高等量子力学-密度算符和密度矩阵ppt课件.ppt

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分14 密度矩阵密度矩阵14-1 纯态和混合态纯态和混合态14-2 密度算符和密度矩密度算符和密度矩阵阵14-3 例例变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分14-1纯态和混合态纯态和混合态2211cc(14.1) 这个状态也是纯态这个状态也是纯态. 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成

2、中一个重要组成部分2211:pp (14.2) 2211cc变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分222112cacaaiii (14.3) 2211:pp2211cc222121papaii (14.4) 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分以上的说法若在以上的说法若在X表象中说表象中说, 纯态的函数为纯态的函数为 2211cxcxx而混合态的态函数可以写成而混合态的态函数可以写成 2211:px

3、px220210120cxcxx而在混合态中为而在混合态中为22021201pxpx相干叠加相干叠加 不相干叠加不相干叠加 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2211cc变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分14-2 密度算符和密度矩阵密度算符和密度矩阵 我们希望

4、找到一个单一的数学量去描写混合态我们希望找到一个单一的数学量去描写混合态, 这个量就是这个量就是本节要介绍的密度算符本节要介绍的密度算符. 先从纯态开始先从纯态开始.一、密度算符的定义一、密度算符的定义 物理量物理量A的平均值：的平均值： AA trAnAnAnnAnn密度算符密度算符： 注意构造密度算符时必须使用归一化的态矢量注意构造密度算符时必须使用归一化的态矢量. (14.5) (14.6) 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分iiiiiiaaaaaW2(14.7) 变电站电气主接线是指变

5、电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分下面看混合态下面看混合态. 取一个比取一个比(14.2)式更一般的混合态如下：式更一般的混合态如下：,:,:2211pp1ip(14.8) 物理量物理量A在这个混合态中的平均值：在这个混合态中的平均值： iiiiApAniiiiiniiinpAnAnnpAtrAnpAnniiii混合态的密度算符或统计算符：混合态的密度算符或统计算符： iiiipiip1 (14.9) (14.10) 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接

6、线是电力系统接线组成中一个重要组成部分jjiiijjaapaW2 (14.11) (14.9)和和(14.11)二式与纯态情况二式与纯态情况(14.5)和和(14.7)二式完全一样；二式完全一样；而混合态的密度算符是参与混合态的那些纯态的密度算符的而混合态的密度算符是参与混合态的那些纯态的密度算符的加权平均加权平均.,:,:2211pp1ip变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分iiHiHiHp (14.12) 而在薛定谔绘景中而在薛定谔绘景中, 密度算符则是一个含时算符：密度算符则是一个含时算符

7、： iiSiSiStptt (14.13) ttpttpttittiiSiiSiiSiSiS tHHtpttptHSiSiiSiiSiSi, (14.14) 这是密度算符的运动方程这是密度算符的运动方程,称为称为刘维方程刘维方程. 与海森伯绘景不同与海森伯绘景不同.二、刘维方程二、刘维方程变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 SSSSSAtttriAttrtiAti SSSSSSHAtAtHtrAtHtr, HAttrHAtHAttrSSSSSS,HAS, (14.15) 变电站电气主接线是指变

8、电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度矩阵密度矩阵. 在薛定在薛定谔绘景中的密度矩阵是含时的谔绘景中的密度矩阵是含时的, 而在海森伯绘景中而在海森伯绘景中, 密度矩阵则密度矩阵则是不含时的是不含时的. 密度矩阵中的密度矩阵中的“密度密度”一词是历史上形成的一词是历史上形成的, 并不并不贴切贴切, 不必深究不必深究.mnminiimiiimnppnipimnm (14.16)npmnmiiiimn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电

9、力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分xpxxxiiiixx iiiixpx (14.17) 对于这样的矩阵对于这样的矩阵, 其迹是其迹是dxtrxx (14.18) 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三、密度算符的一些性质三、密度算符的一些性质 我们研究一个一般的混合态：我们研究一个一般的混合态： iiiipiip1(14.19) 1tr1、(14.20) niiiiiniiipnnnpntr1iiiiiipp变电站电气主接线是指变电站的变压器、

10、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 1, 12tr2、对混合态对纯态 (14.21) nppntrjjjinijii2 ijjjiiijjijiijpppp2jjinijiijppnn1222jjjjjijjjippp12iiptr (混合态混合态) 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分122nnnntrnn(纯态纯态) . 1, 12tr对混合态对纯态3、密度算符是厄米的：、密度算符是厄米的： iiiiiiiiiiiippp1

11、triiiip变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分iiip (14.22)证明：证明： jiiijjjjijjjipppiiiip变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分ppiiiipp非正交的：非正交的：正交的：正交的：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分mmmmmmiiiimpmmmpmm式中式中m

12、miiiimmmmmpmpiiiip变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分mmmmmmiiiimpmmmpmmmmiiiimmmmmpmp (14.24) (14.25)mmmmpp 1mmptr (14.26)由以上三式可见由以上三式可见, 用一组正交基表现一个系统的全部混合态是用一组正交基表现一个系统的全部混合态是可能的可能的. 一个系统的任何混合态都可以用任何一组正交基表示一个系统的任何混合态都可以用任何一组正交基表示成如下形式：成如下形式：mpmmm1,; 1,2mmiimiiiimiii

13、mmmcmcpcpcp (14.27) (14.28)变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分mpmmmiiiipmmiiiimmmmmpmp变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分四、约化密度矩阵四、约化密度矩阵 imimmic(14.29) 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分imimmicimimc1

14、2(14.30) iimmmiimmimiccimmimimiimmicc, (14.31) ) 1 () 1 (FtrF变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分jjnnnjnjnjnjF) 1 ( njnnjjjjjF) 1 () 1 () 1 (FtrFiimmmiimmimiccjjnnnjnjnnjjF) 1 (令令 21trnnn (14.32) ) 1 () 1 (1Ftr) 1 () 1 (jjjF变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变

15、电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 21trnnn) 1 () 1 () 1 (1FtrF(14.33) 这一表式完全与粒子这一表式完全与粒子2无关无关, 是一个只在粒子是一个只在粒子1空间中的关系空间中的关系.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分) 1 () 1 () 1 (1FtrF变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分由由(14.32)和和(14.31)式知式知iimmmiimm

16、imicc nnnnnn1 iiininniicc1 (14.34) 这是一个这是一个(14.27)式类型的密度算符式类型的密度算符.iniiinniiinimmmniimmimniccccmpmmminimmnmiimmimnicc变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分14-3 例例 我们来看几个自旋态的例子我们来看几个自旋态的例子, 自旋态很能说明问题自旋态很能说明问题, 而且空间维而且空间维数少数少, 比较简单比较简单.纯态纯态 23,21,232121cc混合态混合态 43,41,pp变电

17、站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分10,01(14.35) （1） 纯态纯态23214343434123212321由此可算出由此可算出，43xxtrSS ，0yS 41zS2321变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（2）混合态）混合态300141431010410101iiiip由此算出由此算出 ，0 xS，0yS41zS ，43xxtrSS，0yS41zS讨论讨论：首先，由所得结果可明显看出，

18、混合态确是两个态的不：首先，由所得结果可明显看出，混合态确是两个态的不相干叠加。在混合态中，保存了原有两态的特点相干叠加。在混合态中，保存了原有两态的特点 。23,21,232121cc43,41,pp变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,011,02i则纯态的密度矩阵发生很大变化则纯态的密度矩阵发生很大变化,2321i43434341ii，0 xS，43tryySS41zS平均值也发生了很大变化，显然已经不是原来哪个纯态了，平均值也发生了很大变化，显然已经不是原来哪个纯态了，而混合态的密度矩阵

19、则无变化。可见，在相干叠加构成纯态而混合态的密度矩阵则无变化。可见，在相干叠加构成纯态时，两态的相因子非常重要。时，两态的相因子非常重要。 10,0121,变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分下面看一个非正交态构成的混合态：下面看一个非正交态构成的混合态：例例2： 我们来研究下列混合态我们来研究下列混合态 21012111212211pp，（14.36） 这个态的密度矩阵为这个态的密度矩阵为 11134101012111112121（14.37） 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样

20、与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分)22(41211224111p，)22(41211224122p，（14.38） （14.38）式所表示的混合态，其密度矩阵是（）式所表示的混合态，其密度矩阵是（14.37）式，与）式，与（14.36）式所表示的混合态密度矩阵相同。通常认为）式所表示的混合态密度矩阵相同。通常认为14.36）式与（式与（14.38）式是相同的混合态。前者的参与态不是正交的，）式是相同的混合态。前者的参与态不是正交的，而后者则是正交的。而后者则是正交的。21012111212211pp，111341变电站电气主接线是指变电站

21、的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分211 212 213 214现在取这个双粒子系统的一个纯态：现在取这个双粒子系统的一个纯态： 221求其中电子自旋的平均值。求其中电子自旋的平均值。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：首先用整个系统的密度矩阵来做，然后再用约化矩阵来做。解：首先用整个系统的密度矩阵来做，然后再用约化矩阵来做。00010101211，00102，0100310004系统的态矢量的矩阵形式是系统的态矢量

22、的矩阵形式是 101221基矢的矩阵形式是基矢的矩阵形式是 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分密度矩阵是密度矩阵是1012000010122022411012101241，001000011000010021001011021xS变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分，00000000000021iiiiSy100001000010000121zS于是得于是得 ，41xS，01yS41zS)(At

23、rA 同理，得同理，得101200001012202241变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分222222222)1(tr11111111341212121221221)(22211111111010011010010101341变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分111341)1 (，41xS，01yS41zS与前结果相同。与前结果相同。) 1 () 1 () 1 (1FtrF变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分nnnEHnktEnnneZ1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分nktEnnneZ1kTHnnnkTHeZeZ11这时式中的这时式中的Z也成为一个算符也成为一个算符kTHeZ tr称为系统的配分函数，（称为系统的配分函数，（14.39）和（）和（14.40）二式是正则系综理）二式是正则系综理论的基础。论的基础。（14.39）（14.40）1tr