第一、二节差分方程的基本概念-一阶常系数线性差分方程ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第十章第十章 差分方程初步差分方程初步我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第十章第十章 差分方程初步差分方程初步p第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念p第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程p第三节第三节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程p第四节第四节 n阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程p第五节第五节 差分方

2、程在经济学中的应用差分方程在经济学中的应用我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念一一.差分概念差分概念给定函数给定函数( )tyf t ), 3 , 2 , 1 , 0( t一阶差分一阶差分 ty)()1(tftf ttyy 1二阶差分二阶差分ty2 )()1(2)2(tftftf ttyy 1)1()2( tftf)(ty )()1(tftf 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的

3、猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 求函数求函数ttyt22 的的.,2ttyy 解解 ty)2()1(2)1(22tttt 32 t ty2)1(2)1(2)2(2)2(22 tttt. 2 )2(2tt )()1(tftf )()1(2)2(tftftf 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二二.差分方程差分方程定义定义10.1含有自变量含有自变量, t未知函数未知函数ty以及以及未知函数未知函数ty的差分的差分tnttyyy ,2的方程的方程,称为差分方程称为差分方程.出现在差分方程中

4、的最高阶出现在差分方程中的最高阶差分的阶数差分的阶数,称为差分方程的阶称为差分方程的阶.0),(32 tnttttyyyyytF我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义10.2含有自变量含有自变量t和两个或两个以上和两个或两个以上ntttyyy ,1的函数值的函数值的方程的方程,称为差分方程称为差分方程.出现在差分方程中的未知函数下标的最大差出现在差分方程中的未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶称为差分方程的阶.0),(21 nttttyyyytF我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为

5、什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注注 两个定义不完全等价两个定义不完全等价例如例如02 ttyy二阶差分方程二阶差分方程21(2)0tttyyy 012 ttyy一阶差分方程一阶差分方程一般用第二定义一般用第二定义1()ttyy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三三.差分方程的解差分方程的解定义定义10.3 如果将已知函数如果将已知函数)(tyt 代入方代入方程程0),(21 nttttyyyytF使其对使其对, 2 , 1 ,

6、0 t成为恒等式成为恒等式,则称则称)(tyt 为差分方程的为差分方程的解解.含有含有n个独立任意常数的解个独立任意常数的解,称为称为通解通解.在通解中给任意常数以确定的值而得到的解在通解中给任意常数以确定的值而得到的解,称为差分方程的称为差分方程的特解特解.确定任意常数的条件确定任意常数的条件,称为称为初始条件初始条件.,111100 nnayayay我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物求部分一阶差分方程的通解求部分一阶差分方程的通解. .本章中心任务本章中心任务我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐

7、怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物四四.线性差分方程线性差分方程)()()()(1111tfytaytaytaytntnntnt 如果如果0)( tfn阶线性齐次差分方程阶线性齐次差分方程如果如果0)( tfn阶线性非齐次差分方程阶线性非齐次差分方程)(1tfayytt 重点讨论重点讨论一般形式一般形式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物认方程认方程:tyytt38312 3551012 tyyyttt05432123 tt

8、ttttttyyyy一阶线性常系数非齐次差分方程一阶线性常系数非齐次差分方程二阶线性常系数非齐次差分方程二阶线性常系数非齐次差分方程三阶线性齐次差分方程三阶线性齐次差分方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理10.1五五.线性差分方程解的基本定理线性差分方程解的基本定理如果如果)(,),(),(21tytytym是齐次线性差分方程是齐次线性差分方程的的 个解个解,则它们的线性组合则它们的线性组合m)()()()(2211tyctyctyctymm ( 是任意常数是任意常数)mccc,21

9、也是齐次线性差分方程的解也是齐次线性差分方程的解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理10.2n阶齐次线性差分方程有阶齐次线性差分方程有n个线性无关的解个线性无关的解.如果如果)(,),(),(21tytytyn是是n阶齐次线性差分阶齐次线性差分方程的方程的n个线性无关的解个线性无关的解,则其通解为则其通解为)()()()(2211tyctyctyctynn ( 是任意常数是任意常数).mccc,21定理定理10.3n阶非齐次线性差分方程的通解等于其一个阶非齐次线性差分方程的通解等于其一

10、个特解与对应的齐次方程的通解之和特解与对应的齐次方程的通解之和.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 求方程求方程326512 tyyyttt的通解的通解.解解 齐次方程齐次方程06512 tttyyy两个线性无关的解两个线性无关的解tty2)(1 tty3)(2 齐次方程通解齐次方程通解ttccty32)(21 非齐次方程一个特解非齐次方程一个特解tty )(非齐次方程通解非齐次方程通解.32)(21tcctytt 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界

11、里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程一一.一阶线性常系数齐次差分方程一阶线性常系数齐次差分方程一般形式一般形式)0, 2 , 1 , 0(01 atayytt讨论讨论:ttayy 1设初始条件为设初始条件为0y则则01ayy 12ayy 02ya 23ayy 03ya 0yaytt 通解公式通解公式)( 为任意常数为任意常数AAaytt 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二二.一阶线性常系数非齐次差分方程一阶

12、线性常系数非齐次差分方程一般形式一般形式)0, 2 , 1 , 0()(1 attfayytt讨论讨论:)(1tfayytt 设初始条件为设初始条件为0y则则)0(01fayy )1(12fayy )1()0(02fafya )2(23fayy )2()1()0(203faffaya )(0tFyaytt )1()2()1()0()(21 tftaffafatFtt)(tFAat )( 为为任任意意常常数数A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物附证附证:)(0tFyaytt 是是)(1tfayy

13、tt 的解的解ttayy 1)1(01 tFyat)(0tFyaat )()1(taFtF )()1()1()0(1tftaffafatt)1()2()1()0(21 tftaffafaatt)(tf )1()2()1()0()(21 tftaffafatFtt我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)(tFAaytt )1()2()1()0()(21 tftaffafatFtt以下分四种情况讨论以下分四种情况讨论(1)ctf )()1()2()1()0()(21 tftaffafatFttcacc

14、acatt 21aact 1)1(ct1 a1 a )( 为为任任意意常常数数A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物通解为通解为:aacAatt 1)1(ctA 1 a1 a acAat 1ctA 1 a1 a cayytt 1)(tFAaytt ty我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 求差分方程求差分方程351 ttyy的通解及在的通解及在370 y下的特解下的特解.解解35 caacA

15、aytt 15135 tA435 tA由由370 y得得1237 A.4351237 tty我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2),()(bccbtft 都是常数都是常数tttcbayy 1)(tFAaytt )1()2()1()0()(21 tftaffafatFtt1221 ttttcbacbcbacaababctt )(1 tctaba ba 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物tttc

16、bayy 1)(tFAaytt 通解为通解为:ababcAattt )(1 ttctaAaba ba abcbAatt 1 ttctaAaba ba ty我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 求差分方程求差分方程tttyy21 的通解的通解.解解121 cbaabcbAayttt )1(221)1( ttA.32)1(ttA 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物待定系数法做题步骤待定系数法做

17、题步骤(1)将方程中将方程中 的系数变为的系数变为1;(2)根据根据 的具体形式假定特解的形式的具体形式假定特解的形式;(3)将假定的特解代入方程中确定待定系数将假定的特解代入方程中确定待定系数;(4)写出一阶线性常系数非齐次差分方程的写出一阶线性常系数非齐次差分方程的通解通解.tttyAay 1 ty)(tf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(3)()(tpbtft ( 是常数是常数,为为m次多项式次多项式)b)(tp待定系数法求特解待定系数法求特解01()tmmtyb BB tB t ba

18、 01()tmmtytb BB tB t ba 其中其中01,mB BB为待定系数为待定系数.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3 求差分方程求差分方程)2(341 tyyttt的通解的通解.解解)2141(3411 tyyttt设非齐次的特解为设非齐次的特解为)(321BtBytt 代入非齐次方程得代入非齐次方程得1211011121 BB齐次通解为齐次通解为1( )4ttyA 故非齐次的通解为故非齐次的通解为).12110111(3)41( tAyttt我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖

19、的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(4)tbtttf)sincos()( 都为已知常数都为已知常数),(b 待定系数法求特解待定系数法求特解其中其中 ,为待定系数为待定系数.ttbtty)sincos( 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4 求差分方程求差分方程tyyttt cos21 的通解的通解.解解设非齐次的特解为设非齐次的特解为)sincos(2ttytt 代入非齐次方程得代入非齐次方程得032 齐次通解为齐次通

20、解为1ttyAA 故非齐次的通解为故非齐次的通解为.cos232tAytt 则非齐次的特解为则非齐次的特解为tytt cos232 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物作业题作业题1.习题十习题十(A)1、2、4、5、6、7.2.习题十习题十(B)1、2、4、5.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物本章基本要求本章基本要求1.了解差分与差分方程及其通解与特解的概念了解差分与差分方程及其通解与特解的

21、概念.2.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.3.会用差分方程求解简单的经济应用问题会用差分方程求解简单的经济应用问题.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物本章重点、难点本章重点、难点重点：重点：一阶常系数线性差分方程的求解一阶常系数线性差分方程的求解. 难点：高阶常系数线性差分方程的求解难点：高阶常系数线性差分方程的求解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物