数学分析第十九章含参量积分资料ppt课件.ppt

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第第1919章章 含参量积分含参量积分1 1 含参量正常积分含参量正常积分 . 含参量积分首先本章研究元函数的各种积分问题从本章开始我们讨论多,一、含参量积分的概念一、含参量积分的概念(1) d , . , .,),()(),(,),(,),(,.,),(,badcyyxfxIxIxbac,dyxfydcyxfbaxdcbaRyxfx就有记为的函数上取值的则其积分值是在上可积在若此时数为自变量的一元函上的以是定义在时定当固上的二元函数是定义在矩形区域设变电站电

2、气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(2) d , , , .,)()(),()(),(,),(,)(),(),()(| ),(),(,baxdxcyyxfxFxFxbadcyyxfbaxbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx就有记为的函数上取值的积分值是在则其上可积的一元函数在作为于固定的若对上的连续函数为定义在其中上的二元函数是定义在设一般地. , 含含参参量量积积分分分分含含参参量量x x的的( (正正常常) )积积或上的通称为定义在与个函数用积分形式定义的这两,)()(ba21 d .,),

3、()(,”的情形有关结论适用于“dcbaxyxfyJy变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、含参量积分的连续性二、含参量积分的连续性.,),()(,),(上连续在则函数上连续在矩形若二元函数连续性badcyyxfxIdcbaRyxfd ) )( ( 1 19 9. .1 1 定定理理.),(),(.)(),(),()()(.,),(),(),()()(,dccdyyxfyxxfxIxxI00RyxfdcyyxfyxxfxIxxIbaxxxxyxfyxfyyxxd d 22112121时，就有只

4、要即一致连续上连续在有界闭区域因，于是证：设当故.证毕变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分dcbayyxfdcyyxfxIxI0 x000 xxxx0 xx.,),(),(),()( ,dlimdlim lim :序即求极限与求积分可换其结论也可写为.,),()(,),(,上连续在则函数上连续在矩形若二元函数同理dcbaxyxfyJdcbaRyxfd badcxyxfbaxyxf0y00yyyy.,),(),( ,dlimdlim即有变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连

5、接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.,.,)()(),()(,)(),(,),()(| ),(),(,上连续在则函数上的连续函数是在其中上连续在区域设连续性babaxdxcyyxfxFbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx(6) d , ) )( ( 1 19 9. .2 2 定定理理.,)(1 .19,)()()()()(,10,)()()()()(,)()(),()(,)()(, 1 , 0,)()()()()(1 .19上连续在知，定理故由上连续，在故上取值在之间取值时与在当，今作积分换元，令证：要利用定理由于baxFbaxcxdxcxdtxc

6、xftxcxdxcxdtxcxfxdxcyyxfxFtxcxdytxdxcyxcxdtxcy10dd dd 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分11220 xxdlim 例1例1,11,1 ,:22的连续函数是解xx三、含参量积分的可微性三、含参量积分的可微性.arctan10124d10 xxx原式),()(.(),(),(,),()(,),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxbadcyyxfxIdcbaRyxfxyxfxddd d 即且上可微在则上连续都在矩形区域与其偏导数若

7、可微性) )( (19.319.3 定理定理变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.),(),()()(),()(,:dcyxyxfyxxfxxIxxIdcyyxfxIbaxxxd d 得由于是设证.),(),(),(),(),(, 0, 0,),(. 10 ,),(),(),(,yxfyxxfyxfxyxfyxxfRyxfxyxxfyxfyxxfxxxxxx 就有时，只要从而一致连续上连续在有界闭区域因由微分中值定理当故).(dd cddcyyxfxyxfyxxfyyxfxIxdcx),(),(

8、),(),(.dlim dcxxyyxfxI),(0),()(.(),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxxddd 即变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 d 10.)0(arctan的导数对于参数求：yyxyx练习1练习1 连续，故和时，解：当22arctanarctan0yxxyyyxyx dddd 1010arctanarctanxxyyyxyx .lnln(d221212102210221)yyyxxyxx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，

9、从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分)7().()(,()()()()(,(),()(,)()(),()(,)(),(,),(),( d d , xcxcxfxdxdxcxdxfyyxfxFbaxdxcyyxfxFqpbaxdxcqpbaRyxfyxfxx且上可微在则函数内的可微函数上其值含于为定义在上连续在设可微性 ) )( ( 19.419.4 定理定理. 3 .19为常数时，得到定理和特别地，dc d2.)sin()(yyxxxyyF的导数：求练练习习2 2 . dcos3yyyyyyyyyxyyyyyyxxyyFyyyy2223223sin2sin3s

10、in2sinsinsin2sin)()(22解：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分).()(0)()()!1(1)(,|,0)()(1xfxtxtftxnxxxxfnn且的各阶导数存在函数充分小时验证当的某个邻域内连续在设 , d 例2例2，得由定理连续在原点的某个方邻域内及其偏导数解：由于被积函数txtftxnxfxxntxtftxnxtxFtftxtxFnnnxnd2 1d2 19.4 , 2220)()()!(1)()()!(10)()()!(1)(),()()(),(1).()(,0)

11、()(,0)()()!1(1)()() 1(1)(xfxtxtfxtxtftxknxnnknk从而并有依次类推，d d 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.101)1ln(2xxxId 计算积分 例3例3.3 .19 1 , 0 1 , 0)(,) 1 (, 0)0(.10)(解21)1ln(的条件上满足定理在且则设含参量积分：IIIIxIxx d )1ln(2ln11)1ln()1ln(1110111110)1)(1 ()(21421010221102222 arctan ddxxxxxxx

12、xxxxI于是，).1 (2ln) 1 (arctan2ln)1ln(10)() 0() 1 (410211028IIIII d . 2I8ln故变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分:可得和定理由定理1 19 9. .2 21 19 9. .1 1.,)()(,),( 上可积和分别在和则函数连续上在矩形区域若函数可积性dcbayJxIdcbaRyxf ) )( ( 1 19 9. .5 5 定定理理ybaxyxfxdcyyxfyxfdcbadd dd : ),(),(,),(,与的积分同时存在两

13、个顺序不同连续的假设下在即. , dd dd 这里确切地是二次积分它们通称为累次积分求积积然后对求先对后者表示求积求积然后对先对前者表示与分别简记为.),(,),(),(),(yxyxfxyyxfbaxyxfyydcyxfxdcba四、含参量积分的可积性四、含参量积分的可积性变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(8) dd dd dcbabaxyxfyydcyxfxdcbaRyxf),(),(,),(则上连续在矩形区域若函数积分换序 ) )( ( 1 19 9. .6 6 定定理理.几何意义.,

14、),()(, 0)()(.)()(),(),()(),()(),()(11111，命题得证取故又则，证：记bubauuIuIaIaICuIuIuIydcyufuIuaxyxfyuIydcyxfxuIdcua22222 d ,dd dd 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分).010lnabxxxxIab( d 求 例例4 4.10,ln dd dybaxxIxxxybaxyaby故解：因.11ln111106 .19,1abbayybayyxbaxxyIbaRxyyydddd 1010可交换积分

15、次序得故由定理上连续，在由于 .11ln)1ln()()( ,abyaIbI Iba积分得.10)(3 .19).10ln)(yxxyIbyaxxxxyIyay11d ( d 得由定理令另解： 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分小结小结 1、了解含参量积分的概念；、了解含参量积分的概念； 2、掌握含参量积分的连续性、可微性、可积性、换、掌握含参量积分的连续性、可微性、可积性、换序定理；序定理； 1）掌握求含参量积分的极限、导数；）掌握求含参量积分的极限、导数； 2）会用含参量积分的微分（积分）

16、换序求定积分。）会用含参量积分的微分（积分）换序求定积分。作业作业：P178, 2(1), 3, 4(1), 5(1).变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2 2 含参量反常积分含参量反常积分(2) d (1) d , .,),()(),(,),(,),),(baxcyyxfxIxIxbabaxcyyxfbaxcbaRyxf就有记为的函数上取值的则其积分值是在都收敛反常积分固定的若对每一个上定义在无界区域设函数一、一、一致收敛性及其判别法一致收敛性及其判别法.,) 1 ( 含含参参量量反反常常积

17、积分分积积分分含含参参量量x x的的无无穷穷限限反反常常简称为上的式为定义在称 ba如同反常积分与数项级数的关系那样如同反常积分与数项级数的关系那样,含参量反常积分与函数含参量反常积分与函数项级数在一致收敛性问题及其论证方法上也极为相似。项级数在一致收敛性问题及其论证方法上也极为相似。NkNkAAxkuxkucyyxfcyyxf11)(lim)(,lim)d,()d,(变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分).(,),(,)(),(, 0),(xIbaMyyxfxIMcyyxfbaxNMcNxI于

18、上在则称含参量反常积分即都有对一切时使得当实数对与函数若含参量反常积分一致收敛一致收敛定义1定义1(1)d d (1) (3) d (1) .),(, 0:,2121AAyyxfbaxNAAcNba都有对一切时使得当实数对一致收敛的充要条件是上在含参量反常积分一致收敛的柯西准则 ) )( ( 19.719.7 定理定理.,31一致收敛的柯西准则函数项级数参见P变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 0),(d .), 0),0sin上不一致收敛但在其中上一致收敛在试证含参量反常积分yyxy 例例1

19、 1).( . 0,0sinsinsinddd (1):证明注收敛又uuyuuAxuuxyuAyxyA1.dsin01, 2cos11dsin10.dsin 1 , 0sin, 1sin0lim .01dsin10dsindsinP274 收敛，单调趋于收敛上连续，在事实上，收敛注：参上册xxxxAAxxxxxxxxxxxxxxxxxxx., 0, 0sin d AuuuMAM就有时使当.),0sinsinsin上一致收敛在就有时，对一切则当取也就是yMAAxyxNANyxyAxAyxyMuuud)( d d 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务

20、。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.sinsin, 0, 0, 0,0000sinMxuuuuuuxMuuudd d (2)使得收敛.), 0(,0000sin0sinsinsin0sin21内不一致收敛在也就是就有现令yuuyuyxyMxuuuuyxyuuMdddd d 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 20)(d 1.), 0(),0内不一致收敛）在（；其中上一致收敛在，试证）（yxexy练习1练习1.) 1 (xeeAyxeAAxAxyxye，证：d0., 0, 00

21、lim00AAAeAAAe时当，又.AxyeAyxed 0)(d .),0其中上一致收敛在yxexy变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分., 0, 0, 0:)2(000000d 0AyexxAAAyx使和对存在需证., 000100d1d00eAyexAxeAyexyxAxyx就有取注意 d 1010000001., 0, 02AeyexAxAAAyxe使得和对于故存在.d 内不一致收敛在因此), 0(0yxexy变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电

22、任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分函数项级数其中的递增数列对任一趋于是上一致收敛的充要条件在含参量反常积分 (1), )(:,1cAAban 1 19 9. .8 8 定定理理(7) d 111),(),(nnnnnxuAAyyxf.上一致收敛在,ba.),(, 0,: AAyyxfbaxMAAcMbad (1) 总有对于一切时使当故上一致收敛在因含参量反常积分仅证必要性总有从而对于一切有时使当存在所以对上述又, 0,),(baxMAANnmNMnAnmn11),(),()()(mmnnAAAAmnyyxfyyxfxuxudd .),(1mnAAyyxfd.,)7(上一致

23、收敛在因此级数ba变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.,),(.,),(| ),(|),(上一致收敛在则收敛若使得设有函数bacyyxfyygycbxaygyxfygcd,)d( 魏尔斯特拉斯M判别法魏尔斯特拉斯M判别法.32斯判别法魏尔斯特拉函数项级数的证明仿照P.d 上一致收敛在试证含参量反常积分),(01cos2xxxy 例例2 2.11cos,:22xxxyy1 对于任何证 02.,2d11收敛又xx上一致收敛在),(01cos2 d xxxy00.)0(的一致收敛性、试证xxexds

24、in练练习习2 2.0 ,:0 xexexx0sin证00.,0收敛又1dxex0.)00(一致收敛xxxedsin变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分;),(,),(,MyyxfbaxcNMbaxyyxfcNNcNcd 0, , d (i) 都有一切对一切实数即存在一致有界上对参量含参量积分对一切实数设狄狄利利克克雷雷判判别别法法.),(,),(,0 (ii)一致收敛于对参量时单调递减且当关于函数对每一个yxgxyyyxgbax.,),(),(上一致收敛在则含参量反常积分bacyyxgyxfd

25、 dcos.0)0(1收敛上一致在为常数证pxxxepx: :练练习习3 3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 dcos1.0)0(上一致收敛在为常数证pxxxepx: :练练习习3 3 .2sin1sindcos，一致有界证AxxA| ) 1 ( :1.(,) 1()2(0)001ppxpxxxexexx一致收敛于且对单减关于.别分一致收敛法知，该含参量反常积狄利克雷判由变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一

26、个重要组成部分 d (i) ;),(,上一致收敛设在bcyyxfa阿阿贝贝耳耳判判别别法法,),(,),(,一致有界且对参量的单调函数为函数对每一个yxgxyyxgbax (ii).,),(),(上一致收敛在则含参量反常积分bacyyxgyxfd .d 上一致收敛在试证含参量反常积分, 00sindxxxexy 例例3 3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分).(d , ,d 自学上不一致收敛在则处发散但在上收敛在又上连续在若试证),),(),),(,),),(:bacyyxfbxbacyyxf

27、cbayxf 例例4 4小结小结 1.了解含参量反常积分一致收敛的概念、柯西准则、充要条件了解含参量反常积分一致收敛的概念、柯西准则、充要条件; 2.了解不一致收敛的证明方法；了解不一致收敛的证明方法； 3.掌握掌握M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法。判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法。作业作业：P189, 1(1)(2)(3).变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、含参量反常积分的性质及其应用二、含参量反常积分的性质及其应用.,)(,),()()(,),),()(上连续在那么函数上一致

28、收敛在含参量反常积分上连续在区域函数如果连续性baxIbacyyxfxIcbayxfd ii i ) )( ( 19.919.9 定理定理.,)(,.,)(.),),(,),(),()(, )(1111上连续在性定理根据函数项级数的连续上连续在故每个上连续在又上一致收敛在级数的递增数列对任意趋于由定理证baxIbaxucbayxfbaxuAAyyxfxIcAAnnnnnnn . d 19.8, :cbayyxfcyyxfxxxxx.,),(),(000 ,dlimdlim :其结论也可写为变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力

29、系统接线组成中一个重要组成部分(15) d ,d iiid ii (i) cyyxfxIbaxIbacyyxfbacyyxfxIcbayxfyxfxxx.),()(,)(.,),()(,),()()(,),),(),(且上可微在那么函数上一致收敛在上收敛在上连续都在区域与函数如果可微性 ) )( ( 1 19 9. .1 10 0 定定理理 . dd 19.8,d19.3,d :上一致收敛在函数项级数定理由定理令递增数列对任意趋于证，由，,),(),()(),()(),()(, )(111111bayyxfyyxfxuyyxfxuyyxfxucAAnnAnAcxxnnnAnAxnAAnnnn变

30、电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.),(),()()()1 .13,40(1111 .13nnAnAcxxnnyyxfyyxfxuxIPdd 44定理定理求导定理根据函数项级数的逐项cyyxfxcyyxfx.),(),(dd :dd 其结论也就是变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(16) .dd dd d ii (i) cbabaxyxfycyyxfxbaxIbacyyxfxIcbayxf),

31、(),(,)(,),()()(,),),(且上可积在那么函数上一致收敛在上连续在区域函数如果可积性 ) )( ( 1 19 9. .1 11 1 定定理理.,)(,)(上可积在从而上连续在定理证由baxIbaxI19.9, :),1 .13(,)(,)()(,13 19.9定理分定理根据函数项级数逐项积上连续在项且各上一致收敛，在证明中得知又在定理baxubaxuxInnn证毕定理定理 dddd ddd d 3.),(),(),()()(116 .191111 .13cnbanAnAnnAnAbanbanbabaxyxfyxyxfyyyxfxxxuxxI变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电

32、线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 .dd dd ii.d d (i) caaxyxfycyyxfxbaxcyyxfdcayxyxfcayxf| ),(| ),(|:)(,),(,),(,),),),(与下列积分有一个收敛上一致收敛在任何闭区间对于上一致收敛在任何闭区间对于若上连续在区域设 1 19 9. .1 12 2 定定理理(19) .dd dd caaxyxfycyyxfx),(),(, 且敛则其中另一个积分也收变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线

33、组成中一个重要组成部分.d )( abpxxaxbxeIpx, 00sinsin计算 例5例5故，解：因bayxyxaxbxdcossinsin0.0bapxbapxyxyexxyxyeIdcosd)ddcos( .,00,上一致收敛在区间及因由收敛baxxyeMxeexyepxpxpxpxdcos dcos判别法,魏尔斯特拉斯bapxpxxxyeyIbaxye0,), 011.19,11.19dcosd cos定理积分换序值不变定理故由上连续在又Cbabxbbxaexbxeaxax22sincosdcosbapapbyypp.arctanarctan22d变电站电气主接线是指变电站的变压器、

34、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.sgn02sin02sinxxxxxaxadd 狄利克雷积分：证明 例6例6.0arctan0sin. 0. 00）（则中，令在例下面设时，原式解：当ppaxxaxebaapx d 0,5 )1,0dd00阿贝尔判别法单减且关于在连续在一致收敛一致收敛|,(sin0sinsinpxpxxaxxaxpxxaxpxexepxxepe.2arctanlim0sinlim0sin0,sinsgn00apaxxaxexxaxpxxaxeppxppx dd 0d从而上连续在变电站电气主接线是指变电站的变压

35、器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 .d 02xxeeIxx计算练练习习4 4 .)dd d 0(,2121212xteItexexeexttxtxxx故因解：),(11.19,1|00|), 02 , 1 0积分换序定理上一致收敛在关于得知，且由故根据上连续，在又因1,2 dd ,|txeexeeeetxxxxtxtx .dddd 21210212ln10ttttetxeItxtx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 .ds

36、in )( 000,baxmxxeeIbxax计算练练习习5 5. 0. 00mIm下面设时，：当 解解.00)0(.0, 0lim收敛收敛，从而，又连续被积函数在不是瑕点，故因xmxxxmxxxmxxbxeaxexbxeaxexbxeaxexbxeaxexbxeaxexdsindsin 0 sin1),|(0,|00,0,0000判别法收敛，时当又因一致收敛Mxeemxexmxexmxaaaxaxaaxaxxeeabxax1dsindsindsin.0,00022,)(),(1 .19均成立上式对任意性故根据由可微性定理aaxmxemamaIaxdsin 0Cbabxbbxaexinbxea

37、xax22cossinds变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.arctanarctan)( .arctan ,arctan)(0.arctand)(0dsin 22mambaImbCCmbbIbaCmaamaaIxmxxeebxaxm于是，得，有令积分得000,. 0. 00 xmxetxmxtexmxxeeIbamImtxbabatxbxaxdsinddsinddsin Th19.11 不妨下面设时，：当另另解解Cbabxbbxaaxexbxaxe22cossindsin)0(一致收敛连续，

38、xmxemxetxtxdsinsin.arctanarctanarctan2mambbamtbatmtmd 2变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分)269.,20022Pxexrxerxx见已知计算ddcos)( ( . 例7例7.0222收敛且证明xeerxexxxdcos .),(02上一致收敛在rxrxexdcos dsindcos ,00)(22xrxxexrxexrx dsin,0222收敛且xxexerxxexxx.),(02上一致收敛在rxrxxexdsin ).(ddsindsi

39、n 222121 ) ( limrxrxexrxrerxexrxxerrxrAxAxxATh000coscos|0)(222210.19 .20044ln222xxererrrd)(C ,C)( lnC,)(其中.422rer)( 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 . 20d ),0(0d0d 2222xeaxaeuexxau证明利用例题 . .40d1121 0d0d 0d0d 0d0d2 0d)( 2)1 (222222222得证取常值，证：xxaaexaexaeaIeaeIIxaeag

40、xaaxaaaxa变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 .d d ( 3上连续在证明习题利用),2),189.(0)(022)(xeyFxeyxxP练练习习6 6 .dddddd ( 上连续在上连续在上连续在从而证：),),),.2)(00)(000)(2222222yFtyeetyeeeuexeyFtttuyuyuyxutuuyxu变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.,),(),(),),(.

41、 含含参参量量反反常常积积分分常常积积分分含含参参量量x x的的无无界界函函数数反反简称为为则称积分瑕点的为函数的某项值若对上有定义在区域设函数函数的非正常积分简略提一下含参量无界 (25) d , , . dcyyxfyxfdyxdcbaRyxf.,并讨论它们的性质致收敛性判别法无界函数反常积分的一类似地可以讨论含参量 小结小结 1、了解含参量反常积分的性质、了解含参量反常积分的性质(连续性连续性,可微性可微性,积分性积分性)； 2、会利用含参量反常积分的性质计算定积分、会利用含参量反常积分的性质计算定积分。作业作业：P189, 2, 4(1)(2)(3).变电站电气主接线是指变电站的变压器

42、、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分3 3 欧拉积分欧拉积分(2) d , 0, 0,10)1 (),(11qpxxxqpBqp.,欧欧拉拉积积分分函函数数函函数数统称为和分别为 (1) d )( , 0,01sxexsxs含参量积分.下面讨论其性质它们在应用中经常出现 ,变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,),)(| )(|1),1| )(| )(|1),1| )(|,),0)(,)(babaxfxaxfpaxxxfxaxfp

43、axxxfuaaaxfpp且在任何定义在有限区间：设发散。时，且）当（收敛；时，且）当（则有上可积有限区间且在任何定义在：设章的第柯西判别法II柯西判别法II柯西判别法I柯西判别法Id2d111一、一、函数函数),()(1100111sJsIxexxexxexsxsxsxs ddd )(.时收敛在由柯西判别法，0)(ss变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.0)(并且可导内连续在定义域 , 1.ss.0)(.,0),1,(1),10,10(10)0(,111111111内连续在定义域连续上一致收

44、敛在收敛时，当一致收敛收敛时，当一致收敛上，在任何闭区间这是因为于是ssbaxexxexexexxxexxexexexxxexabaxsxbxbxsxsxaxaxsxsdd1ddd).0(0)().0(0,)0(,00(1)(111sxxexsssxxexsabaxxexxexnxsnxsxsxssd(ln )( dln )(dln)d 存在任意阶导数：同理从而上一致收敛在任何闭区间用同样方法变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 2.).() 1(sss：递推公式).() 1(,0100100,

45、sssxexsxexxexsexxexxsxsAxsAxsAxsA，即得令分部积分dddd ).()() 1() 1(, 10, 1nsnssssns nsn 递推得即设!.0!) 1 (12) 1() 1(nxennnnxd 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.函数的图象 3.)()()(在横轴上方且下凸，恒大于和sss00,s .)(lim,) 1(lim)(lim00sssssss.)2 , 1 (1)2() 1 (内，极小值点在 ).(s延拓 4.).0 , 1(,) 1()(ssss

46、.),1, 2(.)( 的其他形式s 5.02022121yysyxxseyxexsdd )( .0d2)21(2xex变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、二、函数函数 dd.)1 ()1 (),(1211121011xxxxxxqpBqpqp. 0, 0),(,0, 0,qpqpBqp定义域时两积分收敛由柯西判别法.0, 0),(内连续在定义域qpqpB 1.0, 0),(.,),(,10)1 (),()1 ()1 (, 0, 00011001111000000内连续在从而连续上一致收敛在

47、判别法由收敛且对任何于是qpqpBqqppqpBMxxxqqppxxxxqpqpqpqpd ).,(),(pqBqpB对称性 2. dd ).,(10)1 (10)1 (),(11111pqByyyxxxqpBqpyxqp证：变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(8) )( 3.1, 0),1,(11),(:qpqpBqpqqpB递推公式(9) )( 0, 1), 1(11),(qpqpBqppqpB )( 1, 1),1, 1()2)(1() 1)(1(),(qpqpBqpqpqpqpB ).

48、8(证：只需证.8 ).,(1)1,(1 10d)1)(1 (1 10d)1 (1)1 (10d)1 (),( 1, 0 211210111）得证（时，事实上，当qpBpqqpBpqxxxxxpqxxxpqpxxxxxqpBqpqppqpqpqp变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分的其它形式),(qpB 4.(10) d ,0cossin2),(21212pqqpB2cosx d ,0)1 (),(1yqppyyqpB211111)(dd,yyxyxyyx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电

49、线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三、三、 函数与函数与函数的关系函数的关系mxxmBm110) 1 ,(1d .)!1()!1()!1(1112211) 1 ,(112211) 1,(11),(nmmnmmnmnnmnmBmnmnnmnnmBnmnnmB (12) .)()()(),(,qpqpqpB一般地(11) .)()()(),(nmnmnmB即变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分四、补充例题四、补充例题 ).() 1 ( 1

50、 ,194.,)(2521P并求证明：例 . .1 1xex0d2故.2 .)(.0dcossin2cossin 10d)1 ()21,21(. 1) 1 () 1 ()()(),(2111sin2/ 12/ 1212121212/2tttttxxxBBtx又，.)()(4321212325利用例 . .2 2xxxsin)1 ()(：余余元元公公式式(4).-13 P195, d 0）（类似地计算.113xx)B(d)1dd00032,3131(3113111313213233uuutttxxttutx解：uttuuuuudd2)1 (11,. 332sin31) 1 ()()(313323