《高斯求和》ppt课件.ppt

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1、大家好，你们大家好，你们猜猜这是谁？猜猜这是谁？ 这是德国著名的数这是德国著名的数学家高斯！他非常非学家高斯！他非常非常的厉害，接下来我常的厉害，接下来我们来听听他的故事。们来听听他的故事。1+2+3+4+5+ +96+97+98+99+100 哇唔！这要算好久好哇唔！这要算好久好久啊！小朋友们，你们有久啊！小朋友们，你们有没有什么好方法？没有什么好方法？1+2+3+4+5 +96+97+98+99+100100+99+98+97+96+ +5+4+3+2+1= 101+101+101+101+ +101+101+101+101100100个个101101= 101 100= 101001+2

2、+3+4+5 +96+97+98+99+100= 10100 2= 5050我们来看看高斯是怎么我们来看看高斯是怎么来做的。来做的。【例【例1】认识等差数列】认识等差数列（1）2、4、6、8、10、12、14、16（2）101、98、95、92、89、86、83（3）6、6、6、6、6、6、6、6、6这三个数列都是这三个数列都是等差数列等差数列，相邻两数的差都相等。，相邻两数的差都相等。其中第一个叫其中第一个叫首项首项；最后一项叫最后一项叫末项末项，因为相邻两个数的差相等，所以这个差叫因为相邻两个数的差相等，所以这个差叫公差公差。2101616836公差公差: 2公差公差: 3公差公差: 0数

3、列中数的个数是数列中数的个数是项数项数。（4）1、2、4、7、11、15、21、28（5）1、2、1、2、1、2、1、2、1题组一题组一1. 相邻两数的差都相等的数列叫（相邻两数的差都相等的数列叫（ ），）， 其中第一个叫（其中第一个叫（ ）；最后一个叫（）；最后一个叫（ ）；）；数列中的个数是（数列中的个数是（ ），因为相邻两数的差），因为相邻两数的差都相等，所以叫（都相等，所以叫（ ）。）。 2. 下列数列不是等差数列的是（下列数列不是等差数列的是（ ）。）。 A. 7、8、7、8、7、8、7、8、7 B. 0、5、10、15、20、25、30、35 C. 50、48、46、44、42、4

4、0、38、36、34、32等差数列等差数列首项首项末项末项项数项数公差公差A1+2+3+4+5 +96+97+98+99+100100+99+98+97+96+ +5+4+3+2+1= 101+101+101+101+ +101+101+101+101100100个个101101= 101 100= 101001+2+3+4+5 +96+97+98+99+100= 10100 2= 50501+2+3+4+5 +96+97+98+99+100= （1+100） 100 2= 101 100 2= 101 50= 5050和和 = （首项（首项 + 末项末项 ） 项数项数 2和和 =（首项（首项

5、+末项）末项）项数项数2等差数列的和等差数列的和跟跟首项首项，末项末项和和项数项数有关。有关。【例【例2】求和：】求和：1+2+3+4+ +19+20和和 =（首项（首项+末项）末项）项数项数2= （1+20） 20 2= 21 20 2= 21 10= 210题组二题组二（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= （1+19） 10 2= 20 10 2= 20 5= 100（2）2+4+6+8+10+12+14+16+18= （2+18） 9 2= 20 9 2= 9 10= 90题组二题组二（3）2+9+16+23+30+37+44+51+58= （2+58） 9 2= 6

6、0 9 2= 30 9= 270（4）25+21+17+13+9+5+1= （25+1） 7 2= 26 7 2= 13 7= 91题组二题组二（5）90+85+80+75+70+65+60+55+50+45+40= （90+40） 11 2= 130 11 2= 65 11= 715【例【例3】计算】计算 4+7+10+13+ +28+31+34+37第二项：第二项：4 和和 7之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差第三项：第三项：4 和和10之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差 1323 2第四项：第四项：4 和和 13之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差第五项：第五项：4 和和

7、16之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差 33 343 4末项：末项：4 和和37之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差 （7- 4）（10- 4）（13- 4）（16- 4）（37- 4）3 1111项数相隔数项数相隔数1项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1【例【例3】计算】计算 4+7+10+13+ +28+31+34+37项数（项数（374）（74）1 3331 111 12和（和（374）122 41122 416 246和和 =（首项（首项+末项）末项）项数项数2项数项数 = （末项首项）（末项首项）公差公差1 1题组三题组三（1）10+11+12+13+49+50项

8、数项数 = （5010） （1110）1= 40 11= 401= 41和和 = （10+50） 41 2= 60 41 2= 30 41= 1230项数项数 = （末项首项）（末项首项）公差公差1 1题组三题组三（2）1+3+5+7+9+97+99项数项数 = （991） （31）1= 98 21= 491= 50和和 = （1+99） 50 2= 100 50 2= 100 25= 2500题组三题组三（3）6+10+14+18+94+98项数项数 = （986） （106）1= 92 41= 231= 24和和 = （6 + 98） 24 2= 104 24 2= 104 12= 124

9、8题组三题组三（4）28+25+22+19+4+1项数项数 = （281） （2825）1= 27 31= 91= 10和和 = （28+1） 10 2= 29 10 2= 29 5= 145题组三题组三（5）97+92+87+82+12项数项数 = （9712） （9792）1= 85 51= 171= 18和和 = （12+97） 18 2= 109 18 2= 109 9= 981题组三题组三（6）在）在14和和30之间插进三个数，使这五个数之间插进三个数，使这五个数构成等差数列。这三个数分别是多少？构成等差数列。这三个数分别是多少？（首项末项）（首项末项）（3014） （51）= 16

10、 4= 4144181842222426公差公差 = （项数（项数1）公差公差 =【例【例4】计算】计算 3+7+11+15+ （共（共20项）项）第二项：第二项：3 和和 7之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差第三项：第三项：3 和和11之间有之间有 个间隔，个间隔，相差相差 1= 42= 4 2第四项：第四项：3 和和 15之间有之间有 个间隔，个间隔， 相差相差3= 4 3末项：末项：3 和末项之间有和末项之间有 个间隔，个间隔， 相差相差 7- 312- 315- 3 - 3=4 1919末项首项公差末项首项公差（项数（项数1）末项公差末项公差（项数（项数1 1）首项）首项【例【例

11、4】计算】计算 3+7+11+15+ （共（共20项）项）末项（末项（7-37-3）（20201 1）3 3 4 419193 3 76763 3 7979和和 （3 37979）20202 2 828220202 2 82821010 820820题组四题组四（1）5+10+15+20+（共有（共有11项）项）末项末项 = （105） （111）5= 5 105= 505= 55和和 = （5+55） 11 2= 60 11 2= 30 11= 330末项公差末项公差（项数（项数1 1）首项）首项题组四题组四（2）3+6+9+15+（共有（共有15项）项）末项末项 = （63） （151）3

12、= 5 145= 705= 55和和 = （5+55） 11 2= 60 11 2= 30 11= 330题组四题组四（3）4+7+10+13+（共有（共有13项）项）末项末项 = （74） （131）4= 3 124= 364= 40和和 = （4+40） 13 2= 44 13 2= 22 13= 286题组四题组四（4）11+16+21+26+（共有（共有16项）项）末项末项 = （1611） （161）11= 5 1511= 7511= 86和和 = （11+86） 16 2= 97 16 2= 97 8= 776【例【例5】计算】计算 1456135 37391456135 3739

13、= 1456（135 3739）= （139） 20 2= 40 20 2= 800 2= 400原式原式 = 1456400只要求只要求: 135 3739= 1056项数项数 = （391） （31）1= 38 21= 191= 20项数项数 = （首项末项）（首项末项） 公差公差1（1） 200 1 2 3 4 19= 200 （1234 19）= 200 （119） 19 2= 200 20 19 2= 200 380 2= 200 190= 10项数项数 = （191） （21）1= 18 11= 191= 19项数项数 = （首项末项）（首项末项） 公差公差1题组五题组五（2） 4

14、20383634 4 2= 420（383634 4 2）= 420（382） 19 2= 42040 19 2= 420760 2= 420 380= 40项数项数 = （382） （3836）1= 36 21= 181= 19项数项数 = （首项末项）（首项末项） 公差公差1题组五题组五【例【例6】某电影厅有】某电影厅有25排座位，第一排有排座位，第一排有20个个座位，以后每排都比前一排多座位，以后每排都比前一排多2个座位，这个电个座位，这个电影厅一共有多少个座位？影厅一共有多少个座位？末项公差末项公差（项数（项数1 1）首项）首项20+22+24+26+ （共有（共有2525项）项）末项

15、末项 = 2 （251）20= 2 2420= 4820= 68和和 = （20+68） 25 2= 88 25 2= 44 25= 1100（1）某电影厅有）某电影厅有20排座位，以后每排都比前一排座位，以后每排都比前一排多排多2个座位，最后一排有个座位，最后一排有68个座位，这个电影个座位，这个电影厅一共有多少个座位？厅一共有多少个座位？68+66+64+62+ （共有（共有2020项）项）68 = 2 （201）末项）末项68= 2 19末项末项68= 38末项末项末项末项= 30和和 = （30+68） 20 2= 98 20 2= 98 10= 980（个）（个）题组六题组六首项公差

16、首项公差（项数（项数1 1）末项）末项（2）一堆粗细均匀的原木，最上面的一层有）一堆粗细均匀的原木，最上面的一层有3根，每向下一层增加根，每向下一层增加1根，共有根，共有10层，这堆圆木层，这堆圆木共有多少根？共有多少根？3+4+5+6+（共有（共有1010项）项）末项末项 = 1 （101）3= 1 93= 93= 12和和 = （3+12） 10 2= 15 10 2= 15 5= 75（根）（根）题组六题组六末项公差末项公差（项数（项数1 1）首项）首项1. 208207+206205+204203+ 3+2 1= 208+206+204+2 20720520331= （208+206+

17、2 ）（207+205+3+1）项数项数1 = （2082） （208206）1=206 21= 1031= 104项数项数1 = （2071） （207205）1=206 21= 1031= 104= （208+2 ）1042（207+1） 104 2= 2101042208 104 2= 21052208 52= （ 210 208）52= 252= 1041. 208207+206205+204203+ 3+2 1= （208207）+（206205）+（21）= 1+1+1+1104 个个 1= 1041= 1042.（2+4+6+2008 ）（1+3+5+2007）项数项数1 = （

18、20082） （42）1=2006 21= 10031= 1004项数项数1 = （20071） （31）1=2006 21= 10031= 1004= （2+2008 ）10042（1+2007） 1004 2= 2010100422008 1004 2= 20105022008 502= （ 2010 2008）502= 2502= 10042.（2+4+6+2008 ）（1+3+5+2007）= 2+4+6+20081352007= （21）+（43）+（65）+（20082007）= 1+1+1+1= 10041= 10041004 个个 13.在前在前100个自然数中，除以个自然数中

19、，除以3余余2的所有数相加的所有数相加的和是多少？的和是多少？解析：解析：这列等差数列的和为：这列等差数列的和为：5+8+11+14+98项数项数 =（985）（85）+1=933+1=31+1=32= （5+98）322= 103322= 10316= 16484. 从从1到到60的连续自然数中，取两数相加，使的连续自然数中，取两数相加，使这两数相加的和大于这两数相加的和大于60，有多少种不同的取，有多少种不同的取法？法？解析解析60：1 5959种种59：2 5857种种58：3 5755种种32：29 313种种31： 301种种57：4 5653种种59+57+55+53+3+14.

20、从从1到到60的连续自然数中，取两数相加，使的连续自然数中，取两数相加，使这两数相加的和大于这两数相加的和大于60，有多少种不同的取，有多少种不同的取法？法？59+57+55+53+3+1项数项数 =（591）（5957）+1= 582+1= 29+1= 30和和 =（59+1）302= 60302= 6015= 900（种）（种）5. 在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等边三角形边长是1根火柴棒，根火柴棒，面积是面积是15平方厘米？问平方厘米？问: （1）最大三角形的面积是多少平方厘米？）最大三角形的面积是多少平方厘米？（1 + 3 + 5 + 7 + 9）15= （1 + 9

21、） 5 2 15= 10 5 2 15=50 2 15= 25 15= 375（平方厘米）平方厘米）5. 在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等边三角形边长是1根火柴棒，根火柴棒，面积是面积是15平方厘米？问平方厘米？问: （2 2）整个图形由多少根火柴摆成？）整个图形由多少根火柴摆成？3 + 6 + 9 + 12 + 15= （3 + 15） 5 2= 18 5 2= 9 5= 45（根）（根）5. 在下图中，每个小等边三角形边长是在下图中，每个小等边三角形边长是1根火柴棒，面积是根火柴棒，面积是15平方厘米？问平方厘米？问: （3 3）如果用火柴棒继续摆到）如果用火柴棒继续摆到5050层，共需多少根火柴棒？层，共需多少根火柴棒？3+6+9+12+（共（共50项）项）末项末项= 3+（501） 3= 3+49 3= 3+ 147= 150和和 = （3 + 150） 50 2= 153 50 2= 7650 2= 3825（根）（根）和和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2项数项数=（末项首项）（末项首项）公差公差1 1末项末项=公差公差（项数（项数1 1）首项）首项