整理的19个高中数学研究性学习教案.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date整理的19个高中数学研究性学习教案1用二分法求方程的近似解函数模型在现实生活中的应用 1抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；2建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还

2、原为实际问题的解.这些步骤用框图表示是：实际问题函数模型抽象概括实际问题的解函数模型的解还原说明运用函数的性质典型例题例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH的面积为S，则SAEH=SCFG=x2,SBEF=SDGH=（a-x）（b-x），S=ab-22+（a-x）（b-x）=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由图形知函数的定义域为x|0xb.又0ba,0b,若b,即a3b时，则当x=时，S有最大值;若b,即a3b时，S

3、（x）在（0,b上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2,综上可知，当a3b时，x=时，四边形面积Smax=,当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解：设每个提价为x元（x0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x0,即x10,则

4、y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0x10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭

5、到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=34=12,s=412=24.（2）当0t10时，s=t3t=t2，当10t20时，s=1030+30（t-10）=30t-150；当20t35时，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.综上可知s=(3)t0，10时，smax=102=150650.t（10，20时，smax=3020-150=450650.当t（20，35时，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40,20t35,t=30，所以沙尘暴发生3

6、0 h后将侵袭到N城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0x5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当x5时，产品能售出x百台；当x5时，只能售出5百台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）= (2)当0x5时，L（x）=4.75x-0.5，当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元.当

7、x5时，L（x）=12-0.25x为减函数，此时L（x）10.75(万元）.生产475台时利润最大.（3）由得x4.75-=0.1(百台）或x48(百台).产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x）1.8=

8、14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x4且5x4,y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x4,y=81.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x0，时,yf（）26.4;当x（，时，yf（）26.4;当x（,+）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=41.8+3.53=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=41.8+0.53=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日

9、”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为x

10、，n年前的人口数为y，则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg（1+x）=0.007 525，1+x1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y12.48（1+1%）10，得lgylg12.48+10lg1.01=1.139 2,y13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿. 小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2建立函

11、数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.研究方程的近似解法二分法教学目的：（1）通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成函数观点处理问题的意识；（2）通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想；教学重

12、点：用”二分法”求方程的近似解教学难点：”二分法”求方程的近似解的思想和步骤 教学过程：新课教学（一）用二分法求方程的近似解1用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.一般地,我们把 称为区间(a,b)的中点. 2二分法概念对于在区间a,b上连续不断、且f(a)*f(b)0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法思考: 为什么由|a-b| ,便可判断零点的的似值为a(或b)?区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5

13、-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.009(2.53125,2.2625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.0013、用二分法求方程的近似解的步骤、确定区间a,b，验证f(a)*f(b)0，给定精确度、求区间(a,b)的中点x1、计算f(x1);若f(x1)=0,则x1就是函数的零点若f(x1)0,则令a= x1(此时零点x0(x1,b)、判断

14、是否达到精确度，即若|a-b| ,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复24（二）典型例题例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）解：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表与图象（如下):x01234567f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.33(1,1.5)1.25-0.87(1.25,1.5)1.375-0.28(1.375,1.5)1.43750.02(1.375,1.4375)由于 |1.375-1.437

15、5|=0.06250.1 此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。巩固练习：（教材P106练习1）归纳小结，强化思想二分法是求方程近似解的一种常用方法，它是利用方程的根与对应的函数零点的关系，将求解方程转化为求解函数的零点的近似解。来自现实生活的各种进位制教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律.教学重点：各种进位制之间的互化.教学难点：除k取余法的理解

16、以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计.教学过程：知识探究(一):进位制的概念 思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k进一”就是k进制，其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的数？ 思考2:十进制使用09十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？ 思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：anan-1a

17、1a0(k).其中各个数位上的数字an，an-1，a1，a0的取值范围如何？思考4:十进制数4528表示的数可以写成4103+5102+2101+8100，依此类比，二进制数110011(2),八进制数7342(8)分别可以写成什么式子？110011(2)=125+124+023+022+121+1207342(8)=783+382+481+280.思考5:一般地，如何将k进制数anan-1a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？知识探究(二):k进制化十进制的算法 思考1:二进制数110011(2)化为十

18、进制数是什么数？110011(2)=125+124+023+022+121+120 =32+16+2+1=51. 思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十进制数是什么数？例1 将下列各进制数化为十进制数.(1)10303(4) ； (2)1234(5).10303(4)=144+342+340=307.1234(5)=153+252+351+450=194. 知识探究(三):除k取余法思考1:二进制数101101(2)化为十进制数是什么数？十进制数89化为二进制数是什么数？思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？ 思考3:上述方法也

19、可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法，那么十进制数191化为五进制数是什么数？191=1231(5)例2 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.458=13022(4)=2042(6)例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数. 30241(5)=354+252+45+1=1946. 30241(5)=5450(7) 例4 已知10b1(2)=a02(3),求数字a，b的值.10b1(2)=123+b2+1=2b+9.a02(3)=a32+2=9a+2.所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 故a=1，b=1. 小结作业1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制

20、数化为k进制数，并且操作简单、实用.2.通过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的k进制数.作业：习案、学案 十研究中国古代劳动人民发明的计算方法和现代计算机技术的联系（一）辗转相除法与更相减损术一、三维目标（a）知识与技能1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。（b）过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步

21、掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。（c）情态与价值观1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。二、教学重难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公

22、约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。（二）研探新知1.辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。解：8251610512146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。6105214621813 21461813133318133335148 3331482371483740则37为8251与6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的

23、方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r00，则n为m，n的最大公约数；若r00，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r10，则r1为m，n的最大公约数；若r10，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；依次计算直至rn0，此时所得到的rn1即为所求的最大公约数。（1）辗转相除法的程序框图及程序程序框图：（略）程序：（当循环结构） 直到型结构见书37面。INPUT “m=”;mINPUT “n=”;

24、nIF mn THEN x=mm=n n=xEND IFr=m MOD nWHILE r0 r=m MOD n m=nn=rWENDPRINT mEND练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）2.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到

25、所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：9863356335283528728721217141477所以，98与63的最大公约数是7。练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）3.比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而

26、更相减损术则以减数与差相等而得到5.课堂练习一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；1196.小结：辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。研究中国古代劳动人民发明的计算方法和现代计算机技术的联系（二）秦九韶算法一、三维目标（a）知识与技能：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。（b）过程与方法：模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。（c）情态与价值观：通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献

27、，充分认识到我国文化历史的悠久。充分认识信息技术对数学的促进。二、教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点难点：1.秦九韶算法的先进性理解三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.（二）研探新知思考1 21325算法1：需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法算法2：需要5次乘法，5次加法 秦九韶算法思考2 18556思考3:利用后一种算法求多

28、项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2.第三步，计算v3=v2x+an-3. 第n步，计算vn=vn-1x+a0.思考5:上述求多

29、项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n)例1 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？求多项式，在x=a时的值. 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法. 作业：习案作业九研究多面体欧拉公式的发现（一）教学目标：1. 了解多面体与简

30、单多面体的概念，探究、发现欧拉公式，掌握欧拉公式；2培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力；重点、难点：欧拉公式的发现过程及其证明。教学过程一复习回顾1欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线3凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，

31、如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体如图的多面体则不是凸多面体4凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等二欧拉公式的发现：1简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体2五种正多面体的顶点数、面数及棱数的关系 填表：将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表并计算：正多面体顶点数面数棱数正四面体4462正六面体86122正八

32、面体68122正十二面体2012302正二十面体1220302通过上表你发现了什么规律？发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：思考：上述关系式是对所有的多面体都成立吗？（对简单多面体都成立）（1）请查出图（5）的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算VFE6+6-10=2（2）查出图中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立？（3）假如图图的多面体表面是像皮膜，向内充气则将变成一个球面，图将变成两个紧贴的球面，图将变成一个环面。象（7）（8）两个几何体都不是简单多面体。3欧拉公式： 简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：三欧拉公式的证明： 证明:(方法一)图：将多面体的底面

33、ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABCDE表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。设左图中共有F个面，分别是边形，顶点数为V，棱数为E,则.左图中，所有面的内角总和为右图中，所有面的内角总和为 所以 ，整理得.点评：这种证明方法是通过压缩变换利用多边形内角和证明欧拉公式。（方法二）以四面体为例来说明：将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变 因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。 对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面，例如去掉，就减少一个面同理，去掉棱、，也就各减少一个面、所

34、以、的值都不变，因此的值也不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉，就减少一个顶点同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下（如图）在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。由于最后只剩下，所以，最后加上去掉的一个面，就得到4欧拉示性数： 在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。注意：（1）简单多面体的欧拉示性数（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体四点例分析：例1一个面体共有8条棱，5个顶点，求？解：，例2一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求？解：， ， 五小结：欧拉公式及其证明研究多面体欧拉公式的发现（二）教学目标：1

35、.掌握欧拉公式，能熟练应用；2会用欧拉公式解决实际问题；重点、难点：欧拉公式的应用，在具体问题中会利用顶点V、面数F、棱数E的关系互化教学过程一复习回顾1简单多面体：表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体2欧拉公式：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：（欧拉公式）二典例分析例1一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V6，求它的面数F及棱数E。解：因为简单多面体的面都是三角形，所以,又V6，代入欧拉公式得6+F-=2,解得F=8,E=12.即简单多面体的面数F为8，棱数E为12。例2一个正多面体各个面的内角和为3600，求它的面数，顶点数和棱数。解：设它的面数F，顶点数V和棱数E，

36、每一个面的边数为m，则F(m-2)180=3600，所以F(m-2)20，又,代入欧拉公式得V=12, 设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,，,又，的可能取值为，,当或时（1）中无整数解；当,由（1）得, , ，综上可知:，.例3由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1） 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）由（1）（2）得：，代入欧拉公

37、式： （3），又，但，不能同时大于，（若，则有，即这是不可能的），中至少有一个等于令，则，同样若可得例4欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体。这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目解：设分子中有五边形个，六边形个。分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得： （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：，分子中五边形有12个，六边形有20个三小结 ：欧拉定理的应用；会用欧拉公式解决

38、简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题 四练习与作业：1已知铜的单晶的外形是简单多面体，它有三角形和八边形两种晶面，且有24个顶点、36条棱，以每个顶点为一端都有三条棱，求出单晶铜的两种晶面的数目。解：设三角形晶面有x个，八边形有y个，则24+（x+y）-362且，解得x8，y6，所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个。2一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F2V4证明：，VFE2，VF2F2V43设一个凸多面体有V个顶点，求证：它的各面多边形的内角和为（V-2）360解：设此多面体的上底面有V上个顶点，下底面有V下个顶点，将其下底面剪掉，抻成平面图

39、形，则V上360（V下2）180（V下2）180（V上V下2）360（V2）3604有没有棱数是7的简单多面体？说明理由证明：VFE2，VF729，多面体的顶点数V4，面数F4只有两种情况V4，F5或V5，F4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，没有棱数是7的简单多面体5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边证明：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数也都是奇数，则，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的。不存在这样的多面研究三角函数在生活中的简单应用

40、教学目的【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】练习讲解：习案作业十三的第3、4题3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？解：（1）；（2）.4、略（学生看书）二、应用举例

41、：例1如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(wxj)b(1) 求这一天614时的最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式. 本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2 画出函数y|sinx|的图象并观察其周期.本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系.练习：教材P65面1题例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为q，d为此时太阳直射纬度，j为该地

42、的纬度值，那么这三个量之间的关系是q 90|j d |.当地夏半年d取正值，冬半年d取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在

43、某季节每天的时间与水深的关系表：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正