刚体力学基础讲解ppt课件.ppt

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1、P.1/34第3章 刚体力学基础什么因素影响物体转动的状态？什么因素影响物体转动的状态？如何运动？如何运动？如何旋转？如何旋转？轮为什么不倒下？轮为什么不倒下？与物体本身结构有关与物体本身结构有关与物体所处状态有关与物体所处状态有关P.2/34第3章 刚体力学基础3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述3.1.1 刚体刚体(rigid body) ： 任意两点间的距离始终任意两点间的距离始终保持不变保持不变.质点质点质点系质点系刚体刚体集合集合特例特例 组成刚体的每个质点称组成刚体的每个质点称为刚体的一个为刚体的一个(element mass).每个质量元都每个质量元都服从质点力学规律服从质点力学

2、规律.刚体刚体在外力作用下不在外力作用下不产生形变的物体产生形变的物体. 可视为无数个连续分布可视为无数个连续分布的质点组成的质点系的质点组成的质点系.理想模型理想模型3.1.2.刚体自由度刚体自由度 确定物体的位置所需要的确定物体的位置所需要的独立坐标数独立坐标数. 物体的自由度数物体的自由度数第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础P.3/34第3章 刚体力学基础xyzO( x , y , z )i = 3i = 2 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自由度减少自由度减少xyzOi = 3+2+1= 6sOi = 13.1.2.刚体自由度刚体自由度 确定物体的位置所需要的确定物体的位置所需

3、要的独立坐标数独立坐标数. 物体的自由度数物体的自由度数3.1.3 刚体运动的几种形式刚体运动的几种形式转动转动(特例特例:定轴转动定轴转动)平动平动 平动转动平动转动刚体刚体的运动的运动P.4/34第3章 刚体力学基础 1. 平动平动(translation) 刚体在刚体在运动过程中，其上任意两点的运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行连线始终保持平行.ABABA B 2.定轴转动定轴转动( fixed-axis rotation) 刚体上所有质点都绕同一直线刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动作圆周运动.这种运动称为刚体这种运动称为刚体的转动的转动.这条直线称为这条直线称为转轴转轴.自

4、由自由度为度为1定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转轴固定不动的转动转动.3.1.3 刚体运动的几种形式刚体运动的几种形式转动转动(特例特例:定轴转动定轴转动)平动平动 平动转动平动转动刚体刚体的运动的运动3.平面平行运动平面平行运动(plane-parallel motion) 刚体在运动过程中，其上每刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行一点都在与某固定平面相平行的平面内运动的平面内运动.自由度为自由度为3.P.5/34第3章 刚体力学基础4.定点转动定点转动(rotation around a fixed point) 当刚体上某一点当刚体上某一点固定时，刚体只能绕该点转固定

5、时，刚体只能绕该点转动动.自由度为自由度为3.5.一般运动一般运动刚体的一般运动刚体的一般运动可以看成是随刚体上某一点可以看成是随刚体上某一点（如质心）的移动和绕该点（如质心）的移动和绕该点的转动的组合的转动的组合自由度为自由度为6.3.平面平行运动平面平行运动(plane-parallel motion) 刚体在运动过程中，其上刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动平行的平面内运动.自由度自由度为为3.用角量描述定轴转动用角量描述定轴转动转动平面：转动平面：定轴转动刚体上定轴转动刚体上各质点的运动面各质点的运动面.转动平面转动平面定轴定轴P.6

6、/34第3章 刚体力学基础刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：(1) 转动平面垂直于转轴转动平面垂直于转轴.1. 基本物理量基本物理量角坐标角坐标:单位：弧度（单位：弧度（rad）角位移：角位移： ， d角速度的大小：角速度的大小：tdd单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）角速度角速度 的方向：的方向：右旋前进方向右旋前进方向转动平面：转动平面：定轴转动刚体上定轴转动刚体上各质点的运动面各质点的运动面转动平面转动平面的方向均沿轴线的方向均沿轴线.(3) 定轴转动刚体上各点的角速定轴转动刚体上各点的角速度矢量度矢量(2) 转动平面上各点均做圆周运转动平面上各点均做圆周运动，角量相同，线

7、量不同动，角量相同，线量不同.)(tPOAvP.7/34第3章 刚体力学基础线速度与角速度之间的关系：线速度与角速度之间的关系：rv角加速度矢量：角加速度矢量：t dd)srad(22秒秒单位：弧度单位：弧度1. 基本物理量基本物理量角坐标角坐标:单位：弧度（单位：弧度（rad）角位移：角位移： ， d角速度的大小：角速度的大小：tdd单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）角速度角速度 的方向：的方向：右旋前进方向右旋前进方向)(tPOAvtaddvdtddtdrrn2erer加速度：加速度：2. 定轴转动中的基本关系式定轴转动中的基本关系式ttdd),(,dddd22tt22n,rrar

8、av 、 是矢量，在定轴是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，转动中由于轴的方位不变，故用正、负表示其方向故用正、负表示其方向.P.8/34第3章 刚体力学基础FrM单位：单位：NmFroz/FFdzM 在垂直于转轴的平面内，外在垂直于转轴的平面内，外力力 与力线到转轴的距离与力线到转轴的距离d 的的乘积定义为对转轴的乘积定义为对转轴的力矩力矩.FFrM大小大小:sinFrM 方向方向:右手螺旋右手螺旋3.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 角动量守恒定律角动量守恒定律3.2.1 力矩力矩(moment)力矩的方向由右螺旋法则确定力矩的方向由右螺旋法则确定3.2.2 定轴转动定律定轴转动定律

9、 转动惯量转动惯量 1. 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 P.9/34第3章 刚体力学基础3.2.2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 把刚体看作一个特殊质点系把刚体看作一个特殊质点系1. 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 tLMzzdd对于参考点对于参考点O（定点）（定点）质元质元mi 的角动量为的角动量为iiiimRLv,iiRviiiimRLvLi 在在 z 轴上的分量为轴上的分量为ziLOxyiriRivimtLMdd对刚体对刚体令令2iirmJ转动惯量转动惯量)2(cosmRLiiiizv2iiiiirmmrv)(2iiizzrmLLP.10/34第3

10、章 刚体力学基础故故,JLztJtLMzzd)d(ddLi 在在 z 轴上的分量为轴上的分量为转动惯量转动惯量)2(cosmRLiiiizv2iiiiirmmrv)(2iiizzrmLL令令2iirmJJMz 刚体定轴转动的刚体定轴转动的角加速度角加速度与它所受到的与它所受到的合外力矩合外力矩成正比，成正比，与刚体的与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律(law of rotation)：M 的符号：的符号：使刚体向规定的使刚体向规定的 正方向转动的力矩为正正方向转动的力矩为正(3) 为瞬时关系为瞬时关系(1) 与与 方向相同方向相同 M说明说明(2) 、JM对

11、同一轴对同一轴 (4) (4) 转动中转动中 与与 平动中平动中 地位相同地位相同maF JM P.11/34第3章 刚体力学基础转动惯量转动惯量(moment of inertia)(1) 定义定义iiimrJ22mkg单位单位: 刚体对定轴的刚体对定轴的转动惯量转动惯量等等于其各质点的于其各质点的质量质量与该质点到与该质点到转轴距离转轴距离的平方之积求和的平方之积求和.(2) 物理意义物理意义 描述物体转动惯性的大小描述物体转动惯性的大小.（分立）2iirm（连续）mr d2 J(3) 计算计算质量有关质量有关质量分布有关质量分布有关转轴位置有关转轴位置有关(4)转动惯量与转动惯量与讨论讨

12、论JM（1）tJJMdd（2）（3） =常量常量M，0JMz刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：P.12/34第3章 刚体力学基础2.转动惯量的计算转动惯量的计算（2）若质量连续分布）若质量连续分布mrJd2线分布面分布体分布lSVmdddd质量有关质量有关质量分布有关质量分布有关转轴位置有关转轴位置有关(4)转动惯量与转动惯量与转动惯量转动惯量iiimrJ2（1）质点系）质点系iiimrJ2由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量.llllAmm2m3m4m5222232)2)(54()2(32mllmmlmmlJ解：解：由定义式由定义式iiimrJ2思考：

13、思考：A点移至质量为点移至质量为2m的杆中心处的杆中心处 J=?P.13/34第3章 刚体力学基础(2) 轴过一端端点轴过一端端点LoxmdxmxmrJdd22xLmxLd022331031mLLxLm 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量.解：解：(1) 轴过中点轴过中点2L2Lox在杆上任取在杆上任取dmmdxmxmrJdd2222223231dLLLLxLmxLmx2331218831mLLLLmP.14/34第3章 刚体力学基础 求质量求质量 m ,半径半径 R 的圆的圆环对中心垂直轴的转动惯量环对中心垂直轴的转动惯量.: 圆环上取圆

14、环上取 微元微元dm2022ddmRmRmrJm思考思考1. 环上加一质量为环上加一质量为m1 的质点的质点, J1 =? RO思考思考2. 环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口， J2=?RO xdmm1 求质量求质量 m , 半径半径 R 的均的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量量.: 圆盘上取半径为圆盘上取半径为r宽度宽度dr的的圆环作为质量元圆环作为质量元dmROrdrOmrJmRJdd22环SmddrrRmd22rrRmrJd222rrRmRd2032221mR x2121 RmmRJ2222xRRmmRJP.15/34第3章 刚体力学基础对同轴的转动惯量才对

15、同轴的转动惯量才 具有可加减性具有可加减性. 平行轴定理平行轴定理: 若刚体对过质心若刚体对过质心的轴的转动惯量为的轴的转动惯量为Jc，则刚体，则刚体对与该轴相距为对与该轴相距为d 的平行轴的平行轴z的的转动惯量转动惯量Jz是是mJzJc2mdJJcz2221mRmRJz223mR正交轴定理正交轴定理 对平面刚体对平面刚体ozyxyxzJJJ 求质量求质量 m , 半径半径 R 的均的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量量.: 圆盘上取半径为圆盘上取半径为r宽度宽度dr的的圆环作为质量元圆环作为质量元dmROrdrOmrJmRJdd22环SmddrrRmd22rrRmrJd

16、222rrRmRd2032221mRP.16/34第3章 刚体力学基础几种常见刚体转动惯量几种常见刚体转动惯量 圆环转轴通过圆环转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直r2mrJ 圆环转轴沿直径圆环转轴沿直径r221mrJ 几何形状不规则的刚体的转几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定动惯量，由实验测定.r2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴)(212221rrmJ 薄圆盘转轴通薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直过中心与盘面垂直221mrJ rP.17/34第3章 刚体力学基础lr 圆柱体转圆柱体转轴沿几何轴轴沿几何轴221mrJ lr 圆柱体转轴通过圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直中心与几何轴垂直

17、12422mlmrJl 细棒转轴通细棒转轴通过中心与棒垂直过中心与棒垂直122mlJ l 细棒转轴通过细棒转轴通过端点与棒垂直端点与棒垂直32mlJ 2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径522mrJ 2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径322mrJ P.18/34第3章 刚体力学基础 质量为M =16kg的实心滑轮，半径为R =0.15m.一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求： (1) 由静止开始1秒钟后，物体下降的距离. (2) 绳子的张力.解解对轮、物受力分析如图对轮、物受力分析如图2sm5881082Mmmgam5 . 215212122ath

18、N4051621TMmmgTMgNRaMRJTR221由转动定律由转动定律maTmg由牛顿定律由牛顿定律拓展拓展mMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1MgN3. 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用JRTRTamgmTamTgm12111222RaMRJ221拓展：拓展：P.19/34第3章 刚体力学基础JRTRTamgmTamTgm12111222RaMRJ221m2MT1T2m2gRm1m1gN1N2MgJRTRTamTamTgm1211222RaMRJ221mMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1MgN拓展拓展mm1m2R1T1T2m1gM2 gM1R2M2JRTRTa

19、mgmTamTgm22112222111122112222112121RaRaRMRMJP.20/34第3章 刚体力学基础 一质量为一质量为m，长为，长为l 的均质的均质细杆，可绕垂直于水平面、穿过细杆，可绕垂直于水平面、穿过O点的转轴转动，转轴距点的转轴转动，转轴距A 端端l/3.今使今使棒从静止开始由水平位置绕棒从静止开始由水平位置绕 O点转点转动，求：动，求：(1) 水平位置的角速度和角水平位置的角速度和角加速度加速度.(2) 垂直位置时的角速度和垂直位置时的角速度和角加速度角加速度.222916121mllmmlJO(1)00lgmlmglJMO23962OBA解：解：已知已知2121

20、mlJcc2mdJJco由平行轴定理由平行轴定理由转动定律由转动定律(2)垂直时，力矩为零垂直时，力矩为零.故故0设棒在任意时刻位置如图设棒在任意时刻位置如图 mgtJMdd由转动定律由转动定律tmllmgdd91cos62dd912mldcos23dlgdcos23d200lglg3P.21/34第3章 刚体力学基础 一半径为一半径为R、质量为、质量为m的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上均匀圆盘平放在粗糙的水平面上.若它的初速度为若它的初速度为 0，绕中心，绕中心O旋旋转，问经过多长时间圆盘才停转，问经过多长时间圆盘才停止止.(设摩擦系数为设摩擦系数为 )ORdrr解：解：考察半径为考察半径为

21、r宽度为宽度为dr的圆环的圆环rmgrFMddd22d2d2dRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022摩擦力矩为摩擦力矩为: 由转动定律由转动定律tJMddtmRmgRdd21322d43dgRt000d43dgRttgRt430P.22/34第3章 刚体力学基础刚体对刚体对z轴的总角动量为轴的总角动量为JLzzzLJtMd)d(d-角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式.ttztM0d称为称为冲量矩冲量矩又称又称角冲量角冲量11221221dJJLLtMttz 刚体的角动量定理：刚体的角动量定理：刚体在刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲时间内所受合外

22、力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量矩等于该段时间内刚体角动量的增量量的增量.3.2.3 刚体定轴转动的角动量和角动量定理刚体定轴转动的角动量和角动量定理tJtLMzzd)d(dd3.2.4 定轴转动刚体角动量守恒定律定轴转动刚体角动量守恒定律 角动量守恒定律：角动量守恒定律：刚体所刚体所受合外力矩为零，则刚体的受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变角动量保持不变.1122JJP.23/34第3章 刚体力学基础3.2.4 定轴转动刚体角动量守恒定律定轴转动刚体角动量守恒定律 角动量守恒定律：角动量守恒定律：刚体所刚体所受合外力矩为零，则刚体的受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变角动量保持不变

23、.1122JJ 对有几个物体或质点构成的对有几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守物体系对该转轴的总角动量守恒恒.下面看几个角动量守恒实例下面看几个角动量守恒实例P.24/34第3章 刚体力学基础猫尾巴的功能猫尾巴的功能 猫掉下，四脚朝天，脊猫掉下，四脚朝天，脊背朝地背朝地会摔死会摔死.注意：注意：猫狠狠地甩了一下尾巴，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击缓解了冲击.中国跳水运动员郭晶

24、晶中国跳水运动员郭晶晶P.25/34第3章 刚体力学基础. 一半径为一半径为R、质量为、质量为 M 的的转台，可绕通过其中心的竖直轴转转台，可绕通过其中心的竖直轴转动动, 质量为质量为m 的人站在转台边缘，最的人站在转台边缘，最初人和转台都静止初人和转台都静止.若人沿转台边缘若人沿转台边缘跑一周跑一周(不计阻力不计阻力)，相对于地面，人，相对于地面，人和台各转了多少角度？和台各转了多少角度？R轴对转盘轴对转盘的摩擦力的摩擦力矩可忽略矩可忽略选地面为参考系，设对转轴选地面为参考系，设对转轴人：人：J , ; 台：台：J , 系统对转轴角动量守恒系统对转轴角动量守恒0JJ其中其中2221MRJmR

25、JMm2得得人对转台的角速度为：人对转台的角速度为：MmM2 人沿转台边人沿转台边缘跑一周缘跑一周 2dt2d2ddttMmMt人相对地面转过的角度人相对地面转过的角度:MmMt22d台相对地面转过的角度台相对地面转过的角度:Mmmt2)2(2dP.26/34第3章 刚体力学基础1. 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能(1) 质元动能质元动能2222121iiiirmm v(2) 刚体的总动能：刚体的总动能：2222k2121iiiirmrmE2k21JE 3-3 刚体的能量刚体的能量 mizirivm 是物体平动惯性的量度是物体平动惯性的量度J 是物体转动惯性的量度是物体转动惯性的量度 转

26、动动能是刚体上所有质转动动能是刚体上所有质点元的动能之和点元的动能之和.3.3.1 刚体定轴转动的动能和动能定理刚体定轴转动的动能和动能定理2.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理dddJMW21222121dd21JJJWW 合外力矩对一个绕固合外力矩对一个绕固定轴定轴转动的刚体所做的功等于它转动的刚体所做的功等于它对对该轴该轴的转动动能的增量的转动动能的增量.ddddddddJtJtJMP.27/34第3章 刚体力学基础3.3.2 刚体的重力势能刚体的重力势能1. 刚体的重力势能刚体的重力势能所有质元的重力势能之和所有质元的重力势能之和iigzmEPmzmmgiicmgz刚体的重力

27、势能应等于刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能质量集中于质心的重力势能2. 刚体的机械能刚体的机械能cmghJE2212.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理dddJMW21222121dd21JJJWW 合外力矩对一个绕固合外力矩对一个绕固定轴定轴转动的刚体所做的功等于它转动的刚体所做的功等于它对对该轴该轴的转动动能的增量的转动动能的增量.ddddddddJtJtJMP.28/34第3章 刚体力学基础 一质量为一质量为M、半径、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为质量为m的物体的物体.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体设细绳不伸长且与

28、滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度由静止下落高度h时其速度为多大？时其速度为多大？mMm解：解：受力分析如图所示受力分析如图所示2022121JJTR2022121vvmmThmgh RhRv2, 0, 0200RMJ v解得解得mMmgh22vmgT对圆盘：由动能定理对圆盘：由动能定理对物体：由动能定理对物体：由动能定理MgNP.29/34第3章 刚体力学基础 如图，已知滑轮的质量如图，已知滑轮的质量为为m0, 半径为半径为R.斜面的倾角为斜面的倾角为 ,斜面斜面上物体的质量为上物体的质量为m, 物体与斜面间光物体与斜面间光滑；弹簧的劲度系数为滑；弹簧的劲度系数为k.现将物体现将物体从静

29、止释放，释放时弹簧无形变从静止释放，释放时弹簧无形变.设设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩，求物体沿斜忽略轴间摩擦阻力矩，求物体沿斜面下滑面下滑 x 时的速度时的速度.选取选取 m、m0、k 和地球为系统和地球为系统0mRmOkx0pEm 设设 m 未释放时为初态，此时未释放时为初态，此时重力势能为零重力势能为零. 重力和弹性力均为系统保守内重力和弹性力均为系统保守内力，其它外力和非保守内力均力，其它外力和非保守内力均不做功，系统机械能守恒不做功，系统机械能守恒.设滑轮的重力势能为设滑轮的重力势能为PE初态能量：初态能量：) 1 (0P0p0k

30、EEE终态能量：终态能量：202pk2121JmEEv)2(sin21P2Emgxkx根据机械能守恒定律：根据机械能守恒定律： 式式(1)=(2)又已知又已知2021,RmJRMv解得解得02221sin4mmkxmgxvP.30/34第3章 刚体力学基础 质量为质量为M、长为、长为2l的均的均质细棒，在竖直平面内可绕中心质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动轴转动.开始棒处于水平位置，开始棒处于水平位置，一质量为一质量为m的小球以速度的小球以速度u垂直垂直落到棒的一端上落到棒的一端上.设碰撞为弹性设碰撞为弹性碰撞，求碰后小球的回跳速度以碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度及棒的角速度.Oul

31、mJmulv由系统角动量守恒由系统角动量守恒机械能守恒定律机械能守恒定律222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6解得解得解法二解法二y取向上为取向上为y正方向正方向设碰撞时间为设碰撞时间为 t由动量定理：由动量定理：)( mumtFv角动量原理：角动量原理：0JtlF消去消去 tlmJmulv由机械能守恒定律由机械能守恒定律222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6解得解得P.31/34第3章 刚体力学基础解：解：角动量守恒角动量守恒2231maMlamv机械能守恒机械能守恒2223121 maMl22323261maMlmaMlgmav 一长

32、为一长为l、质量为、质量为M的杆可绕支的杆可绕支点点O自由转动自由转动.一质量为一质量为m、速度为、速度为v 的子的子弹射入距支点为弹射入距支点为a的棒内的棒内.若棒偏转角为若棒偏转角为 30o , 问子弹的初速度是多少？问子弹的初速度是多少？ Ovao3030cos1mga30cos12lMg解得解得P.32/34第3章 刚体力学基础avmlMmva231oav3030v30cos12312122lMglMoav303030cos1230cos13121222lMgmgamalM2231cosmalMmvaP.33/34第3章 刚体力学基础3-4 陀螺的运动陀螺的运动 进动进动 进动进动(p

33、recession)：高速自转的高速自转的物体其自身对称轴绕竖直轴做回物体其自身对称轴绕竖直轴做回旋运动旋运动.陀螺陀螺(top)运动运动P.34/34第3章 刚体力学基础设陀螺质量为设陀螺质量为m，以角速度，以角速度 自转自转重力对固定点重力对固定点O的力矩：的力矩：gmrMsinmgrM 方向沿方向沿c点切向点切向绕自身轴转动的角动量：绕自身轴转动的角动量：rJL角动量定理的微分式：角动量定理的微分式：tMLdd陀螺陀螺(top)运动分析：运动分析：LOcr mgMdsindsindJLLtmgrtMLdsinddJmgrtdd进动角速度进动角速度d 结论：结论：进动现象是进动现象是自旋自旋(spin)的物体的物体在外力距作用下，沿外力矩方向不断在外力距作用下，沿外力矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果改变其自旋角动量方向的结果. LOLdLLdd