2022年高中数学解题技巧复习教案平面向量 .pdf

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1、名师精编精品教案第二讲平面向量【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主透析高考试题，知命题热点为：1向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积2平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义3两非零向量平行、垂直的充要条件4图形平移、线段的定比分点坐标公式5由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、 立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中

2、的典型问题等6利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 ,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例

3、 1 已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC0，那么（）AOOD2AOOD3AOOD2AOOD命题意图 :本题考查能够结合图形进行向量计算的能力解：22()(,22.OAOBOCOADBODDCODDBDCOAODAOOD) = 0,0,故选 A例 2在ABCD中，,3ABa ADb ANNC，M 为 BC 的中点，则MN_.（用ab、表示）命题意图 : 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A=3()ANNCANCab由得，12AMab，所以 ,3111()()4244MNababab. 例 3如图 1 所示， D 是 ABC 的边 AB 上的

4、中点，则向量CD( ) （A）BABC21（B）BABC21（C）BABC21（ D）BABC21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师精编精品教案命题意图 : 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BABCBDCBCD21，故选 A. 例 4与向量a=7 1,2 2b27,21的夹解相等，且模为1 的向量是( ) (A) 53,54(B) 53,54或53,54（C）31,322（D）31,322或31,322命题意图 : 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为

5、, c由433,1.555cc4或 -时5另一方面 ,当222274134312525,cos,.55271432255a cca cac时当222274134 312525,cos,.5 5271432255a cca cac时故平面向量c与向量a=7 1,2 2b27,21的夹角相等 .故选 B. 例 5设向量a与b的夹角为，且)3 ,3(a，)1 , 1(2ab，则cos_命题意图 : 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题. 解: ,22,3,323,231,1 .bx ybax yxy设由2311,1,2 .2312.xxbyy得2

6、2223 13 23 10cos,.103312a ba bab3 10.10故填例 6.已知向量3,1a，b是不平行于x轴的单位向量，且3a b，则b= （）（ A）21,23（B）23,21（C）433,41（D）0, 1命题意图 : 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师精编精品教案解:设,()bx yxy，则依题意有221,33.xyxy1,23.2xy故选 B. 例 7.设平面向量1a、2a、3a的和1230aaa.如果向

7、量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则（）（A）1230bbb（B）1230bbb（C）1230bbb（D）1230bbb命题意图 : 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念. 常规解法： 1230aaa， 1232220.aaa故把 2ia(i=1,2,3) ， 分别按顺时针旋转30后与ib重合，故1230bbb，应选 D. 巧妙解法：令1a=0，则2a=3a，由题意知2b=3b，从而排除B，C，同理排除A，故选 (D). 点评： 巧妙解法巧在取1a=0，使问题简单化 .本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决. 2.

8、 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强， 所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解. (2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例 8设函数f(x)=a-b, 其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x R,且函数 y=f(x) 的图象经过点2,4，（）求实数m 的值；（）求函数f(x) 的最小值及此时x 的值的集合 . 解：（）( )(1sin

9、 2 )cos2fxa bmxx，由已知1sincos2422fm，得1m（）由（）得( )1sin 2cos212 sin24f xxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师精编精品教案当sin 214x时，( )f x的最小值为12，由sin 214x，得x值的集合为38x xkkZ，例 9 设函数baxf、)(.其中向量2)2(R,),1 ,sin1 (),cos,(fxxbxma且. （）求实数m的值 ; （）求函数)(xf的最小值 . 解： （）( )(1sin)cosfxmxxa b，1sincos

10、2222fm， 得1m（）由（）得( )sincos12 sin14f xxxx，当sin14x时，( )f x的最小值为12例 10已知ABC的面积为3，且满足06AB AC，设AB和AC的夹角为（I）求的取值范围；（II ）求函数2( )2sin3 cos24f的最大解：（）设ABC中角ABC， ，的对边分别为abc， ，则由1sin32bc，0cos6bc，可得0cot1， 4 2，（）2( )2sin3 cos24f1cos23cos22(1sin2 )3cos2sin23 cos212sin213 4 2， 22363，22sin2133即当512时，max( )3f；当4时，min

11、( )2f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师精编精品教案例 11 已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4) 、B(0,0) 、 (c,0) （1）若 c=5，求 sinA 的值；（ 2）若 A 为钝角，求c 的取值范围；解：（ 1）( 3, 4)AB，(3, 4)ACc，若 c=5， 则(2, 4)AC，6161coscos,5 2 55AAC AB， sin A2 55；（2） A 为钝角，则39160,0,cc解得253c， c 的取值范围是25(,)3例 12在ABC中，角ABC， ，的对边分

12、别为tan3 7abcC， ， ，（1）求cosC；（ 2）若52CB CA，且9ab，求c解：（ 1）sintan3 73 7cosCCC，又22sincos1CC解得1cos8Ctan0C，C是锐角1cos8C（2）52CB CA，5cos2abC，20ab又9ab22281aabb2241ab2222cos36cababC6c例 13.设函数fxabc，其中向量sin , cos,sin , 3cosaxxbxx, c o s, s i n,cxxxR. （）求函数xf的最大值和最小正周期；（）将函数xfy的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d. 命

13、题意图 :本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 解： ()由题意得， f(x) a (bc)=(sinx, cosx) (sinxcosx,sinx3cosx) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师精编精品教案sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+2sin(2x+43). 所以， f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22. （）由sin(2x+43)0 得 2x+43k.，即 x832k,kZ，于是d（832k，

14、2），23()4,28kdkZ. 因为 k 为整数，要使d最小，则只有k1，此时d（8， 2）即为所求 . 例 14已知向量a(sin ，1)，b(1，cos)，2 2（）若ab，求 ；（）求ab的最大值命题意图 :本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力. 解：（）若ab，则 sin cos 0，由此得tan 1(2 2)，所以 4；（）由a(sin ，1)，b(1，cos)得ab(sin 1)2(1cos )232(sin cos ) 322sin( 4)，当 sin( 4)1 时， |ab|取得最大值，即当 4时，

15、|ab|最大值为21例 15如图，三定点(2,1),(0,1),( 2,1);ABC三动点 D、 E、M 满足,ADtAB BEtBC,0,1.DMtDE t（I）求动直线DE 斜率的变化范围；（II）求动点M 的轨迹方程。命题意图 :本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识，考查推理和运算能力. 解法一 : 如图 , ()设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知 (xD 2,yD 1)=t( 2, 2). xD= 2t+2yD=2t+1同 理xE=2tyE=2t 1. y x O M D A C 1

16、2 B E 图 3 - 2y1- 11x- 1ACDEB图2O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师精编精品教案kDE = yEyDxExD= 2t1( 2t+1)2t(2t+2)= 12t. t0,1 , kDE 1,1. ( ) =t (x+2t 2,y+2t1)=t( 2t+2t2,2t1+2t 1)=t(2,4t2)=(2t,4t22t). x=2(1 2t)y=(12t)2, y=x24, 即 x2=4y. t0,1, x=2(1 2t)2,2. 即所求轨迹方程为: x2=4y, x 2,2 解法二 :

17、()同上 . () 如图 , =+ = + t = + t( ) = (1t) +t, = + = +t = +t( ) =(1t) +t, = += + t= +t( )=(1t) + t = (1t2) + 2(1t)t+t2 . 设 M 点的坐标为 (x,y),由=(2,1), =(0, 1), =(2,1)得x=(1t2) 2+2(1t)t0+t2(2)=2(1 2t)y=(1t)2 1+2(1t)t(1)+t2 1=(12t)2消去 t 得 x2=4y, t0,1, x 2,2. 故所求轨迹方程为: x2=4y, x 2,2 例 16 已知抛物线x24y 的焦点为F，A、B 是抛物线

18、上的两动点，且AF FB（ 0）过A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明 FM AB为定值；（）设 ABM 的面积为S，写出 Sf( )的表达式，并求S 的最小值命题意图 :本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力. 解： ()由已知条件，得F(0， 1)， 0设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)由 AF FB，即得(x1，1y) (x2 ，y21)，x1x21 y1 (y21) 将式两边平方并把y114x12， y214x22 代入得y1 2y2 解、式得y1 ，y21，且有 x1x2 x22 4y2 4，抛物线方

19、程为y14x2，求导得y12x所以过抛物线上A、 B 两点的切线方程分别是y12x1(xx1) y1，y12x2(xx2)y2，即 y12x1x14x12，y12x2x14x22解出两条切线的交点M 的坐标为 (122xx，122xx)(122xx， 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师精编精品教案所以 FM AB(122xx， 2) (x2x1， y2y1)12(x22x12) 2(14x2214x12)0. 所以 FM AB为定值，其值为0()由()知在 ABM 中， FM AB，因而 S12|AB|FM

20、| |FM| (x1x22)2( 2)214x1214x2212x1x2 4 y1y212(4) 4 12 1因为 |AF|、 |BF|分别等于 A、B 到抛物线准线y 1 的距离，所以|AB| |AF| |BF| y1y22 12( 1)2于是S12|AB|FM| ( 1)3，由 1 2 知 S 4，且当 1 时， S取得最小值4【专题训练】一、选择题1已知xbaxba则且,/),4(),3,2(的值为（）A 6 B6 C38D382已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且,2ACsABrCDDBCD则sr的值是（）A32B34C 3 D0 3把直线02yx按向量)2, 1(a平移后，所

21、得直线与圆54222yxyx相切，则实数的值为（ A ）A39 B13 C 21 D 39 4给出下列命题： ab=0，则a=0 或b=0. 若e为单位向量且a/e，则a=|a|e. aaa=|a|3. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 .其中正确的个数是（）A0 B1 C2 D3 5.在以下关于向量的命题中，不正确的是（）A.若向量 a=(x，y)，向量 b=(y，x)(x 、 y0)，则 ab B.四边形 ABCD 是菱形的充要条件是AB=DC，且 |AB|=|AD| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名

22、师精编精品教案C.点 G 是 ABC 的重心，则GA+GB+CG=0 D. ABC 中，AB和CA的夹角等于180 A 6.若 O 为平行四边形ABCD 的中心，AB= 4e1,BC= 6e2,则 3e22e1 等于（）A.AOB.BOC.COD.DO7.将函数 y=x+2 的图象按a=（6， 2）平移后，得到的新图象的解析式为（）A.y=x+10 B.y=x 6 C.y=x+6 D.y=x 10 8.已知向量m=(a,b)，向量 mn 且 |m|=|n|,则 n 的坐标为A.（ a, b）B.( a,b) C.(b, a) D.( b, a) 9.给出如下命题：命题（1）设 e1、e2是平面

23、内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使 a=xe1+ye2 成立；命题（2）若定义域为R 的函数 f(x) 恒满足f(x)=f(x) ,则 f(x) 或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（）A.命题（ 1）（ 2）均为假命题B.命题（ 1）（ 2）均为真命题C.命题（ 1）为真命题，命题（2）为假命题D.命题（ 1）为假命题，命题（2）为真命题10若 |a+b|=|a-b|，则向量a 与 b 的关系是（）A. a=0或 b=0B.|a|=|b| C. a?b=0 D.以上都不对11 O是 平 面 上 一定 点 ， A 、 B、 C是 平 面 上 不 共 线

24、 的 三 个 点 ， 动 点P 满 足(),0,).|ABACOPOAABAC则 P 的轨迹一定通过ABC 的（）A外心 B内心 C 重心 D 垂心12 若1 ,3, 2a, ,3,0,2b2,2,0c, 则cba= （）A4 B15 C7 D3 二、填空题1已知ABACAB,4| ,3|与AC的夹角为60，则AB与ABAC的夹角余弦为. 2 已知a（ 4,2,x），b (2,1,3),且ab，则 x. 3 向量baba57)3(，baba274，则a和b所夹角是4 已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点 D 满足条件：DB AC, DC AB, A

25、D=BC, 则D 的坐标为. 5设ba,是直线，,是平面，ba,，向量1a在a上，向量1b在b上，0, 4, 3,1 , 1 , 111ba，则,所成二面角中较小的一个的大小为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师精编精品教案三、解答题1.ABC 中，三个内角分别是A、B、C，向量BABACatantan),2cos,2cos25(当91时，求| a. 2.在平行四边形ABCD 中， A（1，1），)0, 6(AB，点 M 是线段AB 的中点，线段CM与 BD 交于点 P. （1）若(3,5),AD求点 C 的坐标

26、；（2）当|ADAB时，求点P 的轨迹 . 3.平面内三个力1F，2F，3F作用于同丄点O 且处于平衡状态，已知1F，2F的大小分别为 1kg，226kg，1F、2F的夹角是 45，求3F的大小及3F与1F夹角的大小 . 4.已知 a，b 都是非零向量，且a+3b 与 7a5b 垂直， a4b 与 7a2b 垂直，求a 与 b 的夹角. 5.设 a=(1+cos,sin), b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a 与 c 的夹角为 1，b 与 c 的夹角为 2,且12=6，求 sin4. 6.已知平面向量a=（3， 1）， b=（21，23） . (1)证明： ab；(

27、2)若存在实数k 和 t，使得 x=a+(t2 3)b,y=ka+tb,且 xy，试求函数关系式k=f(t); (3)根据（ 2）的结论，确定k=f(t) 的单调区间 . 【参考答案】一、选择题1.B 2D 3A4A 5. 答案： C 提示： 若点 G 是 ABC 的重心， 则有GA+GB+GC=0，而 C 的结论是GA+GB+CG=0，显然是不成立的，选C. 6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11 B 12D 二、填空题113132 2 3 604（ 1，1，1）或),(3131315.arccos153精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

28、 - - -第 10 页，共 14 页名师精编精品教案3解：由0573baba, 0274baba, 有baa1672，0830722bbaa, 解得22ba,bab22, bababa,cos214.解：设 D(x, y, z), 则), 1,(zyxBD，,1,zyxCDAD（x-1, y, z ）, AC(-1, 0, 1), AB(-1,1, 0), BC(0, -1, 1) 又 DB AC-x+z=0, DC AB-x+y=0, AD=BC,21222zyx联立解得x=y=z=1 或 x=y=z=.31所以 D 点为（ 1，1，1）或),(313131。三、解答题12cos)2cos

29、25(|222BACa，.423|,89|.coscossinsin9.91coscossinsin,91tantan).coscossinsin99(81)sinsin5coscos5sinsin4coscos49(81)cos(5)cos(49812)cos(12)cos(1452cos2sin452cos2cos45|222222aaBABABABABABABABABABABABABABABABABABACa故即又2.解：（ 1）设点 C 坐标为（),00yx, 又)5 ,9()0, 6()5 , 3(ABADAC,即)5 , 9()1, 1(00yx. 6,1000yx. 即点 C（0

30、，6） . （2）解一：设),(yxP，则) 1,7()0, 6() 1, 1(yxyxABAPBP. ).33, 93()0,6()1(3),1(3(3)21(321321yxyxABAPABAPABMPABMCAMAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师精编精品教案. |ADABABCD 为菱形 . . 0)33 ,93()1,7(,yxyxADAC即0)33)(1()93)(7(yyxx) 1(02221022yyxyx. 故点 P 的轨迹是以（ 5，1）为圆心， 2 为半圆去掉与直线1y的两个交点 .

31、解法二：|ADABD 的轨迹方程为)1(36) 1() 1(22yyx. M 为 AB 中点 , BDP分的比为21. 设).23,143(,) 1 , 7(),(yxDByxP. P的轨迹方程36)33()153(22yx. 整理得)1(4)1()5(22yyx. 故点 P 的轨迹是以（ 5，1）为圆心， 2 为半径的圆去掉与直线1y的两个交点 . 3.设1F与2F的合力为F，则 |F|=|F3|. F1OF2=45 FF1O=135. 在 OF1F 中，由余弦定理135cos|2|1121212FFOFFFOFOF=324. 13|, 31|3FOF即. 又由正弦定理，得21|sin|si

32、n111OFOFFFFOFF. F1OF=30 从而 F1 与 F3 的夹角为150 . 答： F3 的大小是（3+1）kg,F1 与 F3 的夹角为150. 4.解： a+3b 与 7a5b 垂直， a 4b 与 7a2b 垂直，(a+3b) (7a5b)=0，(a4b)(7a2b) =0. 即.0|830|7, 0|1516|72222bbaabbaaF F1 F2 F3 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师精编精品教案两式相减： ab=21|b|2，代入得 |a|2=|b|2. cos=|baba=2

33、1.=60，即 a与 b 的夹角为60. 5.解： a=(2cos22,2sin2cos2) =2cos2(cos2,sin2) 1=2, b=(2sin22,2sin2cos2) =2sin2(sin2,cos2) 2=22,又 12=622+2=62= 3sin2=sin( 6)=216.（1）证明： a=(3, 1),b=(21,23) 321+(1)23=0ab (2)解：由题意知x=(23322t,223332t), y=(21t3k,23t+k) 又 xy 故 xy=23322t(21t3k)+223332t(23t+k)=0 整理得： t23t4k=0 即 k=41t343t 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师精编精品教案(3)解：由（ 2）知： k=f(t)= 41t343t k=f(t)= 43t243令 k 0得 1 t1;令 k 0 得 t 1 或 t1 故 k=f(t) 单调递减区间是（1，1），单调递增区间是（,1） (1,+) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页