极坐标与参数方程基础知识附重点题型.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date极坐标与参数方程基础知识附重点题型高中数学回归课本校本教材24高中数学回归课本校本教材24 （一）基础知识 参数极坐标1.极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，。2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M,倾斜角为常见的等量关系：正弦定理，；（2）圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（3）圆锥曲

2、线极坐标：，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程表示的曲线是 双曲线3.参数方程：（1）圆的参数方程： （2）椭圆的参数方程：（3）直线过点M,倾斜角为的参数方程：即，即注：，据锐角三角函数定义，T几何意义是有向线段的数量；如：将参数方程为参数化为普通方程为 将代入即可，但是；4. 极坐标和直角坐标互化公式： 或，的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合. （2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5. 极坐标的几个注意点：（1）极

3、坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点) 如：已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程。如：已知抛物线，以焦点F为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即。（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足如：已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当为何值时，MN与椭圆短轴长相等？ （3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为。（1）将上述曲线方程化为普通方程；（2）若点是该曲线上任意点，求的取值范围

4、。（二）基本计算1.求点的极坐标：有序实数实数对,叫极径，叫极角；如：点的直角坐标是，则点的极坐标为 提示：都是点的极坐标.2. 求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P；（3）写出等式；（4）根据几何意义用表示上述等式，并化简（注意：）；（5）验证。如：长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为，求点的轨迹的极坐标方程（轴为极轴），再化为直角坐标方程.解：设点的极坐标为，则，且，点的轨迹的极坐标方程为.由可得， 其直角坐标方程为.3.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹最基本的方法.待定系数法：可先根据条件

5、设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程代入法(相关点法或转移法). 如：从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点的极坐标为,圆上的动点的极坐标为由题设可知,将其代入圆的方程得:.定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；T几何意义是有向线段的数量；如：已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于A B两点，则AB最小值为 提示：设倾斜角为，

6、则或AB=，则， 令，所以，注意：本题可以取倾斜角的补角为 如 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和， ， .线段的长度为16.5.参数方程的应用-求最值： 如：已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。.（2） .如：在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为， 当，即时，此时所求点为.C.选修4 4 参数方程与极坐标已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合。若曲线C1的方程为，曲线C2的方程为。（1）将C1的方程化为直角坐

7、标方程；（2）若C2上的点Q对应的参数为，P为C1上的动点，求PQ的最小值。提示：（1）（2）当时，得，点到的圆心的距离为(图)xBAOP，所以的最小值为 在极坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(2，)，B(，)的圆的极坐标方程解：设是所求圆上的任意一点，则， 故所求的圆的极坐标方程为 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为.（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知为椭圆上一点（已知曲线C的参数方程为，）求到直线的距离的最大值.解：（1）直线l的极坐标方程，则，即，所以直线l的直角坐标方程为； （2）P为椭圆上一点，设，其中，则P到

8、直线l的距离，其中所以当时，的最大值为 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系解：消去参数，得直线的直角坐标方程为； 即，两边同乘以得，得的直角坐标方程为：, 圆心到直线的距离，所以直线和相交已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.解：（1）曲线的极坐标方程可化为 又,所以曲线的直角坐标方程为（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 令,得,即点的坐标为(2,0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，则 所以-