2022年高考专题复习数列模板题 .pdf

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1、数列专题复习模板题一、填空题1、在等差数列 an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=. 2、在等差数列 an中，已知S30=20，S90=80，那么S60= . 3、设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和. 若a1+a3+a5=3，则 S5=. 4、已知 an是等差数列，若2a7-a5-3=0，则a9的值为. 5、在等差数列 an中，a1=1，d=2，Sn+2-Sn=24，则 n= . 6、) 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn. 若Sk-1=8，Sk=0，Sk+1=-10，则正整数 k= . 7、设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若a2=-9，a3+a7=-

2、6，则当 Sn取最小值时， n= . 8、在等差数列 an中，若an+an+2=4n+6(nN*) ，则该数列的通项公式an= . 9、设an 是公差不为零的等差数列，a1=2，且a1，a3，a6成等比数列，则a2 017= . 10、设等比数列 an 的公比为 q(0q0，+2an=4Sn+3.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页(1) 求数列 an 的通项公式； (2)设 bn=，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 29、设数列 an的前 n 项和为 Sn，nN*. 已知a1=1，a2=，a3=，且当 n2 时，

3、4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1) 求a4的值； (2)求证：数列为等比数列； (3)求数列 an的通项公式 . 30、已知数列 an 是首项为正数的等差数列，数列的前 n 项和为. (1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设bn=(an+1) ，求数列 bn 的前 n项和Tn.31、 已知数列 an 和 bn 满足a1=2，b1=1，an+1=2an(nN*) ，b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nN*). (1) 求数列 an ， bn的通项公式； (2)记数列 anbn的前 n 项和为Tn，求Tn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

4、- - - - - -第 4 页，共 21 页32、在等差数列 an 中，已知a2=4，a4+a7=15. (1) 求数列 an 的通项公式； (2)设bn=+n，求b1+b2+b3+b10的值. 33、已知数列 an 的前n项和Sn=，nN*. (1) 求数列 an 的通项公式； (2)设bn=+(-1)nan，求数列 bn的前 2n 项和. 34、已知数列 an ， bn 满足a1=，an+bn=1，bn+1=.(1) 求b1，b2，b3，b4； (2)求数列 bn 的通项公式；(3) 设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1，求当4aSn1. (1) 求证：数列 an是等比数列

5、；(2) 若 p=，数列bn 满足bn=log2(a1a2an)(n=1，2，2k) ，求数列bn的通项公式 . 36、已知数列 an 是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8.(1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设 Sn为数列 an的前 n 项和，bn=求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 37、已知等差数列 an满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列 . (1) 求数列 an 的通项公式 . (2) 记 Sn为数列 an的前 n 项和，问：是否存在正整数n，使得Sn60n+800?若存在，求出 n 的最小值；若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - -

6、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页38、已知各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn，且4Sn=+2an+1，nN*，求数列 an 的通项公式 . 39、已知数列 an 满足2a1+22a2+23a3+2nan=4n-1，求数列 an的通项公式 . 40、已知数列 an 满足a1+2a2+nan=4-(nN)*. (1) 求a3的值； (2)求数列 an 前 n 项和Tn. 2+111(1)2023n(21)(21)nnnnnnnaaaaaaaann?41. 各项均为正数的数列满足：，且（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。精选学习资

7、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页22()0-2n2nnnnnnnaaaannaaa42. 各项均为正数的数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。参考答案一、填空题1、10【解析】因为数列 an 是等差数列，所以 a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25，即a5=5，所以 a2+a8=2a5=10.2、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页【解析】设 S60=x，则 20，x-20，80

8、-x 成等差数列，所以 20+(80-x)=2(x-20) ，解得x=. 3、5【解析】因为 an 为等差数列，所以 a1+a3+a5=3a3=3，所以 a3=1，于是 S5=5a3=5.4、3 【解析】方法一：设公差为d，则 2( a1+6d)-( a1+4d)-3=0 ，即 a1+8d=3，所以 a9=3. 方法二：由等差数列的性质得a5+a9=2a7，所以( a5+a9)- a5-3=0，即 a9=3. 5、5 【解析】因为 a1=1，d=2，所以 Sn=n2，Sn+2- Sn=(n+2)2- n2=24，解得 n=5. 6、9 【解析】由等差数列的性质得为等差数列，所以，(k，0) ，

9、三点共线，从而有=，解得 k=9. 7、6【解析】因为 a3+a7=2a5=-6，所以 a5=-3，所以 d=2，an=-9+2(n-2) =2n-13，所以 a6=-1，a7=1，所以 S6最小.8、2n+1 【解析】方法一：在等差数列中，an+an+2=4n+6，所以 an+1=2n+3，从而 an=2n+1. 方法二：令 n=1，可得 a1+a3=10，令 n=2，可得 a2+a4=14，从而 d=2，a1=3，所以 an=2n+1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页9、. 1 010【解析】设等差数列 a

10、n 的公差为 d，d0. 由题意得=a1a6，即(2+2d)2=2(2+5d) ，解得 d=，所以 a2 017=2+2 016=1 010.10、【解析】因为 a1=4a3a4，所以 4a1q5=1，所以 a6=. 又因为 a6与a4的等差中项为 a5，所以 a6+a4=2a5，即 1+=，化简得 4q2- 8q+3=0，解得 q=或 q=( 舍去) ，所以S6=.11、3+2【解析】依题意可得 2=a1+2a2， 即 a3=a1+2a2， 则有 a1q2=a1+2a1q， 可得 q2=1+2q， 解得 q=1+或 q=1-(舍去) ，所以=q2=3+2. 12、【解析】设等比数列公比为q，

11、则由 a5+2a10=0，得 q5=-，所以=1+q10=1+=. 13、3【解析】由 a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减得 a6-a5=2a5，得 a6=3a5，所以公比 q=3 14、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页【解析】设等比数列 an 的公比为 q，由 a7=a6+2a5，得 q2-q-2=0，所以 q=2(舍去-1). 由=4a1，平方得 aman=16，即 a12m-1a12n-1=16，化简得 m +n=6，+=(m +n)=，当且仅当 n=4，m =2时取等号 . 15、50【解析】

12、由题意得2a10a11=2e5a10a11=e5，所以 ln a1+ln a2+ln a20=ln( a1a2 a20)=ln( a10a11)10=10ln e5=50.16、23n-1【解析】当 n=1时，a1=S1=31-1=2；当 n2 时，an=Sn- Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2 3n-1，将 n=1代入上式可得 a1=231-1=2.综上可得 an=23n-1. 17、an=【解析】由an=n+an-1可变形为an-an-1=n(n2，nN*)， 由此可写出以下各式：an-an-1=n，an-1-an-2=n-1，an-2- an-3=n-2， a2- a1=2，

13、将以上等式两边分别相加，得an- a1=n+(n-1)+( n-2)+ +2，所以an=n+(n-1)+( n-2)+ +2+1=. 18、【解析】当 n2 时，an=a1=1=，当 n=1 时也成立，故 an=. 19、-【解析】因为 a1=0，an+1=(nN*) ，所以 a2=-，a3=，a4=0，所以an 的周期为 3，所以 a20=a2=-.20、9【解析】因为 an=-，所以 S99=(-) +(-)+(-) =10-1=9.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页21、-【解析】因为 a11，易知对所有的

14、 n，an1，对 an+1- 1=an( an-1) 两边取倒数得=-，所以=-，所以+=-=2，整理得a2 017=. 由 a2 0171，得 1a10.由已知得消去d，整理得 q4-2q2- 8=0. 又因为 q0，解得 q=2，所以 d=2.所以数列 an 的通项公式为 an=2n-1，nN*；数列 bn 的通项公式为 bn=2n- 1，nN*.(2) 由(1) 知 cn=(2n-1)2n- 1，设 cn的前 n 项和为 Sn，则 Sn=120+321+522+(2n- 3)2n-2+(2n-1) 2n-1，2Sn=121+322+523+(2n- 3)2n-1+(2n-1)2n.上述两

15、式相减，得 -Sn=1+22+23+2n-(2 n-1)2n=2n+1- 3- (2n-1) 2n=-(2 n-3)2n-3，所以 Sn=(2n- 3)2n+3，nN*.27、(1) 设等差数列 an 的公差为 d，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页则由题意得解得所以 an=1+2(n- 1)=2n- 1.因为 bn是以 b1=3 为首项、公比为 3 的等比数列，所以bn=3n.(2) 由(1) 得 cn=(2n- 1)+3n，则 Sn=1+3+5+(2n-1)+(3+32+33+3n) =+=n2+.28、(1

16、) 当 n=1时，+2a1=4S1+3=4a1+3，因为 an0，所以 a1=3. 当 n2 时，+2an-2 an-1=4Sn+3-4Sn-1-3=4an，即( an+an-1)( an- an-1)=2( an+an-1) ，因为 an0，所以 an- an-1=2，所以数列 an 是首项为 3、公差为 2 的等差数列，所以 an=2n+1. (2) 由(1) 知，bn=，所以数列 bn 的前 n 项和为 b1+b2+bn=+=-. 29、. (1) 当 n=2 时，4S4+5S2=8S3+S1，即 4+5=8+1，解得 a4=.(2) 因为 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2

17、) ， 所以 4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n2) ， 即 4an+2+an=4an+1( n2)，因为 4a3+a1=4+1=6=4a2，所以 4an+2+an=4an+1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页因为=，所以数列是以a2-a1=1 为首项、为公比的等比数列。(3) 由(2) 知， 数列是以 a2-a1=1 为首项、为公比的等比数列，所以 an+1-an=.即-=4， 所以数列是以=2 为首项、 4 为公差的等差数列，所以=2+( n-1)4=4n-2，即an=(4n-2

18、)=(2n-1)，所以数列 an的通项公式为an=(2n-1).30、(1) 设数列 an的公差为 d. 令 n=1，得=，所以 a1a2=3. 令 n=2，得+=，所以 a2a3=15. 解得 a1=1，d=2，所以 an=2n-1. (2) 由(1) 知 bn=2n22n-1=n4n，所以 Tn=141+242+n4n，所以 4Tn=142+243+n4n+1，两式相减，得 -3 Tn=41+42+4n- n4n+1=-n4n+1=4n+1-，故 Tn=4n+1+=. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页31、

19、(1) 由 a1=2，an+1=2an，得 an=2n. 当 n=1时，b1=b2-1，故 b2=2. 当 n2 时，bn=bn+1- bn，整理得=，所以 bn=n. (2) 由(1) 知，anbn=n2n，所以 Tn=2+222+323+n2n，2Tn=22+223+324+(n-1) 2n+n2n+1，所以 Tn-2 Tn=-Tn=2+22+23+2n- n2n+1=(1- n)2n+1-2，所以 Tn=(n-1)2n+1+2. 【精要点评】 本题主要考查等差数列、 等比数列的通项公式以及数列的求和. 根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点，由此得到数列的通项公式；利用错位相减法计算

20、新组合的数列的求和问题 . 32、(1) 设等差数列 an的公差为 d. 由已知得解得所以 an=a1+(n-1) d=n+2. (2) 由(1) 可得 bn=2n+n，所以 b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10) =(2+22+23+210)+(1+2+3+10) =+=(211-2)+55 =211+53=2 101. 33、(1) 当 n2 时，an=Sn-Sn-1=n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页当 n=1时，a1=S1=1，符合上式 . 所以数列 an

21、的通项公式为 an=n. (2) 由(1) 得 bn=2n+(-1)nn，记数列 bn 的前 2n 项和为 T2n，则T2n=(21+22+22n)+-1+2-3+4-(2n-1)+2n=22n+1-2+n. 【精要点评】本题中bn是由一个摆动数列、一个等比数列相加而成，适用于分组求和，当一个数列是由两个不同类型的数列相加而成时，我们将它们分组、分别求和. 34、(1) 由题设得 bn+1=，因为 a1=，b1=，所以 b2=，b3=，b4=. (2) 因为bn+1-1=-1，所以=-1+，所以数列是以-4 为首项、 -1 为公差的等差数列 . 所以=-4-( n-1)=- n-3 ，所以 b

22、n=1-=. (3)an=1-bn=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页所以 Sn=a1a2+a2a3+anan+1=+=-=，所以 4aSn-bn=-=. 当(a-1) n2+3(a-2) n-80 恒成立即可满足题意，设 f (n)=( a-1) n2+3(a-2) n-8. 当 a=1时，f (n)=-3 n-81时，由二次函数的性质知不可能恒成立；当 a1时，对称轴方程为 -=-0. 因为 f ( n) 在1 ，+) 上为单调减函数，f (1)=( a-1)+(3 a-6)-8=4 a-150，所以 a，

23、所以 a1 时，4aSnbn恒成立 . 综上，实数 a 的取值范围为 a| a1. 35、(1) 因为 an+1=( p-1)Sn+2(n=1，2， 2k- 1)，所以 an=( p-1)Sn- 1+2 ( n=2，3， 2k) ，则当 n=2，3， 2k- 1 时，两式相减，得 an+1-an=(p- 1)( Sn-Sn-1) ，即 an+1-an=( p-1)an.所以 an+1=pan( n=2，3， 2k- 1).原式中，令 n=1，得 a2=( p-1)a1+2=2(p- 1)+2=2p=pa1.所以 an+1=pan，即=p0(n=1，2， 2k- 1).所以数列 an 是等比数列

24、 .(2) 由(1) 得 an=a1pn- 1.所以 bn=log2(a1a2an) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页=log2(a1a1pa1p2a1pn- 1) =log2() =log2( a1)=1+log2p=1+=1+.36、(1) 由题设知 a1a4=a2a3=8，联立 a1+a4=9，解得或( 舍去). 由 a4=a1q3，得公比 q=2，所以 an=a1qn-1=2n-1. (2) Sn=2n-1 ，又 bn=-，所以Tn=b1+b2+bn=+（-）=-=1-. 37、(1) 设数列 an 的

25、公差为 d，依题意得 2，2+d，2+4d 成等比数列，所以(2+d)2=2(2+4d) ，解得 d=0或 d=4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页当 d=0时，an=2；当 d=4时，an=2+(n-1) 4=4n-2，所以数列 an 的通项公式为 an=2或 an=4n-2. (2) 当 an=2 时，Sn=2n，显然 2n60n+800. 当 an=4n-2 时，Sn=2n2，令 2n260n+800，即 n2-30n-4000，解得 n40或 n60n+800成立， n 的最小值为 41. 综上所述，

26、当 an=2时，不存在满足题意的正整数n；当 an=4n-2 时，存在正整数 n，使得 Sn60n+800成立， n的最小值为 41. 【精要点评】等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点，通常会与解不等式及求最值等知识点综合考查 . 38、当 n=1时，a1=1. 因为 4Sn=+2an+1，所以 4Sn+1=+2an+1+1，两式相减得 4an+1=-+2an+1-2an，即(an+1+an)( an+1-an-2)=0. 因为数列 an 的各项都是正数，所以 an+1- an=2，所以 an为首项为 1、公差为 2 的等差数列，故 an=2n-1. 39、由题意得 2a1+22a2+

27、23a3+an-1+2nan=4n-1，当 n2 时，2a1+22a2+23a3+2n-1an-1=4n-1-1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页-，得 2nan=4n- 4n-1，所以an=2n.当 n=1 时，2a1=3，a1=，符合上式，故an=2n.40、(1) 由题意得 3a3=(a1+2a2+3a3)-( a1+2a2)=4-=，所以 a3=. (2) 由题设得当 n1 时，nan=(a1+2a2+nan)- a1+2a2+(n-1) an-1=4-=，所以 an=，又 a1=4-=1也适合此式，所以an=. 所以数列 an 是首项为 1、公比为的等比数列，故 Tn=2-. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页