解三角教师版.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date解三角教师版解三角教师版正弦定理【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、

2、B、C所对的边分别为、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要点二、正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导证明：， ， ，即：， 斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当为锐角三角形时过作单位向量垂直于，则+= 两边同乘以单位向量，得(+)=，即， ，同理：若过作垂直于得： ，（2）当为钝角三角形时设，过作单位向量垂直于向量，同样可证得：法二：圆转化法（1）当为锐角三角形时如图，圆O是的外接圆，直径为

3、，则，（为的外接圆半径）同理：，故：（2）当为钝角三角形时如图，.法三：面积法任意斜中，如图作，则同理：，故，两边同除以即得：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意边，求其他两边和另一角；已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。要点三、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.有了关于解三角形的有

4、关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.要点四、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等

5、？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：例1已知在中，求和B.【答案】【解析】， ， ，又，【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举

6、一反三：【变式1】（2015 广东高考）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则b=_.【答案】，又，故，所以 由正弦定理得，所以b=1。【变式2】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.例2在，求和， 【解析】由正弦定理得：，（方法一）， 或，当时，（舍去）；当时，（方法二）， ， 即为锐角， ，【总结升华】1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式1】在中， ，求和【答案】， ， 或当时，；当时，；所以，或【变

7、式2】在中, , 求和；【答案】 ， ， 或当时，；当时，（舍去）。【变式3】在中，, , 求.【答案】由正弦定理，得., ，即 类型二：正弦定理的综合运用例3.（2015 湖南高考文）设的内角的对边分别为。（I）证明：；(II)若，且为钝角，求。【答案】（I）略；(II) 【思路点拨】（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所以 ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得，可得，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【解析】（I）由及正弦定理，得，所以。 （II）因为 有（）知，因此，又为钝角，所以，故，由知，从而，综上所述，【总结升华】本题主要考查正弦定理、三

8、角恒等变换等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。举一反三：【变式】在ABC中，已知a5，B105，C15，则此三角形的最大边的长为_【答案】在ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A180(BC)180(10515)60.据正弦定理b.类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例4.在中，若试判断的形状.【解析】由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，或，所以为等腰三角形或直角三角形。【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式】在ABC中，

9、试判断三角形的形状.【答案】利用正弦定理将边转化为角.又 0A，B，AB 即故此三角形是等腰三角形.【巩固练习】一、选择题：1在ABC中，已知a5，c10，A30，则B()A105B60C15 D105或152在ABC中，a，b，A30，则c等于()A2 B.C2或 D以上都不对3以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A在ABC中，abcsin Asin Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，则abC在ABC中，若sin Asin B，则AB；若AB，则sin Asin B都成立D在ABC中，4若，则ABC是()A等边三角形B直角三角形，且有一个角是30C等腰直角三角形D等腰

10、三角形，且有一个角是305判断下列说法，其中正确的是()Aa7，b14，A30有两解Ba30，b25，A150只有一解Ca6，b9，A45有两解Db9，c10，B60无解二、填空题：6.（2015 北京高考文）在中，则 7(2015 福建高考文)若中，则_8. (2014 湖北高考文)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，a1，b，则B9.在中，已知，则的形状是 .三、解答题10、在中，已知,，解此三角形。11.在ABC中，已知，B=45.求A、C及c.12在中，若，求.13. 在中，求B及C.14在ABC中，a4，A45，B60，求边b的值15在ABC中，若，试判断三角形

11、的形状【答案与解析】1. 答案D解析：由正弦定理，得sin C.ac，AC，C45或C135.B180(AC)，B105或15.故选D.2. 答案：C解析：由于sin B，故B60或120.当B60时，C90时，c30.c2；当B120时，C30，ca.3. 答案：B解析：由正弦定理知A、C、D正确，而sin 2Asin 2B，可得AB或2A2B，ab或a2b2c2，故B错误4. 答案：C解析：在ABC中，由正弦定理：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入得：，1.tan Btan C1，BC45.ABC是等腰直角三角形5. 答案：B 解析：A中，由正弦定理得sin B1，

12、所以B90，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sin B1，所以B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sin C1，因为bc，B60，且0C1，BA，ABC为直角三角形余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法； 2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题； 3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，

13、两边之差小于第三边，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：余弦定理的推导已知：中，及角，求角的对应边.证明：方法一：向量法（1）锐角中（如图）， ，即： (*)同理可得：,要点诠释：（1）推导（*）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是.（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。（3）对于直角三角形中时，, ，也满足余弦定理。方法二：解析几何方法利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直

14、角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。如图所示建立坐标系.则点，由、两点间的距离可知，即整理得到.余弦定理的变形公式：要点三、利用余弦定理解三角形1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； 已知三角形的三条边，求其三个角。要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.2.解斜三角形的基本问题：已知条件解法解的情况一边和两角（例如a,B,C)1利用A+B+C=180，求A2应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角（例如a,b,C）1应用余弦定理求边c2应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3利用

15、A+B+C=180，求第三个角.唯一解三边（例如a,b,c)法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2用A+B+C=180，求第三个角法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用A+B+C=180，求第三个角唯一解两边及其中一边的对角（例如a,b,A)此类问题首先要讨论解的情况1应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三个角3、应用正弦或余弦定理求第三边两解、一解或无解要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种

16、方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。要点三、利用正、余弦定理判断三角形的形状余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.【典型例题】类型一：余弦定理的简单

17、应用：例1已知中，、，求中的最大角。【思路点拨】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.【解析】三边中最大，其所对角最大，根据余弦定理：， ， 故中的最大角是.【总结升华】 1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】(2015 广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，且bc，则b=（ ）A B2 C D3【答案】由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，所以，即b26b+8=0，解得：b=2或b=4，因为bc，所以b=2。故选：B【变式2】在中，角所对的三边长分别为

18、，若，求的各角的大小【答案】设，根据余弦定理得：，；同理可得；【变式3】在中，若，则角等于（ ）.A. B. C. D. 或【答案】， ， 类型二：余弦定理的综合应用例2（2015 陕西高考）的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求；(II)若求的面积.【答案】(I) ；(II) .【思路点拨】（I）先利用可得，再利用正弦定理可得tan A的值，进而可得A的值；（II）由余弦定理可得c的值，进而利用三角形的面积公式可得ABC的面积.【解析】(I)因为，所以由正弦定理，得，又，从而，由于所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，得，即因为，所以，故面积为.解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故

19、 ，所以面积为.【总结升华】本题考查平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等基础知识。举一反三：【变式1】在中，已知, , .求和.【答案】由余弦定理得：， 由正弦定理得：，因为为钝角，则为锐角， . .【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，求角和【答案】根据余弦定理可得： ， ；由正弦定理得：.类型三：判断三角形的形状例3在ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状【思路点拨】本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.【解析】由正弦定理及余弦定理，得，所以整理得，因为所以，因此ABC为等腰三角形【总结升华】已知三角形中的边角

20、关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式1】在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状是_【答案】等腰三角形解析：由题设和正、余弦定理得2，化简得a2b20，即ab.【变式2】 三角形ABC中满足下列条件 ；试判断三角形的形状。【答案】利用余弦定理得，化简得，所以三角形为等腰三角形【巩固练习】一、选择题1在ABC中，已知A30，且3a12，则c的值为()A4B8C4或8 D无解2在ABC中，已知a3，b4，c，则角C为()A90 B60C45 D30

21、3在不等边三角形中，a是最大的边，若a2b2c2，则角A的取值范围是()A. B. C. D. 4已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b()A2 B42C42 D. 5.在ABC中，若则ABC中最大角的度数为（ ）A120o B90oC600 D.150o6在ABC中，若a2b2c20，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D都有可能二、填空题7（2015 重庆文）设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=_.8(2015 北京)在ABC中，a=4，b=5，c=6，则 9在中，若，则的大小是_.三、解答题10在中，若，求.11. 在中，A=120

22、O ,AB=5,BC=7,求AC12. 在中，已知AB=2,BC=5, 的面积等于4，若，求cos13. 在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos A.若a4，bc6，且bc，求b、c的值14.在ABC中，已知sin C，试判断三角形的形状15. (2015 新课标文) 已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC.（）若a=b，求cosB；（）若B=90，且 求ABC的面积.【答案与解析】1. 答案：C 解析：由3ab12，得a4，b4，利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，即1648c212c，解得c4或c8.2. 答案：B解析：

23、根据余弦定理：,C60.3. 答案：B解析：根据余弦定理：，A为锐角在不等边三角形中，a是最大边，A是最大角，ABC为锐角三角形，Aab,故C最大，cosC=A=120 o6. 答案：C解析：由余弦定理，得ca，所以BCA，所以B=75，C=60；若cab，所以CAB，所以B=15，C=120.类型二：正、余弦定理的综合应用例3已知ABC中，a=6，b=8，c=9，试判断此三角形的形状。【思路点拨】已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号。【解析】因为abc，所以ABC，又所以三角形是锐角三角形.【总结升华】余弦定理用于

24、判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；举一反三：【变式】判断下列三角形的形状：(1)a=6，b=8，c=10；(2) a=6，b=8，c=11【答案】(1)因为a2+b2=62+82=100=102=c2，所以三角形为直角三角形.(2)因为abc，所以ABC，又，所以三角形是钝角三角形.例4已知ABC 中，试判断ABC的形状.【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系；也可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.【解析】方法一：用余弦定理化角为边的关系由得，整理得，即， 当时，为等腰三角形； 当即时，则

25、为直角三角形； 综上：为等腰或直角三角形。方法二：用正弦定理化边为角的关系由正弦定理得：即，即 或，即或故为等腰三角形或直角三角形。【总结升华】（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断。（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角。（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可。一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是

26、边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。（5），不要丢解。举一反三：【变式1】根据下列条件，试判断ABC的形状.（1）bcosA=acosB；（2）a=2bcosC【答案】（1）解法一：正弦定理由bcosA=acosB得2RsinBcosA=2RsinAcosB，即sin(B-A)=0，于是B=A，ABC为等腰三角形.解法二：余弦定理由bcosA=acosB得，即a2=b2，所以a=b，ABC为等腰三角形.（2）解法一：正弦定理由a=2bcosC得2RsinA=4RsinBcosC，有sin(B+C)=2sinBcosC，得出sin(B-C)=0，即B=C，ABC为等腰三角形；解法

27、二：余弦定理由a=2bcosC得，得b2=c2，即b=c，ABC等腰三角形.【变式2】在ABC中，根据下列条件决定三角形形状.(1)；(2).【答案】 (1)由，则该三角形为直角三角形；(2),，由正弦定理得：,中，, ,即，或,即：或，是等腰三角形或直角三角形.例5锐角 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边。(1) 若求的大小(2) 取最大值时，求的大小【思路点拨】在（1）中，将所给边的关系式化简变形后，根据结构形式可判断出应该用余弦定理。【解析】（1）， ， 故由余弦定理得A是锐角三角形的内角，所以（2）=当且仅当时取等号【总结升华】对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或

28、余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题举一反三：【变式1】(2014 河南)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为答案：解析：ABC中， a2，且(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC，利用正弦定理可得 4b2(cb)c，即 b2+c2bc4再利用基本不等式可得 42bcbcbc，bc4，当且仅当bc2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA，故答案为：【变式2】在中，三内角满足的方程有两个相等的根。（1） 求证：

29、角B不大于（2）当角B取最大值时，判断的形状【答案】（1）由韦达定理得即，由正弦定理，有2b=a+c由余弦定理得（2）当角B取最大值时，且a=c，易知为正三角形【巩固练习】一、选择题1中，若，则 （ ）A、3 B、 C、4 D、2中，若，则有（ ）A. B. C. D.、大小不能确定3在ABC中，若a7，b3，c8，则ABC的面积等于()A12B. C28 D 4边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A B C D 5（2014 新课标）钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC（）A 5BC2D1二、填空题6. 在中,已知,则的度数为 .7. 在中,已知，(其中为外接圆的半径),则

30、。8(2014 福建)在ABC中，A60，AC4，BC，则ABC的面积等于9. (2014 广东)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosCccosB2b，则10. 中三边分别为a,b,c,且那么角C= 11锐角ABC的面积为，BC4，CA3，则AB_.12在ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A为_三、解答题13(2015 江苏)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.（1）求BC的长；（2）求sin2C的值.14. 在ABC中，若，请判断三角形的形状.15. 已知的三角内角、有2B=A+C，三边、满足.求证：.【答案与解析】1. 答案：D

31、解析：，由余弦定理有，.2. 答案：C 解析：，由正弦定理有，即，整理得即， 3答案：D.解析：由余弦定理可得cos A，A60，SABCbcsin A.故选D.4. 答案：B解析： 设中间角为，则为所求5. 答案：B解析：钝角三角形ABC的面积是，ABc1，BCa，SacsinB，即sinB，当B为钝角时，cosB，利用余弦定理得：AC2AB2BC22ABBCcosB1225，即AC，当B为锐角时，cosB，利用余弦定理得：AC2AB2BC22ABBCcosB1221，即AC1，此时AB2AC2BC2，即ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC故选：B6.解析：，7.解析：，8. 答案：解析：ABC中，A60，AC4，BC，由正弦定理得：，解得sinB1，B90，C30，ABC的面积故答案为：9. 答案：2解析：将bcosCc