肾炎诊断的数学模型(含程序).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date肾炎诊断的数学模型(含程序)肾炎诊断的数学模型(含程序) 肾炎诊断的数学模型摘要本题讨论的问题是关于肾炎监测指标的分析，我们首先对数据从整体上用求单项均值的方法进行了预处理，随后建立起以下三种模型。针对问题一，我们共用了两种模型。首先建立起Binary Logistic回归模型，得到回归方程(见5.1.2式子 )，并得出该表达式的相关系数R=0.82378902。在假

2、设检验中利用Excel经过F检测得出检验的临界值为，该值远小于显著水平0.05，从而验证了该方法的正确性，最后用回代法得出正确率为93.33%。我们的第二种模型是费希尔判别模型，该模型得出的正确率也为93.33%。两种模型正确率相同，均可以作为判别属于患者或健康人的方法。针对问题二，我们利用问题一中两种模型得出的公式将待测30组数据代入，得出结果均为：15个为肾炎患者，15个为健康人。（详细结果见附录三）针对问题三，我们也建立了两种模型。首先建立多元线性回归模型，利用Excel的6SQ软件，得出了各项元素的显著性水平。根据显著性依次剔除了式子中的部分元素并用回代法进行了相关性检验。最终得出结论

3、为剔除Na、Zn、K时所得模型最优，得到回归方程（见7.1.2式子），并求出回归系数R=0.809870029，标准误差为0.306346745，回代后准确率为93.33%，误判为第32,33,38,60号。同时用主成分分析法结合费希尔判别模型得出误判结果相同。针对问题四，我们利用问题三中两种方法得出的公式分别将待测30组数据代入，得出结果： 线性回归法有14个肾炎患者，16个健康人。成分分析法有13个肾炎患者，17个健康人。（详细结果见附录四）针对问题五，我们将问题二和四的结果进行比较发现差别在于68,71,77号。无论是何种模型和方法最终分析得出结论：由于诊断准确率基本不变，减少了三种元素

4、Na、Zn、K的检测，则诊断效率大大提高而且为病人节约了成本和时间，所以问题二方法比问题四方法更优。关键词：多元线性回归 主成分分析法 logistic回归模型 费希尔判别模型1问题重述1.1问题背景随着我国人口老龄化问题的日益显现，肾炎已经成为一种在中老年人群中比较流行的疾病。能否及时诊断出肾炎，对于该病的治疗起着至关重要的作用。因此，对于“如何对肾炎进行诊断”问题的研究，引起了相关方面的高度重视。努力让每一个肾炎患者都能“早发现，早治疗，早康复”是每一个医院的职责。其中，对化验结果的检测分析是诊断该病的最直接途径。建立相关的数学模型来研究“如何用最少的化验指标来确诊肾炎患者”已经成为解决该

5、问题的主流方法。1.2需要解决的问题人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。表B.1是确诊病例的化验结果，其中130号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；3160号病例是已经确诊为健康人的结果。表B.2是就诊人员的化验结果。我们的问题是：1.根据表B.1中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。2.按照1提出的方法，判断表B.2中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。3.能否根据表B.1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素

6、，以便减少化验的指标。4.根据3的结果，重复2的工作。5对2和4的结果作进一步的分析。2模型的假设及符号说明2.1模型假设假设1：假设题目中所给的60组数据时随机抽取的，数据之间是互相独立的假设2：假设所给病人都只患肾炎一种病，而不患其它病假设3：假设题目中所给的7中元素在人体内含量是互相独立的，互相之间没有影响假设4：假设题目中所给的数据都是真实可靠的，化验没有错误假设5：假设所给的7中元素在不同健康人体内部含量基本相同，体重的影响可以忽略不计假设6：假设我们通过7中元素在人体含量就可以确诊，其它因素可以忽略2.2符号说明符号说明i=1,2,3,4,5,6,7分别表示Zn、Cu、Fe、Ca、

7、Mg、K、Na的含量i=0,1,2,3,4,5,6,7,8表示回归方程的系数y=0表示健康人；y=1表示患者i=1,2,3,4,5,6,7;j=0,1.表示第i中元素在健康和患者体内平均含量j=0表示健康人；j=1表示患者回归平方和残差平方和总离差平方和统计量Logistic变换3问题分析此题研究的是医院关于肾炎确诊的数学建模问题。要求我们通过建立合理的数学模型，研究不同元素在人体含量，确定人体是否患病。通过对题目中所给的30组健康人和30组患者人体7中元素含量分析我们发现，就诊者是否患肾炎可能取决于人体内某些元素的含量增减或各元素占总元素比例变化。因此，我们可以建立相应的回归方程来研究，患病

8、与否与人体元素含量的关系。在运用相关性检验我们的假设。针对问题一：由于logistic回归分析，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率等等。因此，问题一我们建立logistic回归模型，研究患肾炎与否与人体相关元素含量的关系。再通过假设检验验证我们建立模型的合理性、正确性。运用我们建立的模型对题目所给的60组病例验证其准确率。针对问题二：我们运用问题一中建立的模型，对B.2中所给的30个就诊人员是否患病进行判定，求出对应的p值和0.5比较，对于0.5表示患病，小于0.5表示健康，求解结果以表格呈现。针对问题三:问题一中我们已经求出对应的

9、回归方程，以及标准差等，知道元素的显著关系由强到弱关系为Ca,Cu,Fe,Mg,Na,Zn,K。对于显著关系较强的Ca,Cu,Fe不予剔除，逐步考虑剔除4种，3种，2种，1种元素。每剔除一次，计算剔除后的模型准确率。在准确率基本不变的情况下，剔除元素越多越好。这样我们保留了重要因素，又不影响模型合理性。针对问题四：我们运用问题三中剔除相关元素后的模型对对B.2中所给的30个就诊人员是否患病进行判定，求出对应的p值和0.5比较，对于0.5表示患病，小于0.5表示健康，求解结果以表格呈现。针对问题五：对问题二和问题四的结果先进行定量分析，找出求解结果差异的本质原因，再考虑其他因素对模型结果的影响，

10、最后从经济层面分析，模型的优劣。4数据分析与处理我们通过分析所给的60组数据，绘制各种元素在健康人与患者体内含量对比健康的与患病的人体内相关元素平均值绘制表格如下：表1ZnCuFeCaMgKNa患者体内每种元素的平均值143.112.3323.07698.17113.39201.13526.83健康人体内每种元素的平均值186.621.9262.012511.13295.1490.37367.21绘制成对比图如下分析图可知:患者与健康人Ca的含量差距较大。5问题一的解答我们共建立了两种模型：Binary logistic 回归模型和费希尔判别模型5.11模型一Binary logistic 回

11、归模型的建立从上面的分析可知，我们建立模型求解结果只有患病和健康两种。由于logistic回归，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率。由此，我们考虑运用Logistic回归模型。Binary Logistic回归模型因变量只能取两个值1和0(虚拟因变量)，我们采用多种方法对取值为0和1的因变量进行分析。以y表示事件发生的概率(事件未发生的概率为1-p)，并吧y看作自变量的线性函数p的值在0,1变化，由于当p接近0或1时，自变量即使有很大变化，p值也不可能有很大变化，所以上式直接用普通的最小二乘法是行不通的。我们引入p的logistic

12、变换其中p/(1-p),logit(p)是因变量Y=1的差异比，可得 综上所述，我们建立Binary Logistic回归模型5.1.2模型一Binary logistic 回归模型的求解我们假设各元素的含量与是否患病之间满足线性相关关系。定义y=1表示患病；y=0表示健康。我们将题目中所给的数据导入Excel中，利用Excel中的回归函数，选择95%的置信度，得到回归统计量、方差分析、回归方程。回归统计量：回归系数R0.823778902回归系数R平方0.678611679调整了的R平方0.642228095标准误差0.304480163截距0.891130318观测值60其中R为相关系数，

13、可以衡量X与Y之间的相关性大小。本题求得R=0.82378902表示X与Y之间高度正相关，即有：患病与否与人体各种元素含量高度相关。回归参数表系数标准误差t统计量t临界值p值置信区间下限置信区间上限截距0.8911303180.1828742174.8729139282.0066467611.07256E-050.5241663631.258094273X1-0.000332760.000998095-0.333398472.0066467610.740174162-0.002335590.001670061X20.016659170.0041218634.0416607572.0066467

14、610.00017590.0083880480.024930292X3-0.001624360.000859017-1.890954492.0066467610.064207521-0.003348119.93816E-05X4-0.00030096.25484E-05-4.810659582.0066467611.3308E-05-0.00042641-0.00017539X5-0.000957560.00059758-1.602388812.0066467610.115127573-0.002156690.000241577X6-6.607E-050.000307255-0.2150343

15、92.0066467610.830581651-0.000682620.000550483X70.0003031910.000219611.3805846662.0066467610.173312468-0.000137490.000743871由上表可知:b0=0.891130318,b1=-0.00033276,b2=0.01665917,b3=-0.00162436,b4=-0.0003009,b5=-0.00095756,b6=-6.607E-05,b7=0.000303191回归方程为：(1.1)5.1.3假设检验（方差分析和F检验）因自变量与自变量是否存在上述求出的回归表达式所示的

16、线性关系是需要检验的，显然，如果所有的的都很小，与的线性关系就不明显，所以可令原假设为当成立时满足在显著水平下有上分位数，若，则接受；否则，拒绝。经代入数据计算得到结果如下表所示：自由度平方和平均平方和F统计量F临界值p值回归710.179175181.45416788315.685434082.1916260277.36569E-11剩余524.820824820.09270817总计5915有F检验，在显著水平下F的临界值为7.36569E-11远小于显著水平0.05，并且F统计量F(1,5)=6.61说明我们求解得到的回归方程回归效果明显，多元线性回归拟合得很好。所以，我们接受各元素的含

17、量与是否患病之间满足线性相关关系这一假设。所以，我们建立的模型是合理可靠的。5.1.5模型一Binary logistic 回归模型结果及分析我们运用所建立的Binary logistic 回归模型对题目题目中所给的60组数据进行验证，发现60组数据中只有4组数据得出的结果与实际不同。分别是第32,38,39,60(具体数据见附录一)。验证后我们发现准确率达到了93.33%。相关程序见附录二5.21模型二费希尔判别模型的建立基本思想：从两个总体中抽取具有个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想造一个判别函数或称判别式：其中系数确定的原则是使两组的区别最大，而使每个组内的离差最小。有了判别式后，

18、对于一个新的样品，将它的个指标值代入判别式中求出值，然后与判别临界值进行比较，就可以判别它应属于哪一个总体。确定判别函数：此时最优的线性判别函数为：两组间离差平方和越大越好，两个组内的离差平方和越小越好。记为两组间离差平方和。为两组内的离差平方和。即就是要求越大越好。则利用微积分求极值的必要条件可求出使达到最大值的从而求得判别函数为综上我们建立的费希尔判别模型为5.22模型二费希尔判别模型的求解我们采用统计软件SPSS中的判别分析，对已确诊的60例做出判别，将判别结果与准确结果对比，检验此方法的正确性，其结果见附录二从表中可以发现，用费希尔判别法对已确诊的60例重新作出判别时，1-30号完全正

19、确，31-60号中有4例判别错误，分别是32,38,39,60，正确率为93.33%。5.3 Binary logistic 回归模型和费希尔判别模型的比较综述以上三种判别方法，可以得到它们各自的正确率，如下表Binary logistic费希尔判别法30病人正判率100%100%30健康正判率86.67%86.67%总人数正判率93.33%93.33%从表中的结果可以明显看出费希尔判别法的正确率Binary logistic相同。费希尔判别法和Binary logistic均可以作为判别属于患者或健康人的方法。6问题二的解答6.1问题二Binary logistic 回归模型的建立借用问题一

20、中Binary logistic回归模型得到以下模型6.1.2 Binary logistic 回归模型的求解建立系数矩阵常数矩阵，数据矩阵则最终的判定矩阵我们运用上面建立的Binary logistic回归模型对表B.2中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他们是肾炎病人还是健康人，其中15个为患者，15个健康人。检验结果为：肾炎患者为61,62,64,65,66,68,69,71,72,73,75,76,79,83,85号 健康人为63,67,70,74,77,78,80,81,82,84,86,87,88,89,90号 具体数据结果和求解程序见附录三6.2费希尔判别模型的求解采用费希

21、尔判别法，运用SPSS求解，判别结果如下表30名就诊人员的判别结果病历号判别结果病历号判别结果611761621770630780641791651800661810670820681831691840700851711860721870731880740890751900检验结果为：肾炎患者：61,62,64,65,66,68,69,71,72,73,75,76,79,83,85号健康人：63,67,70,74,77,78,80,81,82,84,86,87,88,89,90号6.3 Binary logistic 回归模型与费希尔判别模型的比较Binary logistic 回归模型和费希

22、尔判别模型的判别结果一致，两种方法更加确定了诊断的准确性。7问题三的解答我们建立了两种模型：线性回归模型和费希尔判别模型7.1.1线性回归模型的建立我们运用Excel中6SQ中的回归分析得到如下表格:元素p值显著性Ca1.3308E-05显著Cu0.0001759显著Fe0.064207521不显著Mg0.115127573不显著Na0.173312468不显著Zn0.740174162不显著K0.830581651不显著P值越小表示显著水平越高。七中元素的回归系数显著性水平由高到底顺序为Ca,Cu,Fe,Mg,Na,Zn,K.所以我们有理由假设p值较大的几中元素对是否患肾炎影响有限，可以忽略

23、不计，基于这一思想我们建立相应的模型，逐步剔除一些元素。对于显著水平较高的Ca和Cu显然我们不能剔除。综上所述，我们建立多元线性回归模型。7.1.2线性回归模型的求解我们先剔除显著性水平最低的4这种元素(Mg,Na,Zn,K),此时回归系数R=0.801226082，标准误差0.309681619， 准确率为91.67%。发生误判的为第32,33,38,39,60。剔除显著性水平最低的3种元素(Na,Zn,K)，此时回归系数R=0.809870029，标准误差为0.306346745，准确率为93.33%，发生误判的为第32,33,38,60。剔除3种元素(Mg,Zn,K),此时回归系数R=0

24、.812314826,标准差为0.304576289,准确率为91.67%，误判的为第32,38,39,43,60剔除3种元素(Mg,Na,K)，此时回归系数R=0.805822072，标准差0.309244294，准确率为91.67%，误判的第32,33,38,39,60剔除3种元素(Mg,Na,Zn),此时回归系数R=0.80791231，标准差0.30775331，准确率为93.3%,误判的为第32,38,39,60剔除显著性水平最低的2中元素(Zn,K),此时回归系数为R=0.823240824，标准误差为0.29920012准确率为93.33%，发生误判的为第32,38,39,60最

25、终结果为：剔除Na、Zn、K(1.2)7.1.3线性回归模型的结果及分析我们追求的目标是在保证准确率不会下降的情况下，剔除的元素越多越好，这样可以减少医院工作量，节约成本。分析上面我们的求解结果可知，当剔除4中元素时准确率下降了1.66%，剔除3种元素Na,Zn,K和Na,Zn,Mg时准确率没有发生变化，剔除3种元素Mg,Zn,K和Mg,Na,K时准确率下降了1.66%，剔除2种元素时准确率没有发生变化。剔除的元素Na,Mg，Zn,KNa,Zn,KNa,Zn,MgMg,Zn,KMg,Na,K任意两种准确率变化下降1.66%无变化无变化下降1.66%下降1.66%无变化于是，我们应选择剔除3中元

26、素，进一步分析剔除Na,Zn,K比剔除Mg,Na,Zn后的回归系数大，而标准差小。说明剔除Na,Zn,K后相关度更高，误差更小。所以，我们选择剔除Na,Zn,K。7.2.1主成分分析法模型的建立在本问题中，设有个样品，每个样品观测个指标，我们把这个指标看做个随机变量，记为。设随机变量的均值为，协方差矩阵为。主成分分析法就是要把这个指标的问题，转变为讨论个指标线性组合的问题。对进行线性变换，可以生成新的指标即主成分，记为。则要想确定主成分就是要确定系数，即就是原来变量在各个主成分上的载荷，经过证明它们是相关矩阵的个较大的特征值所对应的特征向量。综上我们建立的模型是7.2.2主成分分析法模型的求解

27、现在来确定系数，因为是不相关的主成分，即。结合费希尔判别法定出Cu，Ca，Mg，K，Na五项指标，以这五项指标对前60号病例进行费希尔判别。利用Matlab程序和SPSS软件，得到结果如下：病例号准确结果费希尔判别法病例号准确结果费希尔判别法11131002113200311330041134005113500611360071137008113800911390010114000111141001211420013114300141144001511450016114600171147001810480019114900201150002111510022115200231153002411

28、54002511550026115600271157002811580029115900301160007.2.3主成分分析法模型的结果分析由结果得出用Cu，Ca，Mg，K，Na五项指标采用费希尔判别得到的正确率为93.33%。费希尔判别法得到的结果正确率很高。7.3线性回归模型和模主成分分析法模型立比较Cu，Ca，Mg，K，Na五项指标与Cu，Fe，Ca，Mg，K五项指标的公共指标是Cu，Ca，Mg，K四项指标，这说明另外两种指标Na和Fe对判定结果影响不大，所以我们取它们的公共元素即Cu，Ca，Mg，K四项指标作为影响是否患病的主要指标。8问题四的解答8.1.1建立多元回归模型：我们运用建

29、立的模型对所给的30组待测数据进行评估，8.1.2模型的求解建立系数矩阵常数矩阵，数据矩阵则最终的判定矩阵我们根据(3)中剔除的结果，将(1)中回归方程剔除3个显著度最小的变量后变量为4个。检验结果为：我们发现有14个患者，16个健康人患者：61,62,64,65,66,69,72,73,75,76,77,79,83,85号健康人：63,67,68,70,71,74,78,80,81,82,84,86,87,88,89,90号具体数据相关程序见附录四8.2.1费希尔判别法模型的求解30名就诊人员的判别结果病例号费希尔判别法病例号费希尔判别法611761621770630780641791651

30、800661810670820680831691840700851711860721870731880740890751900检验结果为：肾炎患者：61,62,64,65,69,71,72,73,75,76,79,83,85号健康人：63,67,68,70,74,77,78,80,81,82,84,86,87,88,89,90号8.3费希尔判别法和多元回归模型比较两种模型区别在于77和71号但是希尔费希尔判别法准确率更高，应该选取该法。9问题五的解答9.1结果对比对比问题二和问题四的求解结果，不同之处主要如下问题二患者68、71问题四患者77问题二健康者77问题四健康者68、71分析可知问题二

31、和问题四的求解结果不同之处主要体现在第68,71,77号上。为了便于分析我们从中取一些数据进行对比：病例号ZnCuFeCaMgKNa681704.169.32943260155680.8711888.2822.61208231131413727716213.219.8152116636.2133患者均值143.1012.3323.07698.17113.39201.13526.83健康人均值186.6021.9262.012511.13295.1490.37367.21病例68,71与健康者比较，其Zn的含量正常，但是K和Na的含量严重超标，由于问题四中我们已经剔除Na,K,Zn这3中元素含量

32、对回归方程值不再有影响，而问题二中，我们考虑了这3中元素后会使得求得的Y值偏大，从而得出68,71是患者这一结论。病例77与健康人比较Zn的含量稍微偏低，K和Na含量严重偏低，其它元素含量也偏低。忽略Na,K,Zn后，我们发现其它元素的含量与患者更为接近，因而，问题四得出77为患者是预料之中的，考虑这3中元素后，我们根据回归方程的系数符号及大小分析，Y值会偏小，故问题二会得出77为健康。用费希尔判别法（包含七项指标）和费希尔判别法（包含简化后的四项指标Cu，Ca，Mg，K）判别30名就诊人员是否患病的结果中，只有75号不一致，其余结果均一致，一致率达到96.7%。9.2结果分析事实上我们在建立

33、回归方程时并没有考虑某一单一元素在人体含量波动较大，比如K和Na。若某人在一天时间摄入大量含K和Na的食物，其体内的K和Na含量也会严重超标。若一段时间摄入较少，其含量也会严重偏低。我们在考虑某人是否患病时，要综合各种元素考虑。最好，让病人隔一段时间再测一次，这样可以大大减小误判。我们在诊断时，当然期望检测更少的元素含量，但是诊断准确率又不能下降太大。这样医院能大大提高工作效率，也为病人节约了成本和时间。基于这一点，我们剔除3中元素，并且准确率并没有因此下降。所以，我们剔除的做法是合理的。10.模型的评价、改进、推广10.1模型的评价Binary logistic 回归模型优点:(1)模型简洁

34、易懂，我们运用logistic回归模型，定量分析了元素含量与患病之间的关系，并且经过主因素筛选法,进一步减小要测元素种类。(2)运用Excel中的6SQ统计工具，大大简化了计算和编程难度(3)我们经过假设检验验证了回归方程的合理性、正确性(4)建立的模型有实际数据的检验，准确率达到93.33%缺点：(1)我们所选择的样本容量有限，所给的数据代表性有限。(2)我们忽略了病人可能不止换一种病这种可能性，如果一个病人患有其他病也有可能会影响到相关元素的含量。费希尔判别法模型：优点：判别函数是线性函数，使用起来比较方便容易。缺点：在均值差别很小的情况下，容易产生误判。10.2模型的改进我们可以查阅更多

35、资料，收集更多数据，从而使我们建立的模型更具有代表性。由于某些元素在人体含量波动较大，我们建议病例，隔一段时间再测一次，可以大大减少误判。10.3模型的推广我们建立的模型不仅可以用于肾炎这一疾病的诊断，也可以运用于流行病学，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率，等等。参考文献1数学建模导论 陈理荣 主编 北京邮电大学出版社1999年版 2数学建模简明教材 张兴永编著 中国矿业大学出版社3数学分析（第三版） 华东师大数学系编 高等教育出版社4数学建模方法及其应用 韩中庚编著 高等教育出版社5数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003.附录附录一其

36、中“1”表示患病，“0”表示健康病例号ZnCuFeCaMgKNapLogit(p)-0.5检验结果116615.824.57001121795130.70790.38510218515.731.57011251844270.69560.3266031939.825.95411631286420.69330.31540415914.239.789699.22397260.70060.350522616.223.860615270.32180.68580.2807061719.299.2930718745.52570.68510.27750720113.326.655110149.41410.68

37、560.27960814714.5306591021546800.71810.4351091728.857.8655175.798.43180.69440.32101015611.532.56391071035520.69930.343801113215.917.757892.4131413720.75950.650101218211.311.37671112646720.70050.34970131869.2637.1958233733470.62550.01290141628.2327.162510862.44650.68460.27520151506.63216271401796390.

38、68490.276201615910.711.761219098.53900.67770.243101711716.17.0498895.51365720.70780.384701818110.14.0414371841015420.63220.041701914620.723.8123212815010920.72640.476602042.310.39.762993.74398880.72990.494102128.212.453.137044.14548520.74590.576802215413.853.36211051607230.71190.404402317912.217.911

39、3915045.22180.64160.082502413.53.3616.813532.651.61820.71010.39590251755.8424.980712355.61260.63710.06302611315.847.362653.61686270.7270.479202750.511.66.360858.958.91390.70190.356202878.614.69.742170.81334640.73690.5299029903.278.1762252.37708520.70540.37303017828.832.499211270.21690.71090.39990312

40、1319.136.22220249401680.555-0.278513217013.929.8128522647.93300.6250.011503316213.219.8152116636.21330.609-0.05371342031390.8154416298.93940.595-0.114113516713.114.1227821246.31340.544-0.3213616412.918.6299319736.394.50.489-0.54171371671527205626064.62370.560-0.258413815814.437102510144.672.50.6530.132203913322.83116334011808990.6360.0617040156135322674710902288100.4309-0.77821411698308106899.1532890.5339-0.364314224717.38.65255424177.93730.5478-0.30821431668.162.812332521346490.6093-0.05561442096.4386.9215728