南昌大学一维随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、1.)(xXPxF 2. 分布函数的性质分布函数的性质1. 随机变量分布函数的概念随机变量分布函数的概念(1) 0( )1,(,);F xx );(),()()2(2121xxxFxF (单调不减性单调不减性), 0)(lim)()3( xFFx()lim( )1;xFF x ).(),()(lim)4(000 xxFxFxx一、复习2离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n退化分布退化分布3).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pn

2、XXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(. 2泊泊松松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、 4)., 2 , 1 , 0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 5一、概

3、率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第2.3节连续型随机变量 及其概率密度6 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样, 以指定它取每以指定它取每个值概率的方式个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的的方式方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.7性质性质(

4、1),( )0.x f x 对任意的(2)( )d1.f xx证明证明 1()( )d .Ff xx ( ),( ),( )( )d ,( ),.xXF xXf xxF xf ttXf xX设 为随机变量，为的分布函数 若存在非负函数使对于任意实数有则称为连续型随机变量 其中称为的概率密度函数 简称概率密度一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.定义定义81( )d1Sf xx1S211( )dxxSf xx2( ) dxf xx证明证明21( )d .xxf xx)()(1221xFxFxXxP 1( ) dxf xx1x 2x xxf0)(211221( )( )( )xxP

5、xXxF xF xf x dx) 3(9)(aFaXP ( )d ,af xx1aXPaXP ( ) d( ) daf xxf xx)(1aF ( )d( )daf xxf xx( )d .af xx同时得以下计算公式同时得以下计算公式 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:10 (4) 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)( ),( )( ).f xxF xf x也即若在点处连续 则有连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续11注意注意 对于任意可能值对于任意可能

6、值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP 0lim()( )0.xF axF a 由此可得由此可得0lim( )daxaxf xx 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP 12. 0 aXP设设X为为连续型随机变量连续型随机变量 ，X=a 是不可能是不可能事件事件,则有则有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定a

7、X 例例1： 设设X 的概率密度的概率密度 1, 01,)(3xxxaxf(1);(2)( );(3)(02).aF xPX求求求解：解：, 1)()1( dxxf由由213adxxa 即即, 1 . 2 a得得下求分布函数下求分布函数F(x)本题的分布函数是不是分段函数呢本题的分布函数是不是分段函数呢?如果是如果是,应该分几段应该分几段?（2）利用）利用),(,)()( xdttfxFx xdttfxFx)()(1时，时，当当00 xdt xdttfxFx)()(1时，时，当当xdttdt13120211x 注意积分限注意积分限的变化的变化所以所以 1, 01,11)(2xxxxF20(3)

8、02( )PXf x dx 2132dxx43 或或02020PXPXP X43 )0()2(FF 所以所以F(,)是分段是分段函数函数,共两段共两段16,03,( )2,34,20,.(1);(2);7(3)1.2Xkxxxf xxkXPX设随机变量具有概率密度其它确定常数求的分布函数求解解(1)( )d1,f xx由题题17的概率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2( ,03,6( )2,34,20,.xxxf xx其它, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得18 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxF

9、xx( )( )dxF xf xx由得19 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 20.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例221),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, )(lim)(xFaFax ,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAa

10、rcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 22.1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解之得解之得23)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 ( )( )f xF x的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa(1)1021( )0121112xxXexF xxex随机变量的分布函数为( 12)PX (1)求（2)2)求求X X 的密度函数的密度函数25二、常见连续型随机变量的分布1,( )0,( , ),( , ).Xaxbf xbaXa bXU

11、a b定义设连续型随机变量具有概率密度其它则称在区间区间上服从均匀分布记为1. 均匀分布均匀分布( )f xaob概率密度概率密度函数图形函数图形26由上式求得由上式求得X的分布函数的分布函数:若若XUa, b, c, c+l a, b, 有有: b , 1 , , 0)(xbxaabaxaxxFdxxflcc )(dxablcc 1abl P(cXc +l )27, ),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即即 X 落在落在(a,b)内任何长为内任何长为 l 的小区间的的小区间的概率与小区间的位置无关概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正只与其长度成正比比.(均匀性均匀性)

12、均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：比如比如: 在数值计算中，由于四舍五在数值计算中，由于四舍五 入入,小数点小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等乘客的候车时间等.28.0244,)5 , 0(2有实根的概率有实根的概率求方程求方程上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设 kkxxk解解,12有有实实根根时时或或即即 kk,0)2(16162时时当当 kk则有实根的概率为则有实根的概率为.53d5152 x例例3 例例4 4 某公共汽车站从上午某公共

13、汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟发一趟车，分钟发一趟车，已知某乘客在已知某乘客在7：00 到到 7：30 任一时刻到达车站，求任一时刻到达车站，求他候车时间少于他候车时间少于5分钟的概率分钟的概率.解解: 由题意，乘客到达车站的时间由题意，乘客到达车站的时间XU(0, 30)， , 0300 301)(其其它它，xxfP候车时间少于候车时间少于5分钟分钟30251510 XPXP3130130130251510 dxdx30题题 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观

14、测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为1, 25,( )30,.xf x其它设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的次数的次数”,解解即即 A= X 3 .312 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则2(3,)3YB 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x32,0,( )0,0.0,.xXexf xxX定义设连续型随机变量的概率密度为其中为常数 则称服从参数为 的指数分布2. 指数分布指数分布33应用与背景应用与背景分布函数分布

15、函数 . 0, 0, 0,1)(xxexFx v 指数分布有着重要应用，如动植物的寿命、无线指数分布有着重要应用，如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述都可用指数分布来描述. .例例5 5 设某种灯泡的使用寿命为设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为其概率密度为 求求 (1)此种灯泡使用寿命超过此种灯泡使用寿命超过100小时的概率小时的概率. (2)任取任取5只产品只产品, 求有求有2只寿命大于只寿命大于100小时的概率小时的概率. 0 , 00 , 1001)(100 xxexfx答：答：(1) e-1

16、 (2)312125)1()( eeC35例例6 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. .,)(000120001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解361000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002

17、000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP371000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性” 元件在使用元件在使用t时间后无损坏时间后无损坏,用指数分布来计算用指数分布来计算,其寿其寿命与新的时候相同命与新的时候相同.指数分布的这指数分布的这一性质在可靠性一性质在可靠性理论以及排队论中有着很好的应用。理论以及排队论中有着很好的应用。38XE( ),s,t0P Xs+tXtP Xs+t XtP XtXs+tXtXtP Xs+t1-P Xs+tP Xs+t

18、XtP Xt1-P Xtses- (s+t)- t设，由于，。因此ee39题题 顾客在某银行窗口等待服务的时间顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为服从参数为1/5的指数分布，的指数分布，X的计时单位为分钟。若等待时间超过的计时单位为分钟。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以次，以Y表表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数。求示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数。求Y的的分布律及至少有一次没有等到服务的概率分布律及至少有一次没有等到服务的概率。X 解有题意不难看出 (5,p),而其中p=PX10, 现 的概率密度函数

19、为51,0,( )50,0.xexf xx2551105ttedtee +10因此 p=PX10=其中其中 , ( 0) 为常数为常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 , 的的正正态分布态分布，记为，记为 . xexfx , 21)(222)( ),(2 NX显然，显然，f(x)0，且可以证明且可以证明参数参数 的意义将在后面的章节中给出的意义将在后面的章节中给出1)(dxxf,正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为: xtdtexF222)(21)( 若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为显然，显然，f(x)0, 且且1)( dxxf正态分布的正态分布的 f(x)及及F(x)的图

20、形的图形: 图图10 xf(x)图图2F(x)0 xu 正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数f( (x) )的性质的性质(1) 曲线关于直线曲线关于直线 x= 对称对称 .hXPXhP (2) 当当 x= 时，时，f(x)取得最大值取得最大值;(3) 在在 x= 处处曲线有拐点，且以曲线有拐点，且以x轴为渐近线轴为渐近线 ;Of(x)x 21(4) 对固定的对固定的 ,改变改变 的值的值,图形沿图形沿x轴平移轴平移;(5) 对固定的对固定的 ,改变改变 , 越小越小,图形越尖图形越尖,X落在落在 附附 近的概率越大近的概率越大. 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的

21、一种分布,例如测例如测量误差量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;高考高考的考试成绩；高度经济学中的股票价格、产品的的考试成绩；高度经济学中的股票价格、产品的销量电子元器件的信号噪声、电压、电流；销量电子元器件的信号噪声、电压、电流； 等等，等等，都服从或近似服从正态分布都服从或近似服从正态分布.一般来说，一个随机一般来说，一个随机变量如果是大量相互独立的偶然因素之和，而每变量如果是大量相互独立的偶然因素之和，而每个因素的个别影响在总的影响中所起的作用都很个因素的个别影响在总的影响中所起的作用都很微小，那么这个随机变量就会微小，那么这个随机变量就会服从或近似

22、服从正服从或近似服从正态分布。态分布。正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 2221)(xex dtexxt 2221)( 当当 =0, =1时时, ,称称X服从服从, ,记作记作XN(0,1). .其概率密度与分布函数分别用其概率密度与分布函数分别用 (x), , (x). .即即)(xxO)(x21xO- (1) (x)是偶函数，即是偶函数，即 ( x)= (x); 21(2) 当当x=0时，时， (x) 取得最大值取得最大值 ; (3) ( x)=1 (x); 设设 , ,则则),(2 NX) 1 , 0( NXZ (4) 若若XN( , 2)()( xxF2 1221xxxXxP

23、1若若XN( , 2), 则则证明证明: : 的分布函数为的分布函数为 XZxXPxXPxZP )(2122xduexu 由此知由此知)1 , 0( NXZ dt e 21 x-2)(-22 tut 例例6 6 已知已知 , 求求) 1 , 0( NX5 . 1 XP例例7 7 设设XN(1.5，4)，求，求 P1X3.5，PX -4.解解5 . 1 XP5 . 15 . 1 XP)5 . 1()5 . 1( )5 . 1(1)5 . 1( 1)5 . 1(2 8664. 019332. 02 P1X3.5解解25 . 15 . 325 . 125 . 11 XP)25 . 11()25 .

24、15 . 3( )25. 0()1( )25. 0(1)1( 5987. 018413. 0 44. 0 48题题 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解解20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XP49 例例8 8 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以以下来设计的下来设计的. .问门高度应如何确定问门高度应如何确定? ? 解解 设车门高度为设车门高度为 h cm, , 按设计要求应有按设计要求应有 P( (Xh) )0.01或或 P( (

25、X 0. 99 ，,33. 26170 h h=170+13.98 184 . 设计车门高度为设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若若 XN( ( , 2 ) )时，时，要求满足要求满足 P( (X x0) )= p 的的 x0 ： P( (X x0) )= p px1)(0 0 x反查正态分布表反查正态分布表 0 x正态分布的实际应用正态分布的实际应用2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录

26、分，问此人能否被录取？取？ 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩n 分析分析 首先求出首先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取解解 成绩成绩X服从服从 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 录取率为录取率为 1550.2947526可得可得 909011 0.02280.9772P X 60600.1588P X 601 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0解解 查表得查表

27、得 601.0902.0. 解得解得 70 , 10故故 270,10XN设录取的最低分为设录取的最低分为 x则应有则应有 0.2947P Xx1 0.29470.7053P Xx 700.705310 x75.4x 700.5410 x某人某人78分，可分，可被录取。被录取。53类似计算可得，类似计算可得，= 0. 9974 )3()3( 例例9设设 XN( ( , 2 ) )， 解解 求求 P(|(|X- - | | k ) ) k=1,2,3 . . P(|(|X- - | | 3 ) ) = P( ( - - 3 X + + 3 ) ) 这表明这表明 X 的取值几乎全部集中在区间的取值

28、几乎全部集中在区间 - - 3 , + +3 内内， 这在统计学上称作这在统计学上称作 3 准则准则( (三倍三倍标准差原则标准差原则) ). .)3()3( ，6826. 0)| ( XP，9554. 0)2| ( XP超出这个范围的可能性不到超出这个范围的可能性不到 0. 3 % % ， 从而可以忽略不计从而可以忽略不计. 为应用方便，下面引入标准正态分布为应用方便，下面引入标准正态分布分位数分位数的概念：的概念： 3 3例如例如 设设XN(0, 1) , 若若 z 满足条件满足条件, 01P Xz 0.05z0.005z0.95z=1.645=2.57= -1.645o xz ( ) x 则称点则称点 z 为标准正态分布的为标准正态分布的上上 分位点分位点 (如图如图).1zz z ()1z 查表查表(1.645)0.95