正多边形和圆讲义学案.doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date正多边形和圆讲义学案正多边形和圆讲义学案正多边形和圆(一)一内容综述正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法,是本单元的重点。实际上,这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积,则有:b5E2RGbCAPn= ;an=2Rnsin ;rn=Rncos ;+ ;Pn=nan;Sn= Pnrn;Sn= n s
2、in .因为一个三角形的面积为: hOB)p1EanqFDPw注意两点:1、构造直角三角形弦心距、边长的一半、半径组成的)求线段之间的关系等; 2、准确记忆相关公式。DXDiTa9E3d在圆的有关计算中,如果用R表示圆的半径,n表示弧或弧所所对的圆心角的度数,L表示弧长,则有:圆周长:C=2R。弧长:L= 圆面积:S=R2扇形面积:S扇形= = LR弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理: RTCrpUDGiT 1)当弓形所含弧为劣弧时,S弓=S扇-S 2)当弓形所含弧为优弧时,S弓=S扇+S 3)当弓形所含弧为半圆时,S弓= S圆圆柱与圆锥的侧面积可以
3、转化为计算侧面展开图的面积5PCzVD7HxA二例题分析:例1.正六边形两条对边之间的距离是2,则它的边长是= RP.说明:圆的外切=30, OC= OA= R, r= (OD-OC= (R- R= R,EmxvxOtOco又O1的周长=2r=2R= R,O1的周长等于弧长的 .例5.已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,AOB=120,求阴影部分面积S阴影ABC.分析:欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差,观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-SACO,故可求得. 解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-SACO,而S扇形OAB=
4、=12(cm2, SACO= 63sin60= (cm2, S阴影ABC=(12- cm2. SixE2yXPq5说明:求阴影部分的面积,最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差,以上为例,S阴影可以折分为S扇形OAB与SDAOC的差,也可以折分为SDABC与S弓形AB的和,但因为这两个面积,求起来较繁锁,所以到底用哪种方法,要有所选择。6ewMyirQFL例6.如图,若正六边形的面积为6 ,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.分析:如下图,线段OC是正六边形的边心距,由内接正三边形的边长,则线段OC可以将两图形联系起来。解:如图,设AB是正六边形的一条边长,C点为切点,C
5、D为正六边形内切O的内接正三角形的一条边长,过O点作OECD于E,分别连结OA、OB、OC、OD. OC=R,AB=a6,BC= a6,BOC=30,CD=a3,CE= a3,OE=r3,COE=60, S6=6SOAB, S6=6a6OC=6 , OC=BCcot30, OC= a6, 6a6a6=6 , a6=2,OC= , OE=OCcos60, OE= , CE=OCsin60, CE= , CD=2CE=3,S3=3CDOE,S3=33= .说明: (1此例涉及到正多边形的有关计算,其中涉及的是正六边形与正三角形. (2因此例的条件中涉及到正六边形的内切圆及内切圆的内接正三角形,所以
6、它有一个图形之间相互转化问题,即正六边形的边心距是正三角形的半径,这种转化可以沟通两个正多边形之间的关系.kavU42VRUs例7.如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+ 和16 ,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积 解:连结OP, PA、PB分别切O于A、B,OAP=OBP=90,又PA=PB,AO=BO RtPAORtPBO, RtPAO的面积= 四边形PAOB的面积=8 .又RtPAO的面积= AOPA, OAPA=16 .已知OA+PA= 8(1+ =4(1+ . OA、PA为方程x2-4(1+ x+16 =0的两
7、根,解得x1=4,x2=4 ,但AOB是钝角, PAOA, PA=4 ,OA=4.在RtPAO中,tanPOA= = .POA=60,AOB=120,扇形OAB的面积= 42= . 劣弧AB与两切线所夹部分的面积为16 - .说明:求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP的面积去掉扇形AOB的面积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形.y6v3ALoS89例8.如图,AOB=90,ACOB,OA=1, 是以O为圆心的弧, 是以A为圆心的弧,求图中阴影部分ABC的面积.分析:思考怎样转化为规则图形的面积运算?规则图形的面积如何计算?解:连结AB, AOB为等腰直角三角形
8、, AB= ,C=90,OA=OB=1, S扇形OAB= R2= ,S扇形ABC= ( 2= ,S弓形AmB=S扇形OAB-SAOB= - AOBO= - .S阴影=S扇形ABC-S弓形AmB= -( - = 说明: 1)求阴影部分的面积,涉及到扇形、圆形、弓形、梯形、三角形面积及弧长、周长等知识。 2)进行分析时,一般注意: 第一:求阴影部分的面积,因不是一个规则的图形,不易直接求,需要从整体结构进行分析,将图形分解,转化为规则的能操作的基本图形,运用好面积的割补方法。 第二:求阴影部分的面积,可转化为先求空白部分的面积,再进行面积的加减运算。M2ub6vSTnP测试选择题1已知两圆的直径分
9、别为20cm和8cm,一条外公切线为8cm,则这两圆的位置关系是) A、相离 B、外切 C、相交 D、内切0YujCfmUCw2下列说法正确的是) A、各边相等的圆外切多边形是正多边形; B、任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形; C、任何一个正多边形绕中心旋转 ,都与原来的正多边形重合; D、任何正多边形都相似。eUts8ZQVRd3如果一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 ,则这个正多边形的边数为) A、16 B、18 C、20 D、22sQsAEJkW5T4正六边形的边长为1,则它的面积为) A、3 B、2 C、3 D、 5正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是) A、1
10、 B、2 C、 1 D、 2 GMsIasNXkA6如图,已知点A在两个同心圆的大圆上,ABC是小圆的割线,且ABAC=8,则圆环的面积为 ) A、4 B、8 C、12 D、16TIrRGchYzg7扇形的周长为28cm,面积为49cm2,则它的半径为cm D、7 cm7EqZcWLZNX8扇形的圆心角是150,面积是60cm2, 则扇形的弧长为) A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm lzq7IGf02E9正三角形的边心距、半径和高的比是) A、123 B、1 C、13D、12zvpgeqJ1hk10如图3,大的半圆的弧长为 a,n个小圆的半径相等,且互相外切,其直径之和等于大
11、半圆的直径,若n个小半圆的总弧长为b, 则a与b之间的关系是2+82=36+64=100, O1O2=10,R+r=14, R-r=6, 则R-rO1O2180,则一个外角度数为 ,一个内角 , fjnFLDa5Zo= n=22。 6.如图:作AE切小圆于E,连AO,OE,则AE2=ABAC=8,S圆环=OA2-OE2=(OA2-OE2=AE2=8。7.设扇形半径为R,圆心角为n, tfnNhnE6e5则 解得R=7。 8.解: =60, R=12,l= =10。 9.解:如图2,OD是正 三角形的边心距,OA是半径,AD是高,设OD=r,则AO=OB=2r, AD=3r, ODBOAD=r2
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