2022年高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结 2.pdf

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1、名师总结优秀知识点必修四常考公式及高频考点第一部分三角函数与三角恒等变换考点一角的表示方法1.终边相同角的表示方法：所有与角终边相同的角，连同角在内可以构成一个集合：| = k 360 +,k Z 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为 | k 360 k360 +90 ,k Z 第二象限角的集合为 | k 360 +90 k360 +180 ,k Z 第三象限角的集合为 | k 360 +180 k360 +270 ,k Z 第四象限角的集合为 | k 360 +270 0，且 x=0 时的相位（ x+ =）称为初相 . 如果不满足0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.

2、 如 y=-3sin(-2x+600) 的初相是 -600 求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解 . 相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2. “一图、两域、四性”“一图”：学好三角函数，图像是关键。易错提醒： “左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对 -x 或 2x 等.例：“两域”：(1) 定义域求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域 ( 最值 ) ：a. 直接法（有界法） ：利用 sinx ， cos

3、x 的值域 . b. 化一法：化为y=Asin( x+)+k 的形式逐步分析x+的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域( 最值 ). c. 换元法：把sinx 或 cosx 看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域( 最值 )问题 . 例：1.y=asinx2+bsinx+c 2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx23.y=(asinx+c)/(bcosx+d) 4.y=a(sinxcosx)+bsinxcosx+c “四性”：(1) 单调性函数y=Asin( x+)(A0, 0) 图象的单调递增区间由2k-2 x+2k2，kZ 解得 , 单调递减区间由2k+2x+

4、0, 0) 图象的单调递增区间由2k+ x+2k2,k Z 解得 , 单调递减区间由2k x+0, 0) 图象的单调递增区间由k-2 x+k2， kZ解得 ,. 规律总结： 注意 、A为负数时的处理技巧(2) 对称性函数 y=Asin( x+)的图象的对称轴由x+= k 2(k Z) 解得 , 对称中心的横坐标由x+= k (k Z)解得 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师总结优秀知识点函数 y=Acos( x+)的图象的对称轴由x+= k (k Z)解得 , 对称中心的横坐标由x+=k2(k Z) 解得

5、; 函数 y=Atan( x+)的图象的对称中心由x+= k (k Z)解得 . 规律总结： 可以是单个角或多个角的代数式. 无需区分、A符号 . (3) 奇偶性函数 yAsin( x) ，xR是奇函数 ? k(k Z)，函数 yAsin( x) ， xR是偶函数 ? k2(kZ)；函数 yAcos( x) ，xR是奇函数 ? k2(k Z)； 函数 y Acos( x) ，x R是偶函数 ? k(kZ)；函数 yAtan( x) ， xR是奇函数 ? k2(k Z)规律总结： 可以是单个角或多个角的代数式. 无需区分、A符号 . (4) 周期性函数 yAsin( x )或 yAcos( x)

6、 的最小正周期T2| |，yAtan( x) 的最小正周期T| |. 考点六常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系22sincos1；tan=cossin2.三角函数化简思路： “去负、脱周、化锐”（1）去负，即负角化正角：sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；（2）脱周，即将不在（0,2 ）的角化为（ 0,2 ）的角：sin(2k +a)=sina ； cos(2k +a)=cosa ；tan(2k +a)=-tana ；（3）化锐，即将在（0,2 ）的角化为锐角：6 组诱导公式1 sin 2sink，cos

7、 2cosk，tan 2tankk2 sinsin，coscos，tantan3 sinsin，coscos，tantan4 sinsin，coscos，tantan5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师总结优秀知识点口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“ k/2 a”, 做到“两观察、一变” 。一观察： k 是奇数还是偶数；二观察：k /2 a 终边所在象限 ，再由 k/2 a 终边所在象限， 确定 原函数 对应函数值的正负. 一变：正弦变余弦

8、、 余弦变正弦、正切利用商的关系变换. 其中公式（ 1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解3.两角和差公式sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tantantan()1tantan, 4.二倍角公式sin2sincos；2222cos2cossin2cos112sin；22 tantan21tan，二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当= 时的特殊情况倍角是相对的，如0.5 是 0.25 的倍角， 3 是 1.5 的倍角5.升降幂公式2222cos2cossin2cos112sin（升幂缩角） . 221cos21co

9、s2cos,sin22（降幂扩角），6.辅助角公式sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba，- 22i考点二向量的线性运算1. 向量的加法法则（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限（2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”2. 向量的 减法原则：起点相同、指向被减OAOBOCOAOBBA12 (a+b)= 12 OC ,12 (a-b)= 12 BA 两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零3. 向量的数乘运算实数与向量a的积叫做向量的数乘，记作a其几何意义就是将表

10、示向量a 的有向线段伸长或压缩（1）aa（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a4.a 与 b 的数量积运算ab=|a|b|cos=|a|b|cos=x1x2+y1y2（1）|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影（2）ab的几何意义： ab 等于 |a| 与 |b| 在 a 方向上的投影 |b|cos的乘积（3） 为 a 与 b 的夹角， 0（4）零向量与任一向量的数量积为0（5）ab=- ba（6）向量没有除法，“a / b”没有意义 , 注意与复数运算的区别B bO D A a（7）向量的加法、减法、

11、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数易错提醒：向量的数量积与实数运算的区别：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师总结优秀知识点（1）向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c a? (b?c) （2）向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a ?c (a 0)，推不出b=c （3）由|a|=|b| ，推不出a=b 或 a=-b （4） |a?b| |a|?|b| 考点三向量的运算律1. 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )a; (2) 第一分配律： ( + )a=a+a;

12、(3) 第二分配律： (a+b)= a+b. 2. 向量的数量积的运算律：(1) a b= b a（交换律） ; (2) （a） b= （ab）=ab= a （b）; (3) （a+b） c= ac +b c. 考点四向量的坐标表示及坐标运算1. 平面向量基本定理如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b 共线 . 解题思路：可用两个不共线的向量e1、e2表示向量a、b

13、，设 b=a（a0） ，化成关于e1、 e 2的方程，即f() e1+g() e2=0,由于 e1、 e 2不共线，则f()=0，g() =0 2. 向量的坐标表示ijxy，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数， ，使得axiy jxyaaxy，称，为向量的坐标，记作：，即为向量的坐标()表示(1) 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy(2) 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy(3) 设axyxy1111，(4) 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 ab=|a|b|cos=x1x2+

14、y1y2（5）设 A11(,)xy， B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy（6）|ABxxyyAB212212，、两点间距离公式易错提醒：公式（ 2）与公式（ 5）的区别向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关考点四向量的常见公式1. 线段的定比分公式（1）定比分点向量公式：设111(,)P x y，222(,)Pxy，( ,)P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师总结优秀知识点坐标是1212,11xxyy，即1212

15、11xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）. （2）定比分点坐标公式：设，分点，设、是直线 上两点，点在P xyP xyP xyPPP11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段PPP PPPP1212P PPP PPP P12121200所成的比（， 在线段内， 在外），且xxxyyyPP Pxxxyyy12121212121122， 为中点时，如：，ABCA xyB xyC xy112233，则重心的坐标是，ABCGxxxyyy123123332. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别

16、为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.3. A(x1,y1) 、B(x2,y2)、 C(x3,y3) 三点共线OC= OA +OB , 且+=1 (x1-x2)(y2-y3)= (x2-x3) (y1-y2) 等4. 向量的三角形不等式和方程（1） a-b a+b a+b 当且仅当a、 b 反向时，左边取等号；当且仅当a、b 同向时，右边取等号（2） a-b a-b a+b 当且仅

17、当a、 b 同向时，左边取等号；当且仅当a、b 反向时，右边取等号记忆规律：（1）与（ 2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（3） a+b2+ a-b2=2（ a2+ b2） ，该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和（4）ab0 推不出 a 与 b 的夹角为锐角，可能为0；ab0 推不出 a 与 b 的夹角为钝角，可能为180 5. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP . 注: 图形 F 上的任意一点P(x ，y) 在平移后图形F上的对应点为(,)P xy，且PP的坐标为( , )h k. 6. “按向量平移”的几个结论(1) 点( , )

18、P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点(,)P xh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量 a=( , )h k平移后得到图象C, 则C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象C按向量 a=( ,)h k平移后得到图象C, 若C的解析式( )yf x, 则C的函数解析式为()yf xhk. (4) 曲线C:( , )0f x y按向量 a=( , )h k平移后得到图象C, 则C的方程为(,)0fxh yk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师总结优秀知识点(5) 向量 m=(

19、,)x y按向量 a=( ,)h k平移后得到的向量仍然为m=( , )x y. 考点五向量的的四种常见题型设 a=11(,)xy,b=22(,)xy1. 两个向量的平行或共线关系：a/bb=a（a 0）12210 x yx y（交叉相乘差为零） ，若 a=0, 则 a=0，当 b=0，不唯一；当b0， 不存在 . 限定 a0 是保证 的唯一性和存在性不可写为 x1/x2=y1/y22. 两个向量的垂直关系 abab=0|a|b|cos=012120 x xy y（对应相乘和为零）3. 两个向量的夹角公式：121222221122cosx xy yxyxy, 其中 为a与 b 的夹角4. 两个向量的模运算：若,ax y，则222axy或22axy（ab）2=a22ab+b2, （a+b） （a-b ）=a2-b2 解题技巧：1. 如向量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如2wbawba2. 如向量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页