教案--第二章--矩阵.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date教案-第二章-矩阵*教案物流学院20152016学年度第 1 学期 线性代数 课堂教学方案授课年级 2014 专业层次 会计学本科 授课班级 1、2、3、4班 授课教师 2015 年 8 月 28 日线性代数教案任课教师 授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排0.5学时授课题目（章节）第二章 矩阵第一节 矩阵的概念教学目的、要求（教学目标） 了解矩阵的概念

2、 掌握几种特殊矩阵教学重点与难点几种特殊矩阵教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程组的解法等的有力且不可替代的工作,在线性代数中具有重要地位. 本章中我们首先要引入矩阵的概念,深入讨论矩阵的运算、矩阵的变换以及矩阵的某些内在特征.本节中的几个例子展示了如何将某个数学问题或实际应用问题与一张数表矩阵联系起来,这实际上是对一个数学问题或实际应用问题进行数学建模的第一步.内容要点一、引例 引例1 线性方程组与数表的关系 引例2 航空公司航班图与数表的关系 引例3 某企业季度、产品、产值与数表的关系二、矩阵的

3、概念定义1 由个数排成的行列的数表称为行列矩阵, 简称矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为 这个数称为矩阵的元素, 称为矩阵的第行第列元素. 一个矩阵也可简记为.元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明).所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为O.所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵.若矩阵的行数与列数都等于n，则称为阶方阵, 记为.如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵.定义 如果矩阵同型矩阵, 且对应元素均相等, 则称矩阵与矩阵相等，记为.例1 设，已知,求.三、矩

4、阵概念的应用矩阵概念的应用十分广泛,这里,我们先展示矩阵的概念在解决逻辑判断问题中的一个应用. 某些逻辑判断问题的条件往往给的很多,看上去错综复杂,但如果我们能恰当地设计一些矩阵,则有助于我们把所给条件的头绪理清,在此基础上再进行推理,将能起到化简解决问题的目的.四、几种特殊矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量.阶方阵称为阶对角矩阵,对角矩阵也记为.阶方阵称为阶单位矩阵, 阶单位矩阵也记为 （或 ）当一个阶对角矩阵的对角元素全部相等且等于某一数时，称为阶数量矩阵, 即.例题选讲例2甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说,

5、他们约定读完后互相交换,这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多,因此,五人总是同时交换书,经四次交换后,他们五人读完了这四本书,现已知:(1) 甲最后读的书是乙读的第二本书；(2) 丙最后读的书是乙读的第四本书；(3) 丙读的第二本书甲在一开始就读了；(4) 丁最后读的书是丙读的第三本；(5) 乙读的第四本书是戊读的第三本书；(6) 丁第三次读的书是丙一开始读的那本书.试根据以上情况说出丁第二次读的书是谁最先读的书? 理论讲解15分钟，习题选讲10分钟，练习、答疑5分钟注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组(2)有非零解.作业与课外训练课外阅读资料或

6、自主学习体系安排课后小结本节介绍矩阵的概念以及几种特殊矩阵，特别是几种特殊矩阵要牢记。线性代数教案任课教师 授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排1.5学时授课题目（章节）第二节 矩阵的运算教学目的、要求（教学目标） 了解线性变换的概念 掌握矩阵的各种运算法则教学重点与难点矩阵的乘法及行列式运算教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容要点一、矩阵的线性运算定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和, 即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.设矩阵记,称为矩阵的负矩阵

7、, 显然有.由此规定矩阵的减法为.定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律:设都是同型矩阵, 是常数, 则(1) (2) ;(3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.二、矩阵的相乘定义3 设矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为其中 ，(记号常读作左乘或右乘.若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即.矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的):（1）（2）（3）（4）注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即例如

8、, 设 则而 于是 且从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出 例如, 设则 但 定义4 如果两矩阵相乘, 有则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.注：对于单位矩阵, 容易证明或简写成可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1 设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换.命题2 设均为n阶矩阵，则下列命题等价:（1）（2）（3）（4）三、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2)其中矩阵称为线性方程组(

9、1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式成立, 则 即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.四、线性变换的概念变量与变量之间的关系式： 称为从变量到变量的线性变换. 其中为常数. 线性变换(2)的系数构成矩阵，称其为线性变换(1)的系数矩阵.易见线性变

10、换与其系数矩阵之间存在一一对应关系. 因而可利用矩阵来研究线性变换，亦可利用线性变换来研究矩阵. 线性变换称为恒等变换，其系数矩阵就是单位矩阵.五、矩阵的转置定义6 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则.矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):(1) (2) (3) (4) 六、方阵的幂定义5 设方阵, 规定称为的次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）： (1) (2) 注: 一般地, 为自然数命题3 设均为n阶矩阵， 则有 为自然数，反之不成立。七、方阵的行列式定义7 由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵

11、的行列式,记作或方阵的行列式满足以下运算规律(设为阶方阵, 为常数):(1) (2) (3) 进一步八、对称矩阵定义8 设为阶方阵, 如果 即则称为对称矩阵. 显然，对称矩阵的元素关于主对角线对称. 例如 , 均为对称矩阵.如果则称为反对称矩阵.九、共轭矩阵定义9 设为复（数）矩阵, 记其中表示的共轭复数, 称为A的共轭矩阵.共轭矩阵满足以下运算规律(设为复矩阵,为复数, 且运算都是可行的):(1) (2) (3) 例题选讲矩阵的线性运算例1 已知, 求例2 已知 且求注: n阶数量矩阵=例3 若 求例5 求与矩阵可交换的一切矩阵.例6 证明: 如果 则有例7 解矩阵方程 为二阶矩阵.例8设有

12、线性变换,其中,试求出向量,并指出该变换的几何意义.例9 已知 求 例10 设 求 理论讲解25分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑5分钟提问：矩阵乘法与之前学习的数量乘法是否相同？注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. .注: 方阵与行列式是两个不同的概念, 阶方阵是个数按一定方式排成的数表,而阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.注：补充矩阵多项式的概念，并以此方法讲解例10类型题目注：强调行列式与矩阵的差异注：在第四章应用作业与课外训练1.设为三阶矩阵, 若已知 求2.计算矩阵乘积 P46 2 5 6课外阅读资料或自主学习体

13、系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结本节介绍用矩阵的各种运算，这是本课程讨论的基础，要牢牢掌握。线性代数教案任课教师 授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第三节 逆矩阵教学目的、要求（教学目标） 了解逆矩阵的概念，理解伴随矩阵的概念 掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件教学重点与难点逆矩阵的性质教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容要点一、逆矩阵的概念在数的运算中, 对于数 总存在唯一一

14、个数,使得数的逆在解方程中起着重要作用，例如，解一元线性方程，当时，其解为. 由于矩阵乘法不满足交换律,因此将逆元概念推广到矩阵时,式中的两个方程需同时满足. 此外,根据两矩阵乘积的定义,仅当我们所讨论的矩阵是方阵时,才有可能得到一个完全的推广.定义1 对于阶矩阵,如果存在一个阶矩阵,使得则称矩阵为可逆矩阵,而矩阵称为的逆矩阵.命题 若矩阵是可逆的, 则的逆矩阵是唯一的.定义2 如果阶矩阵的行列式,则称为非奇导的,否则称为奇异的.二、伴随矩阵及其与逆矩阵的关系定义3 行列式的各个元素的代数余子式所构成的矩阵.称为矩阵的伴随矩阵.定理1 阶矩阵可逆的充分必要条件是其行列式. 且当可逆时, 有其中

15、为的伴随矩阵.注：由定理1求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法.由定理证明得伴随矩阵的一个基本性质可以推广为：推论 若(或), 则.三、逆矩阵的运算性质(1) 若矩阵可逆, 则也可逆, 且(2) 若矩阵可逆,数 则 ;(3) 两个同阶矩阵可逆矩阵,的乘积是可逆矩阵, 且(4) 若矩阵可逆, 则也可逆, 且有 (5) 若矩阵可逆, 则.补充：伴随矩阵的性质(1) (2) 若矩阵可逆,数 则 ;(3) (4) (5) .四、矩阵方程对标准矩阵方程利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质, 通过在方程两边左乘或右乘相应的矩阵的逆矩阵, 可求出其解分别为而其它形式的矩阵方程, 则可通过矩阵的有关运算性质转化为

16、标准矩阵方程后进行求解.例题选讲逆矩阵的概念例1 如果 其中. 验证伴随矩阵及其与逆矩阵的关系例2 矩阵求矩阵的伴随矩阵.例3 求例2中矩阵的逆矩阵.例4 已知 试用伴随矩阵法求.矩阵方程例5 设是同阶矩阵, 且A可逆, 下列结论如果正确, 试证明之, 如果不正确, 试举反例说明之.(1) 若 则(2) 若 则例6 设 求矩阵X使满足例7 设 求例8 设方阵A满足方程 证明A为可逆矩阵, 并求(为常数, ).理论讲解45分钟，习题选讲40分钟，练习、答疑5分钟注：重点介绍伴随矩阵的结构注：称为伴随矩阵求逆法，可用来证明克莱姆法则注:重点强调公式的变形应用，并补充伴随矩阵的性质：若矩阵可逆，则有

17、：注：又称为穿脱原理注：例8结果的写法，上一节补充矩阵多项式部分已强调作业与课外训练1.求方阵的逆矩阵.2.设是同阶矩阵, 且A可逆, 下列结论如果正确, 试证明之, 如果不正确, 试举反例说明之.(1) 若 则(2) 若 则3. 求解矩阵方程P46 2 5 6课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结本节介绍用矩阵的伴随矩阵、利用其求逆矩阵的方法及相关内容，要掌握相关性质及结论，对于伴随矩阵求逆法了解即可，其理论意义大于应用。线性代数教案任课教师 授课

18、班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第四节 分块矩阵教学目的、要求（教学目标） 了解矩阵分块的方法原则 掌握分块矩阵作加、减、数乘法、转置运算及性质教学重点与难点分块矩阵作加、减、数乘法、转置运算及性质教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容导入:在这一节里，我们将介绍一种在处理阶数较高的矩阵时常用的技巧矩阵的分块有时，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理这就是所谓的矩阵的分块内容要点一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采

19、用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 加法运算:设矩阵与的行数相同、列数相同,并采用相同的分块法,则的每个分块是与中对应分块之和. 2. 数乘运算:设是一个分块矩阵,为一实数,则的每个子块是与中相应子块的数乘. 3. 乘法运算:两分块矩阵与

20、的乘积依然按照普通矩阵的乘积进行运算,即把矩阵与中的子块当作数量一样来对待,但对于乘积,的列的划分必须与的行的划分一致.4. 分块矩阵的转置设 则5. 设为阶矩阵, 若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即,其中都是方阵, 则称为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ，则，且(2) (3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。6.形如 或 的分块矩阵，分别称为上三角分块矩阵或下三角分块矩阵，其中是方阵.同结构的上（下）三角分块矩阵的和、差、积、商仍是上（下）三角分块矩阵.补充内容

21、：拉普拉斯定理：(1) (2) 其中分别为方阵的阶数分块矩阵的逆：如果方阵可逆，则(1) (2) (3) (4) 例题选讲例1 设矩阵 用分块矩阵计算例2设 求.例3 如果将矩阵分块为则 例4设 求.理论讲解40分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑20分钟注：由上节课的矩阵方程引入分块矩阵，结合下节课内容给出矩阵乘法的新的计算方法（行列组合）注：一个矩阵也可看作以个元素为1阶子块的分块矩阵.提问：如果矩阵的加法、乘法要用分块来计算，那么矩阵该如何分？注：补充矩阵分块形式，利用行向量、列向量线性组合计算矩阵乘法注：重点强调介绍分块对角矩阵的性质注：补充几种常见特殊分块矩阵行列式、逆的相关结论注：例

22、2给出不同的分块方法，介绍矩阵乘积的不同于定义的计算方法作业与课外训练1.设, 求2.分块方阵 其中A,B均为可逆方阵, 证明D可逆, 并求P51 2 3 4 5 课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结在这一节里，我们介绍了一种在处理阶数较高的矩阵时常用的技巧矩阵的分块有时，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理合理利用矩阵分块可以为矩阵运算提供很大帮助，希望好好体会矩阵分块的内

23、涵。线性代数教案任课教师 授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2.5学时授课题目（章节）第五节 矩阵的初等变换教学目的、要求（教学目标） 掌握初等变换、行阶梯形和行最简形等概念 掌握矩阵的初等变换和初等矩阵,会进行初等变换教学重点与难点初等矩阵的应用教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容导入在本章的上几节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法伴随矩阵法但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法初等变换法为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联

24、系内容要点一、矩阵的初等变换 在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算， 把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换.定义1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把换成).初等行变换与初等列变换统称为初等变换.注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型

25、相同.例如，变换的逆变换即为其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换为或.定义2 若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵, 则称矩阵与等价, 记为（或）.注：在理论表述或证明中，常用记号“”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性 ;(2) 对称性 若,则;(3) 传递性 若,则.一般地, 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2) 各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）.一般地, 称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵：(1) 各非

26、零行的首非零元都是1；(2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零.一般地，矩阵的标准形具有如下特点：的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.定理1 任意一个矩阵经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵注: 定理1的证明也实质上给出了下列结论:定理 任一矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为行最简形矩阵.根据定理1的证明及初等变换的可逆性,有推论 如果A为n阶可逆矩阵, 则矩阵A经过有限次初等变换可化为单位矩阵E, 即二、初等矩阵定义3 对单位矩阵施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵.三种初等变换分别对应着三种初等矩阵.(1) 的第行(列)互换得到的矩阵(2) 的第行

27、(列)乘以非零数得到的矩阵(3) 的第行乘以数加到第行上,或的第列乘以数加到第列上得到的矩阵命题1 关于初等矩阵有下列性质：(1) ; (2) *定理2 设是一个矩阵, 对施行一次某种初等行(列)变换, 相当于用同种的阶初等矩阵左（右）乘.三、求逆矩阵的初等变换法在2.3中, 给出了矩阵可逆的充要条件的同时, 也给出了利用伴随矩阵求逆矩阵的一种方法伴随矩阵法, 即对于较高阶的矩阵, 用伴随矩阵法求逆矩阵计算量太大, 下面介绍一种较为简便的方法初等变换法定理3 阶矩阵可逆的充分必要条件是可以表示为若干初等矩阵的乘积.因此，求矩阵的逆矩阵时，可构造矩阵矩阵 ,然后对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩

28、阵，则上述初等变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 ，这就是求逆矩阵的初等变换法.四、用初等变换法求解矩阵方程设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 .这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程 等价于计算矩阵 亦可利用初等列变换求矩阵. 即.例题选讲矩阵的初等变换例1 已知矩阵 对其作初等行变换，化为行阶梯形矩阵.例2 将矩阵化为标准形.例3 设有矩阵而 则 即用左乘相当于交换矩阵的第1与第2行.又 即用右乘相当于将矩阵的第3列乘2

29、加于第1列.求逆矩阵的初等变换法例4 设 求.例5 已知矩阵 求.用初等变换法求解矩阵方程例6 求矩阵, 使, 其中例7 求解矩阵方程 其中理论讲解40分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑20分钟注：由第三章第一节前半部分引出初等变换的概念注：结合线性方程组讲解初等行变换的意义？提问：两个矩阵等价是什么含义？注：结合初等变换的概念以及矩阵分块运算（补充部分）引出初等矩阵的概念注：重点强调三种初等矩阵的结构特点，并结合定理2介绍其运算作用注：重点介绍公式演变推导作业与课外训练1.化矩阵为矩阵的标准形式.2.求矩阵的逆矩阵.3.已知n阶方阵 求A中所有元素的代数余子式之和.P60 2 4 5 课外阅

30、读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结本节主要介绍矩阵的初等行（列）变换，要求能熟练的进行矩阵的初等变换。线性代数教案任课教师 授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排1.5学时授课题目（章节）第六节 矩阵的秩教学目的、要求（教学目标） 掌握矩阵秩的概念 掌握利用初等变换求解矩阵秩的方法教学重点与难点利用初等变换求解矩阵秩的方法教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容要点一、矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量

31、组的线性相关性、线性方程组解的存在性等问题的重要工具. 从2.5已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定义1 在矩阵中，任取行列,位于这些行列交叉处的个元素,不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式, 称为矩阵的阶子式.设为矩阵，当时，它的任何子式都为零. 当时，它至少有一个元素不为零, 即它至少有一个一阶子式不为零. 再考察二阶子式, 若中有一个二阶子式不为零. 则往下考察三阶子式, 如此进行下去,

32、 最后必达到中有阶子式不为零, 而再没有比更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式的最高阶数反映了矩阵内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2 设为矩阵, 如果存在的阶子式不为零, 而任何阶子式(如果存在的话)皆为零, 则称数为矩阵的秩, 记为(或). 并规定零矩阵的秩等于零.显然，矩阵的秩具有下列性质：(1) 若矩阵中有某个阶子式不为0, 则;(2) 若中所有阶子式全为0, 则;(3) 若为矩阵, 则;(4) 当 称矩阵为满秩矩阵. 否则称为降秩矩阵.利用定义计算矩阵的秩，需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式，当矩阵的行数与列数较高时,按定义求秩是非常麻烦的. 由于行阶梯形矩阵的秩

33、很容易判断，而任意矩阵都可以经过初等变换化为行阶梯形矩阵. 因而可考虑借助初等变换法来求矩阵的秩.二、矩阵秩的求法定理1 若, 则.根据上述定理, 我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法：用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.例题选讲例1 求矩阵的秩.例2求矩阵的秩.例3求矩阵的秩.例4 设 求矩阵A的秩, 并求A的一个最高非零子式.例5 设为n阶非奇异矩阵, B为矩阵. 试证:与B之积的秩等于B的秩, 即.例6 已知 求与的值.理论讲解40分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑20分钟提问：什么是矩阵的秩，其在整个线性代数中有什么作用？注：矩阵的阶子式共有

34、个.注: 由矩阵的秩及满秩矩阵的定义, 显然,若一个n阶矩阵是满秩的, 则 因而非奇异; 反之亦然.作业与课外训练1.已知 求该矩阵的秩.2.求的值, 使下面的矩阵A有最小的秩: 对所求出的的值，矩阵的秩等于多少？对另外的的值，秩等于多少？P65 5 6课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结本节主要介绍矩阵的秩，并给出了相应的计算方法，要求能熟练的利用初等变换计算矩阵的秩的方法，这部分内容尽管非常抽象，但是在整个线性代数中具有很重要的地位，通过矩阵的秩可以讨论线性方程组的解及向量组的相关性的。-