高中数学选修4-4坐标与参数方程同步练习题.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学选修4-4坐标与参数方程同步练习题第一讲 坐标系第一讲 坐标系第一节 平面直角坐标系一、选择题1已知ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D的坐标是 ()A(9，1) B(3，1)C(1，3) D(2，2)解析由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标设D(x，y)，则即，故D(1，3)答案C2把函数ysin

2、 2x的图象变成ysin的图象的变换是 ()A向左平移 B向右平移C向左平移 D向右平移解析设ysin2，变换公式为将其代入ysin2，得ysin2，1，由函数ysin 2x的图象得到ysin的图象所作的变换为，故是向左平移个单位答案A3在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x24y21，则曲线C的方程为()A25x236y21 B9x2100y21C10x24y1 D.x2y21解析将代入x24y21，得25x236y21，为所求曲线C的方程答案A4在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是()A. B.C. D.解析设代入第二个方程ysin x得

3、uysin x，即ysin x，比较系数可得.答案B二、填空题5在ABC中，B(2，0)，C(2，0)，ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为_解析ABC的周长为10，|AB|AC|BC|10.其中|BC|4，即有|AB|AC|64.A点轨迹为椭圆除去长轴两项两点，且2a6，2c4.a3，c2，b25.A点的轨迹方程为1 (y0)答案1 (y0)6在平面直角坐标系中，方程x2y21所对应的图形经过伸缩变换后的图形所对应的方程是_解析代入公式，比较可得1.答案17在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x29y29，则曲线C的方程是_答案x2y218在同一平面直角坐标系中，使曲线y

4、2sin 3x变为曲线ysinx的伸缩变换是_答案三、解答题9已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AMMB12，求动点M的轨迹方程解(代入法)设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，|AB|6，a2b236.M分的比为. 将式代入式，化简为1.10在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换：后，曲线C变为曲线x29y29，求曲线C的方程解直接代入得曲线C的方程为x2y21.11(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线ytan x得到曲线y3tan 2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换解ytan x的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到ytan

5、2x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y3tan 2x.设y3tan 2x，变换公式为.将其代入y3tan 2x得，.第二节 极坐标系一、选择题1点P的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为 ()A. B.C. D.解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式答案B2已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于()A. B.C. D.解析极坐标系中两点A(1，1)，B(2，2)的距离|AB|.答案C3在极坐标系中，已知点P，若P的极角满足，R，则下列点中与点P重合的是 ()A.，B.，C.，D.答案D4已知点M的极坐标是，它关于直线的对称点坐标是 ()A. B.C. D.解

6、析当0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找描点时，先找到角的终边又因为20，02，则点M的极坐标是_答案7在极坐标系中，已知点P，则点P在20，0，2)解析如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的答案(1)(2)(3)三、解答题9(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点N的直角坐标(，1)化成极坐标解(1)x5cos ，y5sin .点M的直角坐标是.(2)2，tan .又点N在第三象限，0.最小正角.故点N的极坐标是.10(极坐标的应用)已知A、B两点的极坐标分别是，求A、B两点间的距离和AOB的面

7、积解求两点间的距离可用如下公式：|AB| 2.SAOB|12sin(12)|244.11已知点Q(，)，分别按下列条件求出点P的极坐标(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线的对称点解(1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|OQ|，极角相差(2k1)(kZ)所以，点P的极坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)(2)由P、Q关于直线对称，得它们的极径|OP|OQ|，点P的极角满足2k(kZ)，所以点P的坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)第三节 简单曲线的极系坐标方程一、选择题1已知点P的极坐标为(1，)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ()A1

8、Bcos C D解析如图所示，设M为直线上任一点，设M(，)在OPM中，OPOMcosPOM，1cos()，即.答案C2在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为 ()A2cos B2cos C2sin D2sin 解析如图所示，P(，)，在圆上任找一点M(，)，延长OP与圆交于点Q，则OMQ90，在RtOMQ中，OMOQcosQOM2cos()，即2cos .答案B3极坐标方程2sin的图形是()解析2sin2sin cos 2cos sin (sin cos )，2sin cos ，x2y2xy，1，圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.答案C4曲线的极坐标方程4sin 化成直角坐标方

9、程为()Ax2(y2)24 Bx2(y2)24C(x2)2y24 D(x2)2y24解析由已知得24sin ，x2y24y，x2(y2)24.答案B二、填空题5两曲线sin 2和4sin (0，02)的交点的极坐标是_答案，6极点到直线(cos sin )2的距离为_解析直线(cos sin )2的直角坐标方程为xy20，极点的直角坐标为(0，0)，极点到直线的距离为d.答案7在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A、B两点，则|AB|_解析过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x3，曲线4cos 化为直角坐标方程为x2y24x0，把x3代入上式，得9y2

10、120，解得，y1，y2，所以|AB|y1y2|2.答案28极坐标方程52cos 22240所表示的曲线焦点的极坐标为_解析原方程化为直角坐标系下的方程为1，c，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，)答案(，0)，(，)三、解答题9(求直线的极坐标方程)求过点A，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程解在直线l上任取一点M，如图：因为A，所以|OH|2cos .在RtOMH中，|OH|cos ，所以所求直线的方程为cos .10将下列直角坐标方程和极坐标方程互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)cos2 1；(4)2cos 2

11、4；(5).解(1)将xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos ，化简得sin2 4cos .(2)将xcos ，ysin 代入y2x22x10，得(sin )2(cos )22cos 10，化简得22cos 10.(3)cos2 1，1，即cos 2，x2，整理有y244x.(4)2cos 24，2(cos2 sin2 )4.化简得x2y24.(5)，12cos ，12x，整理得3x24y22x10.11(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上，求圆心为A，半径为5的圆的极坐标方程解在圆上任取一点P(，)，那么，在AOP中，|OA|8，|AP|5，AOP或.由余弦定理得cos，

12、即216cos390为所求圆的极坐标方程第四节 柱坐标系与球坐标系简介（选学）一、选择题1已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 ()AP点(5，1，1)，B点BP点(1，1，5)，B点CP点，B点(1，1，5)DP点(1，1，5)，B点解析设P点的直角坐标为(x，y，z)，xcos 1，ysin 1，z5.设B点的直角坐标为(x，y，z)，xsin cos ，ysin sin ，zcos .所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.答案B2设点M的直角坐标为(1，3)，则它的柱坐标是 ()A. B. C. D.解析 2，z3.M的柱坐标为.

13、答案C3设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为 ()A. B.C. D.解析由变换公式r2，cos ，.tan 1，.M的球坐标为.答案B4点M的球坐标为，则它的直角坐标为 ()A(6，2，4) B(6，2，4)C(6，2，4) D(6，2，4)解析由x8sin cos 6，y8sin sin 2，z8cos 4，得点M的直角坐标为(6，2，4)答案A二、填空题5点M的球坐标为，则M的直角坐标为_解析xrsin cos 4sin cos 2，yrsin sin 4sin sin 2，zrcos 4cos 0，M(2，2，0)答案(2，2，0)6设点M的柱坐标为，则它的直角坐标为_答案(

14、，1，7)7在球坐标系中，方程r1表示_，方程表示空间的_答案球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面8已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|_，|MN|_解析设点M在平面Oxy上的射影为P，连结PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影MN直线Oy，MP平面xOy，PN直线Oy.|OP|2，|PN|1|OM|3.在RtMNP中，MPN90，|MN|.答案3三、解答题9(直角坐标与柱坐标、球坐标的互化)设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标解由坐标变换公式，可得，tan 1，(点(1，1)在平面xOy的第一象限)，r2.由rc

15、os z，得cos ，.点M的柱坐标为，球坐标为.10将下列各点的柱坐标化为直角坐标P，Q解直接代入互化公式可得P的直角坐标为(，1，1)，Q点的直角坐标为(2，2，3)11在柱坐标系中，求满足的动点M(，z)围成的几何体的体积解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足1，00)6令x，t为参数，则曲线4x2y24(0x1，0y2)的参数方程为_答案(t为参数)7将参数方程(为参数)转化为直角坐标方程是_，该曲线上的点与定点A(1，1)的距离的最小值为_解析易得直角坐标方程是(x1)2y21，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为1.答案(x1)2y2118(2009天津高考)

16、设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y3x4，则l1与l2的距离为_解析由题意得直线l1的普通方程为3xy20，故它与l2的距离为.答案三、解答题9设ytx(t为参数)，求圆x2y24y0的参数方程解把ytx代入x2y24y0，得(1t2)x24tx0，解得x，ytx，(t为参数)，这就是圆的参数方程10两曲线的参数方程为 (为参数)和(t为参数)，求它们的交点坐标解将两曲线的参数方程化为普通方程，得1，yx (x0)联立解得它们的交点坐标为.11(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008海南宁夏高考)已知曲线C1：(为参数)，曲线C2：(t为参数)(1)指出C1，C2各

17、是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2.写出C1，C2的参数方程C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由解(1)C1是圆，C2是直线C1的普通方程为x2y21，圆心C1(0，0)，半径r1.C2的普通方程为xy0.因为圆心C1到直线xy0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点(2)压缩后的参数方程分别为C1：(为参数)，C2：(t为参数)，化为普通方程为C1：x24y21，C2：yx，联立消元得2x22x10，其判别式(2)24210，所以压缩后的直线C2与椭圆C1仍然只有一个公共点，

18、和C1与C2公共点的个数相同第二节 圆锥曲线的参数方程一、选择题1若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为 ()A. B C. D解析参数方程中消去t，得3x2y70.所以k.答案D2下列在曲线(为参数)上的点是 ()A. B.C(2，) D(1，)解析转化为普通方程：y21x (|y|)，把选项A、B、C、D代入验证得，选B.答案B3若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|PF|等于()A2 B3 C4 D5解析抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为4.答案C4双曲线C：(为参数)的一个焦点为 ()A(3，0) B(4，0)C(5

19、，0) D(0，5)解析由得于是sec2tan21，即双曲线方程为1，焦点为F1，2(5，0)故选C.答案C二、填空题5曲线与x轴交点的坐标是_解析将曲线的参数方程化为普通方程：(x2)29(y1)，令y0，得x1或x5.答案(1，0)，(5，0)6点P(1，0)到曲线(其中参数tR)上的点的最短距离为_解析点P(1，0)到曲线上的点的距离设为d，则dt211.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.答案17二次曲线 (是参数)的左焦点的坐标是_解析题中二次曲线的普通方程为1左焦点为(4，0)答案(4，0)8已知曲线 (t为参数，p为正常数)上的两点M，N对应的参数分别为t1和t2，且t1t2

20、0，那么|MN|_解析显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x轴，|MN|2p|t1t2|2p|2t1|4p|t1|.答案4p|t1|三、解答题9在椭圆1上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值解设椭圆的参数方程为d|cos sin 3|当cos1时，dmin，此时所求点为(2，3)10已知点P(x，y)是圆x2y22y上的动点，(1)求2xy的取值范围；(2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围解(1)设圆的参数方程为2xy2cos sin 1sin()112xy1.(2)xyacos sin 1a0.a(cos sin )1sin1，a1.11(椭圆参数方程的应用)设F1、F2分别

21、为椭圆C：1 (ab0)的左、右焦点(1)若椭圆C上的点A到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程解(1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A在椭圆上，因此1，得b23，于是c2a2b21，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0)(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ，sin )，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以xcos ，sin .消去，得1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程第三节 直线的参数方程一、选择题1若直线的参数方程为 (t为参数)，则

22、直线的斜率为 ()A. B C. D解析k.答案D2直线 (t为参数)被圆(x3)2(y1)225所截得的弦长为()A7 B40C. D.解析，把直线代入(x3)2(y1)225，得(5t)2(2t)225，t27t20.|t1t2|，弦长为|t1t2|.答案C3直线 (t为参数)和圆x2y216交于A，B两点，则AB的中点坐标为 ()A(3，3) B(，3)C(，3) D(3，)解析16，得t28t120，t1t28，4，中点为.答案D4过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为 ()A. B.C. D.解析直线化为普通方程为yx12，其斜率k1，设所求直线的斜率为k，由kk11

23、，得k，故参数方程为(t为参数)答案B二、填空题5已知直线l1： (t为参数)与直线l2：2x4y5相交于点B，又点A(1，2)，则|AB|_解析将代入2x4y5，得t，则B，而A(1，2)，得|AB|.答案6直线 (t为参数)被圆x2y24截得的弦长为_解析直线为xy10，圆心到直线的距离d，弦长d2.答案7经过点P(1，0)，斜率为的直线和抛物线y2x交于A、B两点，若线段AB中点为M，则M的坐标为_解析直线的参数方程为 (t是参数)，代入抛物线方程得9t220t250.中点M的相应参数为t.点M的坐标是.答案8设直线的参数方程为 (t为参数)，点P在直线上，且与点M0(4，0)的距离为，

24、若该直线的参数方程改写成 (t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为_解析由|PM0|知，t，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(3，1)或(5，1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t1或t1.答案1三、解答题9已知椭圆的参数方程(为参数)，求椭圆上一点P到直线(t为参数)的最短距离解由题意，得P(3cos ，2sin )，直线：2x3y100.d，而6sin10610，610.dmin.10已知直线的参数方程为 (t为参数)，它与曲线(y2)2x21交于A、B两点(1)求|AB|的长；(2)求点P(1，2)到线段AB中点C的距离解(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简

25、得7t26t20.设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1t2，t1t2.所以，线段|AB|的长为|t1t2|5.(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为.所以，由t的几何意义可得点P(1，2)到线段AB中点C的距离为.11(直线参数方程意义的考查)已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角.(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆C：(为参数)相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积解(1)直线l的参数方程为即.(2)圆C： 的普通方程为x2y24.把直线 代入x2y24，得4，t2(1)t20，t1t22.则点P到A、B两点的距离之积为2.本讲质量评估(一)(时间：90分钟满分

26、：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在极坐标系中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；tan 1与表示同一条曲线；3与3表示同一条曲线在这三个结论中正确的是 ()A B C D解析点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tan 1能表示和两条射线；3和3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，只有成立答案D2已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是 ()A. B.C. D.答案A3点P的直角坐标为(1，)，则点P的极坐标为 ()A. B.C.

27、 D.解析因为点P(1，)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的一个极坐标为，排除A、B选项，2，所以极坐标所表示的点在第二象限答案D4极坐标cos表示的曲线是 ()A双曲线 B椭圆 C抛物线 D圆解析常见的是将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于不恒等于0，方程两边同乘，得2cos(cos sin )，即(cos sin )，2cos sin .在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，cos x，sin y，2x2y2，因此有x2y2(xy)，故方程cos表示圆答案D5在极坐标系中，与圆4sin 相切的一条直线方程为 ()Asin 2 Bcos 2

28、Ccos 4 Dcos 4解析如图所示，C的极坐标方程为4sin ，COOx，OA为直径，|OA|4，l和圆相切，l交极轴于B(2，0)，点P(，)为l上任意一点，则有cos ，得cos 2.答案B6圆(cos sin )的圆心坐标是 ()A. B.C. D.解析可化为直角坐标方程1或化为2cos，这是2rcos(0)形式的圆的方程答案A7极坐标方程cos 与cos 的图形是 ()解析cos 两边同乘以得2cos 化为直角坐标方程为x2y2x0表示圆，cos 表示过点与极轴垂直的直线答案B8化极坐标方程2cos 0为直角坐标方程为 ()Ax2y20或y1 Bx1Cx2y20或x1 Dy1解析(cos 1)0，0，或cos x1，即x2y20或x1.答案C9极坐标方程cos 2sin 2表示的曲线为 ()A一条射线和一个圆 B两条直线C一条直线和一个圆 D一个圆解析cos 4sin cos ，cos 0，或4sin ，即24sin ，则k或x2y24y.答案C10在极坐标系中，曲线4sin关于 ()A直线对称 B直线对称C点中心对称 D极点中心对称解析化4sin可得4cos，表示以为圆心的圆，故曲线4si