数学美欣赏-3.2--数学中的有限性.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学美欣赏-3.2-数学中的有限性第7讲数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出平面上有无数个点，而确定一个平面仅需要三个点(当然它们不共线)就可以一副扑克牌洗多少次才算最匀净? 答案是次(并非越多

2、越好，要知道一副扑克可能的排列方式有种，它大约为)美国哈佛大学的数学家戴柯尼斯和哥伦比亚大学的数学家贝尔发现了这一奥秘他们把张牌编上号，先按的递增顺序排列洗牌时分成两叠，一叠是，另一叠是洗一次后会出现这样的数列：，它是两组递增数列：，和，的混合此后再继续洗牌，若递增数列的组数多于时，这副牌已完全看不出原来的样子(顺序)计算表明，当洗牌次数为时，可实现上述效果(多于此数，过犹不及)再如广告，商家也许以为所做次数越多，效果越好，其实不然广告费用的投入与效果，遵循经济活动中著名的曲线(下图)，从图上可以看出：投入费用在某一段区间内时，广告最为有效. 另一方面，广告播出次数以次左右为最佳美国著名广告学

3、家克鲁曼认为：消费者是在漫不经心地接触广告：第一次只了解信息的大概，第二次开始关心广告的内容与自己是否有关，第三次便会对产品加深印象与了解广告以次为最佳，否则会无效或产生厌倦情绪和逆反心理三角形数的个数是无限的，但其中仅有六个是由同一数字组成的：()，()，()，()，()，() 又如棱锥数(金字塔数)：中， 仅有()和()是完全平方数， 这是1875年吕卡斯猜测的，直至1918年才由沃森给出证明 著名的斐波那契数列，中的完全平方数仅有，和这三项(由四川大学的柯召等人于1964年解决) 由前文我们知道，方程仅有一组非平凡的整数解，；方程, 即有且仅有，和三组正整数解 1842年，卡塔兰曾猜想：

4、和是唯一一对都是正整数幂的相继自然数(对于方幂中有一平方数的情形，被柯召于1962年解决；1976年Tiideman证明：若两相继自然数均为正整数幂，则每个正整数的幂均应小于常数，已证得). 是唯一一个夹在两个方幂52和33之间的整数，即方程仅有一组整数解而有两组整数解和；仅有一组整数解 欧拉早就指出：仅有一组整数解(此与卡塔兰猜想等价)；有三组整数解，和；但无整数解(形如的方程称为Modell方程，而称为Pell方程). 多面体千姿百态、种类繁多，欧拉却从中找出了它们的共性：对于(单连通面组成的)简单多面体(表面连续变形，可变为球面的多面体), 他在其顶点数、棱数和面数之间建立了一个等式：(

5、欧拉公式)在众多的场合下，它是适用的(上面括号内的文字已给出公式的适用范围)人们正是依据这一点证明了：正多面体(各个面都是全等的正多边形的几何体)仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 此外，与它们共轭的多面体(若两多面体的棱数相同，且其中一个的顶点数和面数, 恰好是另一多面体的面数和顶点数, 则这两个多面体互称共轭)也只有种, 它们每面的边数和交于一点的棱数，以及，的关系如下： 正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体) 正八面体及其共轭图形 正十二面体及其共轭图形 正二十面体及其共轭图形(正六面体) (正二十面体) (正十二面体)我们也知道：

6、平面上与单位圆(半径为的圆)相切的单位圆最多只能有个(它的证明不难)有人将问题推广到空间情形 起初(1694年), 英国天文学家格雷戈里猜测：一个单位球(半径为1的球)可与个单位球相切, 而牛顿则认为这个数目应是大约260年后(1953年)，许特和范德瓦尔登给出“至多可与个单位球相切”的论证1956年, 利奇又给了一个简化证明 顺便讲一句, 上述结论与自然界的某些现象与构造是协调的十九世纪，法国结晶学家布拉维利用群论的研究成果，确定了晶体仅有种可能的结构(这一点已被现代科学所证实), 这种有限种类的结构已被无限的自然界所认可完美矩形(用规格完全不同的正方块拼成的矩形)有无穷多种，但是阶数(即组

7、成它的小正方形个数)最小的完美矩形(阶)仅有两个(见下图，图中的数字表示该正方形边长) 考虑周长一定的毕达哥拉斯三角形的个数问题. 当个数为时，有周长是的情形存在: 三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形；当个数为时，在周长小于的情形中仅有例，其中最小者周长为，三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形 这类问题首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！ 数学中的有限性的另一层意思是：“项”与“个数”最少问题比如，我们前面提到的完美矩形的阶数最小是，完美正方形的最小阶数是等此外，还有许多此类问题，比如： 正方形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(1)；钝

8、角三角形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(2). 数学中的唯一性问题，是特殊的有限比如，两相交直线有唯一一个交点; 螺旋式三阶反幻方(各行、各列、各对角线上诸数和皆不相等)，不计其平移、旋转、反射等变换，其解是唯一的用同一种数字构造数、用同一种图构造图形，里面也含有单一问题这类问题在数学中有很多比如，平面的镶嵌问题，即问：用什么样的单一图形可以铺满(无缝隙、无重叠)平面(完美正方形也是一种镶嵌)?圆显然不行，因为圆与圆之间会有空隙最简单的图形恐怕要数正多边形了可是你想过没有，是否所有的正多边形都可以? 回答是否定的其实，只有三种正多边形正三角形、正四边形、正六边形能够铺满平面 通过简单的

9、计算， 我们不难证实这一点设正边形的内角为. 若它能铺满平面(如图), 则必有，使得. 由正多边形的内角公式, 代入上式,便有, 即，而只能是整数，这仅当时, 即为，时才可以做到(据说早在毕达哥拉斯时代, 人们对这个问题已有研究)我们知道, 平行四边形可以铺满平面, 梯形也可以(两个梯形可拼成一个平行四边形). 其实, 任何同样规格的四边形也都可以铺满平面 然而, 并非所有五边形皆可铺满平面对五边形而言，能用它们铺满平面的有种(1978年, 由沙特斯奈德发现). 第1种第2种 第3种第4种第5种第6种第7种 能铺满平面的一般六边形已发现三种(1918年, 由莱因哈托发现). 铺地问题实际上也是

10、用有限去表示无限问题的变形或另一种提法. 无限中的有限是数学中的美现象，而有限中的无限，同样是数学特有的美就拿数来讲，前文我们讲过：虽然数的概念不断扩大：但人们只须用这十个数码，至多加上某些符号，如“+”、“-”、“”(小数点)，等，就可以将全部数表达出来，正如外语中用有限个字母表达无限的语汇 早在一千多年以前，我国就出现了一种广泛流传于民间的数学游戏七巧板它是我们的祖先运用面积的分割和拼补的方法，以及有相同组成成份的平面图形等积的原理研究并创造出来的七巧板是由尺寸互相关联的一对大直角三角形、一对小直角三角形、一个中直角三角形、一个正方形和一个平行四边形所组成的用七巧板可以拼出形状不同的人、动

11、物以及其它物体的造型它对于锻炼人们的智力和培养人们的思维想象能力、审美观点是十分有益的. 甚至在今天，这种数学游戏仍具有很高的品位(比如，它已做成了游戏机软件)七巧板的制做步骤如下： (1)在所选材料(如薄纸板)上画出一个正方形，并作出它的对角线(图1) (2)分别找出和的中点，连接(图2) (3)过作的垂线, 与交于，与交于(图3)(4)过作，过作(图4). 最后，沿图中所做的线段依次进行分割，即得七巧板七巧板传到西方后，国外称之为“唐图”上个世纪80年代还有人对它的数学原理、性质进行探讨，得出许多结论例如,“一副七巧板只能拼出种不同的凸多边形”等. 再回到铺地问题，其实, 有些不规则的图形

12、也能铺满平面有意思的是, 下面的图案也可以镶嵌(铺满)平面(包括前面对称一节中给出的骑士图案也可以铺满平面，它是荷兰画家埃歇尔的作品)如前所述，这些图形从拓扑变换观点看都是等价的 我们想再强调一点，这里的有限性是指那些貌似无限而实则有限的数学现象几十年前，赫柴德征解字谜算式的解(你也许以为它的解很多)，想不到它仅有一组：但验证工作(只靠手算进行)并不轻松，直到新近才由罗素等人借助于计算机(在几分钟内)完成 这里, 我们还想讲一件有趣的事公元三世纪，丢番图在其所著算术中指出：分数, , , 中任何两数之积再加，必是某个分数的平方例如, . 大约1400年后, 费马发现：整数，中任意两数之积再加都

13、是完全平方数. 例如, . 500多年以后，有人又旧话重提1969年, 英国数学家大卫鲍特和马凯尔证明：使、中的任何两数之积再加后是完全平方数的仅有一个稍后人们发现：若是斐波那契数列，,的第项，则，中的任意两数之积再加均为完全平方数. 例如，时，于是，. 我们多次讲过, 研究丢番图方程(不定方程)的目的，是研究其整数解问题. 这类方程尽管有时有许多解，但只有在某些特殊情况下的解才是整数 1942年，挪威数学家利翁格证明：方程仅有两组整数解：，和，这个结论是令人奇怪和吃惊的, 因为早在1657年，费马曾指出另外一类不定方程的解的个数问题：Pell方程在是正的非完全平方数时有无穷多个解 真是差之毫

14、厘，缪之千里！再如，前面我们曾提到过卡塔兰猜想，它的另一种表达方式是：(，为整数)仅有，一组整数解 1967年，霍尔提出另一猜想：(，为整数，为质数)仅有，一组解此问题至今未获证(尽管这些方程模样相似) 再如，人们仅找到方程的四组整数解：、和米勒尔和伍莱特对于时的情况进行了验证. 方程仅有、和三组解, 至今也未获证. 考察下面的等式(我们已说过，它们的形式是自然、顺序、流畅和优美的):，. 它们的左边分别是二项和三项连续自然数的方幂和, 右边为左边的后继连续自然数的方幂. 具有这种性质的等式还有吗? 回答却是否定的，尽管这个问题尚未完全解决 上世纪40年代末，鲍文猜测：对于自然数和来讲, 等式

15、仅有自然数解, , 即. 唯一性在数学上有时是很重要的比如，整数的质因数分解是唯一的例如，可以唯一地分解为. 形如(是自然数)的数称为费马数. 当时，分别为、和，它们均为质数(称为费马质数). 费马曾猜想：对所有的自然数，均为质数1732年，欧拉指出,已不再是质数，从而推翻了费马猜测1880年, 兰德利发现是合数：且，. 至于有些费马数，人们仅证明了它是合数，或只找到其部分因子. 比如:1787年, 俄国一位数学家证明：有因子114689(即)，有因子167772161(即)1886年, 泽尔霍夫发现：有因子2748779069441(即)莫尔罕德和威斯顿早在1905年和1909年便证得和为合

16、数，但它们的因子直到1971年和1975年才找到1971年, 布端汉特和莫瑞森在IBM36091大型计算机上, 花了小时, 找到位的的两个因子：一个位，一个位1981年, 布瑞特和波拉特在IBMll0042计算机上, 花了小时, 找到的一个位的因子. 此后, 维利亚斯又找到了另一个位的因子1987年, 汉堡大学的凯利运用筛法, 在计算机的帮助下, 找到了(它有位)的一个因子此后，罗伯逊找到了的一个素因子1990年, 美国数学家莱斯特拉和莱斯特拉分解了. 同年，澳州大学的布瑞特分解了. 1992年，里德学院的科兰达尔和杜尼亚斯证明了是合数令人费解的是, 迄今为止, 人们仅知道上面五个费马质数关于

17、费马数的研究现状见下表.费马数中是否有无穷多个质数? 或无穷多个合数? 这一点至今仍未获解决(迄今为止，人们找到并证明的最大费马合数为, 它有大约位)令人惊奇的是，高斯证明了：如果是质数，则正(包括它们和的方幂乘积)边形可用尺规作图完成, 同时，他给出了正边形的尺规作法此后，黎西罗完成了正边形的尺规作图，过程叙述达80页海默斯花了10年完成了正边形的作图据说海默斯的手稿有整整一手提箱，且至今仍保存在哥廷根大学的图书馆内 数依照某种预定的程序反复运算的结果似乎是无限多种, 但有时却是例外. 任给一个数，按照某个预定的模式计算，结果可以是有限种(这一点可用计算器去核验，比如敲键，无论从哪个数开始，

18、反复数次后结果必定为)令人觉得不解的是：对于这些结论中的某些, 至今未能找到它的证明(尽管它们也许看上去很不起眼)，同时也未能给出推翻它的反例. 二次世界大战前后，在美国的一个叫叙古拉的地方, 流传着一种数学游戏. 后来它被传到欧洲，曾在那儿风靡一时, 后来又被日本数学家角谷带回日本游戏是这样的：任给一个自然数，若它是偶数, 则将它除以；若它是奇数，则将它乘以后再加，如此下去，经过有限步骤后，它的结果必为 (它被称为问题). 有人用计算机对小于的自然数进行验算，结果无一例外但这个貌似简单的游戏至今未能为人们证明对上面的游戏稍稍修改：任给一个自然数，若它是偶数，则将它除以；若它是奇数，则将它乘以

19、后再减，如此下去，经有限次步骤后，它的结果必然是，或者落入下面两个循环圈之一内.例如： 这一点至今也未获证，尽管有人对小于的自然数一一作了验算 简单的数字运算导致的有趣现象(掉进“旋涡”或落入“黑洞”，这的确是一种奇妙的美)还有许多，这里不妨再举几例.求一个自然数的各位数字的平方和，可以得到一个新数；再求这个新数的各位数字的平方和，又得一个新数，如此下去，经有限步骤后，结果必为或进入下列循环圈.例如：求数字的立方和运算也会出现类似的现象，即数字立方和运算经有限步后，结果为，或，或进入下面四个循环圈中.整数排序后的简单减法运算同样会出现数字黑洞. 任给一个四位数(它们各位数字不全一样)，先将组成

20、它的各位数按从大到小排成一个数，然后再减去由这些数字从小到大排成的四位数(前面数的逆序数)，对所得的差仍按上面的方式运算，经有限次(不超过次)运算后，结果必为比如这个数，按上面规则运算结果为：继续算下去, 则总得. 这种运算称为卡布列克运算对于两位数(它们的数字不全相同，下面诸情况类同)，卡布列克运算的结果为进入下列循环圈：例如, 对, 有对于三位数，卡布列克运算的结果是例如, 对, 有五位数的卡布列克运算稍复杂，但它最终进入下面三个循环之一.六位数的卡布列克运算的结果是：1930年，意大利数学家杜西发现：在一个圆的四周任写四个整数(如左下图，)，再将相邻两数之差的绝对值写到与之同心的圆外面，如此下去，最后总可得到四个一样的数注意，圆的四周的数字个数必须是个，否则会有意外比如，对于六个数，结论有时不真，请看右下图：运算两步后便回到初始状态(产生循环)-