将其对应的函数值排成一列，一些数列的

2、例子一些数列的例子1. 1. 数列极限的定义数列极限的定义n,y,y,y,y,y4321习惯记作习惯记作这样的一列数这样的一列数称为一个数列，称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，数列中的每一个数称为数列的项，.yn项项）称称为为数数列列的的一一般般项项（通通.ny数数列列可可简简记记为为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例如例如;,n 28422n;,21,81,41,21n21n;,n11111)()(11n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,n,14131,21

3、1,n1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,n,1514131,211,随着随着n的增大，的增大，0ny越来越小，越来越小，且当且当n无限增大无限增大时，时，0ny可以任意小可以任意小!.0成立充分大时，有当，即任给正数nynny,nn110要要使使，任任给给正正数数对对于于数数列列检检验验：.n即即可可只只要要1,n,n的的增增大大随随着着对对于于数数列列1有有什什么么样样的的变变化化ny趋势趋势?问：问：.xnnn0,1无无限限接接近近于于的的无无限限增增大大，随随着着则则对对于于数数列列

4、.nn趋趋于于无无穷穷时时的的极极限限当当是是数数列列称称10我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数A, Aynnlim其中其中;: 每每一一个个或或任任给给的的 .: 存存在在,Aynnlim.nAyn)( 或或 定定义义N ,ny的的正正数数,NNn ,yn AynA数数nyny,A收收敛敛于于定义定义1 设数列设数列A是一常数，是一常数，(不论它多么小不论它多么小),使得对于使得对于时的一切时的一切都成立都成立,是数列是数列的极限的极限,记为记为 如果

5、对于任意给定如果对于任意给定总存在正整数总存在正整数那么就称常那么就称常或者称数列或者称数列是是发散发散的的.就说数列没有极限就说数列没有极限,称数列称数列.Ay,Nn,N,n 恒有恒有时时使使正整数正整数0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物的的几几何何解解释释是是axnnlimx1x2x2 Nx1 Nx3x a aa 2.a,aN,外外落在落在个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个任取任取)()(0 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到

6、愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物利用定义证明数列极限利用定义证明数列极限例例1.nn01lim利利用用定定义义证证明明证证01n1),(取取任任给给00ny要使,1 n只要只要,n1即即所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 01n就有就有.nn01lim即即习题习题. 19999. 0lim nn利用定义证明用定义证明数列极限时用定义证明数列极限时, 0去证满足条件的正整数去证满足条件的正整数N的存在性的存在性.关键关键是是对于任意给定的对于任意给定的,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一

7、个活的生物例例2.Cy,CCynnnlim)(证证明明为为常常数数设设证证CynCC ,成立成立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.Cynnlim说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.2. 2. 数列极限与子列极限的关系数列极限与子列极限的关系nnny,y,y,y,y121,yn1,yn2,yn3,yknkny)(knk显显然然 保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列ny 中中的的先先后后次次序序，这这些些项项在在原原数数列列ny 的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列ny这样得

8、到这样得到我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理1 1( (收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列的收敛数列的证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnyyk,Aynnlim.Ay,Nn,N,n恒有恒有时时使使00,NK 取取,时时则则当当Kk .NnnnNKk.Aykn.Ayknklim证毕证毕任一子数列也收敛且极限相同任一子数列也收敛且极限相同我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的

9、猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 ( (收敛子数列与数列间的关系）收敛子数列与数列间的关系）对于数列对于数列),(),(kAykAykk212,ny若若证证 明：明：).(nAyn证证Ay,Aykkkk212limlim.Ay,Kk,NK,Ay,Kk,NK,kk22212110有有时时使当使当有有时时当当使使,K,KKmax21取取Ay,Ay,Kkkk212有有时时则则当当. AyNn,KNn时时有有则则当当取取2.Aynklim证毕证毕我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、函数的极限

10、二、函数的极限1.1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限、x、x自变量趋向无穷大的三种情况自变量趋向无穷大的三种情况 : :x定义定义2.2.设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, ,若若,0X,)(,AxfXx有时当则称则称时的极限时的极限, ,)()(xAxf当或记作记作,0 xxf当)(常数常数A 为函数为函数Axfx)(limxxfA当当是函数是函数就称就称)(趋趋于于无无穷穷大大如如果果 x,x时时无无限限增增大大 )(对应的函数值对应的函数值)(xf无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数,A趋于无穷大时的极限趋于无穷大时的极限

11、. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim自变量趋向无穷大的其余两种情况自变量趋向无穷大的其余两种情况 : :.AxfxfAxf:xxx)(lim)(lim)(lim2定定理理我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

12、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXx的几何意义的几何意义Axfx)(limXXAAoxy)(xfy A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3 3 用定义用定义证明证明. 01limxx证证: :01xx1取取,1X,时当Xx 01x因此因此01limxx就有就有故故,0欲使欲使,01x即即,1xoxyxy1我吓了一

13、跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限0 xx )(xf,A若函数若函数)(xf在点在点0 x的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义, , 当当自变量自变量时时, ,若对应的函数值若对应的函数值无限接近于无限接近于某个确定的常数某个确定的常数A0 xx 则称则称为函数为函数)(xf在在时的极限时的极限. .定义定义5.5.设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , ,0,0使得当使得当00 xx 时时

14、, , 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf当当若若记作记作我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,0,0使当使当),(0 xx时时, , 有有.Axf)(Axfxx)(lim0定义定义Axfxx)(lim0的几何意义的几何意义: :0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边

15、有一个活的生物时的极限时的极限利用定义证明函数当利用定义证明函数当0 xx 那么就证明了那么就证明了的存在性的存在性,也就证明了极限的存在也就证明了极限的存在.用定义证函数极限存在时用定义证函数极限存在时,关键关键是对于任意给定的是对于任意给定的, 0,寻找满足条件的正数寻找满足条件的正数如果找到了这样的如果找到了这样的.xxxx00lim4用定义证明用定义证明例例xx0即即, Axf,)(要要使使0 xxAxf0)(有有时时当当取取xx, 000 xxAxf)(证：证：.xxxx00lim我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的

16、猜测没有错：表里边有一个活的生物例例6.xxx21121lim用定义证明用定义证明CCxx0lim5用定义证明例, Axf,00)(有有时时当当取取任任意意正正数数xx,00Cxf)(都有都有C.Cxx0lim0CCAxf)(证证：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物单侧极限单侧极限: :AxfAxfxxxx)()(lim)(00000或或AxfAxfxxxx)()(lim)(00000或或右极限右极限左极限左极限.AxfxfAxf:xxxxxx)(lim)(lim)(lim0003定定理理.)

17、(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证110)(limxxxxxxx00limlim110 xlim我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生

18、物 作作 业业 P36 1.(2) 2.(2) 3.(1)(4) 5.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值nnln我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的

19、生物从而从而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一一、 利利用用数数列列极极限限的的定定义义证证明明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二二、 设设数数列列nx有有界界，又又0lim nny， 证证明明：0lim nnnyx. .练练 习习 题题我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放

20、在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引

21、入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而

22、无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥

23、细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错

24、：表里边有一个活的生物“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么

25、把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列

26、列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜

27、测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么

28、丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限