2022年高考数学专题圆锥曲线中的最值和定值问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么【考题回放】1已知双曲线12222byax(a0,b0)的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.2,)D.(2,+)2 P 是双曲线221916xy的右支上一点， M、N 分别是圆 (x5)2y24 和(x5)2y21 上的点，则 |PM|PN|的最大值为（B ）A. 6 B.7 C.8 D.9 3抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A43B75C85D34已知双曲线22221,(

2、0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为： （B）(A)43(B)53(C)2(D)735已知抛物线y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是32 . 6设椭圆方程为1422yx，过点 M（ 0，1）的直线l 交椭圆于点A、B，O 是坐标原点， 点 P 满足OP(21OA)OB，点 N 的坐标为)21,21(，当 l 绕点 M 旋转时，求（ 1）动点 P 的轨迹方程； （2）|NP的最小值与最大值. 【 专家解答 】 （1）法

3、 1：直线 l 过点 M（0，1）设其斜率为k，则 l 的方程为y=kx+ 1. 记 A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B 的坐标(x1,y1)、 (x2,y2)是方程组14122yxkxy的解 . 将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载设点 P 的坐标为 (x,y), 则.44,422kykkx消去参数 k 得 4x2+y

4、2-y=0 当 k 不存在时， A、B 中点为坐标原点（0，0） ，也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二：设点P 的坐标为 (x,y)，因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以,142121yx.142222yx 得0)(4122212221yyxx，所以.0)(41)(21212121yyyyxxxx当21xx时，有.0)(4121212121xxyyyyxx并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx将代入并整理得4x2+y2-y=0 当 x1=x2时，点 A、B 的坐标为（ 0， 2） 、 （0， 2） ，这时点P 的坐标为（0，0）也

5、满足，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122yx（ 2）由点 P 的轨迹方程知.4141,1612xx即所以127)61(3441)21()21()21(|222222xxxyxNP故当41x，| NP取得最小值，最小值为1;4当16x时，| NP取得最大值，最大值为.621 高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论

6、常用以下方法解决：（ 1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（ 2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（ 3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（ 4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（ 5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有

7、界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（ 6）构造一个二次方程，利用判别式0。 突破重难点【范例 1】 已知动点 P 与双曲线13222yx的两个焦点F1、 F2的距离之和为定值，且 cos F1PF2的最小值为91（）求动点P 的轨迹方程；（）若已知D(0,3)，M、N 在动点 P 的轨迹上且DNDM，求实数的取值范围讲解()由题意 c2=5设 |PF1|+|PF2|= 2a（5a） ，由余弦定理, 得1|102|2|cos21221221222121PFPFaPFPFFFPFPFPFF又|1PF22212)2|(|aPFPFPF，当且仅当 |PF1|=|PF2|时， |PF1|

8、|PF2| 取最大值，此时 cos F1PF2取最小值110222aa，令91110222aa，解得 a2=9，5c， b2=4，故所求 P 的轨迹方程为14922yx. （）设N(s,t)，M(x,y)，则由DNDM，可得 (x，y-3) = (s，t-3)，故 x= s，y= 3+ (t-3). M、N 在动点 P 的轨迹上，14922ts且14)33(9)(22ts，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载消去 s 可得222214)33(tt，解得6513t，又 |t| 2，2|6513|，解得5

9、51，故实数的取值范围是5 ,51【点晴】 为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等【文】已知点 M(-2，0)，N(2,0)， 动点 P 满足条件| 2 2PMPN.记动点P的轨迹为 W. （）求W 的方程；（）若A，B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB的最小值 . 解： （）依题意，点P 的轨迹是以M，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22xy122（x 0）（）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为 xx0，此时 A（x0，20 x2） ，B（x0，20 x2） ，O AO B

10、2 当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为ykxb，代入双曲线方程22xy122中，得： (1k2)x22kbxb220 依题意可知方程1 有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则2222122212244(1) (2)0201201k bkbkbxxkbx xk解得 |k| 1，又OA OBx1x2y1y2x1x2（ kx1b） （kx2b）（ 1k2）x1x2kb（x1x2） b22222k242k1k1 2 综上可知OA OB的最小值为2 【范例2】给定点A(-2,2)，已知 B 是椭圆2212516xy上的动点， F 是右焦点，当53ABBF取得最小值时

11、，试求B 点的坐标。解析：因为椭圆的35e，所以513ABBFABBFe，而1BFe为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到 A 点和左准线的距离之和最小，过点B 作 l 的垂线，垂点为N，过 A 作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载|35|BFeBFBNeBNBF于是5| |3ABBFABBNANAM为定值其中，当且仅当B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立，此时B 为5 3(,2)2所以，当53ABBF取得最小值时，B 点坐标为5 3(,2

12、)2【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。【文】 点 A（3，2）为定点， 点 F 是抛物线y2=4x 的焦点，点P在抛物线y2=4x 上移动，若 |PA|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。解：抛物线y2=4x 的准线方程为x=-1，设 P 到准线的距离为d，则 |PA|+|PF| =|P A|+d。要使 |PA|+|PF| 取得最小值，由图3 可知过 A 点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF| 取得最小值， 把 y= 2 代入 y2=4x，得 P（1， 2） 。【范例 3】已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上

13、移动， Q点在椭圆2219xy上移动 ,试求 |PQ|的最大值。解：故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O1时 |PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值 .设 Q(x，y)，则 |O1Q|2= x2+(y-4)2因 Q 在椭圆上 ,则 x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2218272y因为 Q 在椭圆上移动，所以- 1 y 1，故当12y时，1max3 3OQ此时max3 31PQ【 点晴 】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注

14、意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。【文】 设 P 是椭圆22211xyaa短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值。解: 依题意可设P(0,1), Q(x,y),则 |PQ|=x2+(y1)2,又因为 Q 在椭圆上 , 所以 x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y2 2y+1+a2=(1a2)(y11a2)211a2+1+a2 . A P F O d X=1 x y 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载因为 |y| 1, a

15、1, 若 a 2, 则|11a2| 1, 当 y=11a2时, |PQ|取最大值a2a21a21; 若 1a0，所以1010m。10已知 A（ 2，0） ，B（2，0） ，动点 P 与 A、B 两点连线的斜率分别为kPA和 kPB，且满足 kPAkPB=t (t0 且 t 1). （）求动点P 的轨迹 C 的方程；（）当 t0 时， 曲线 C 的两焦点为F1， F2， 若曲线 C 上存在点 Q 使得 F1QF2=120O，求 t 的取值范围解： () 设点 P 坐标为 (x,y),依题意得22xyxy=ty2=t(x24) 42x+ty42=1，轨迹 C 的方程为42x+ty42=1（x2）.

16、 () 当 1t0 时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设 |PF1|=r1， |PF2|=r2, 则 r1+ r2=2a=4. 在 F1PF2中， |F1F2|=2c=4t1, F1PF2=120O，由余弦定理得4c2=r21+r222r1r2cos120 = r21+r22+ r1r2= (r1+r2)2r1r2( r1+r2)2(221rr)2=3a2, 16（1+t） 12, t 41. 所以当41 t0 时，曲线上存在点Q 使 F1QF2=120O当 t 1 时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，设 |PF1|=r1， |PF2|=r2, 则 r1+ r2=2a= -4t, 在 F1P

17、F2中， |F1F2|=2c=4t1.F1PF2=120O，由余弦定理得4c2=r21+r222r1r2cos120 = r21+r22+ r1r2= (r1+r2)2r1r2( r1+r2)2(221rr)2=3a2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载 16（-1-t） -12t, t 4. 所以当 t 4 时，曲线上存在点Q 使 F1QF2=120O综上知当t0 时，曲线上存在点Q 使 AQB=120O的 t 的取值范围是0 ,414,. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页