柯西不等式的证明与应用.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date柯西不等式的证明与应用柯西不等式的证明及其应用 柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用Summary： Cauchys inequa

2、lity is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to

3、 the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设则当数组a1，a2，an ,b1

4、，b2，bn不全为0时，等号成立当且仅当.柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设 ,等号成立当且仅当变式2 设ai,bi同号且不为0（i=1，2，n）则,二、柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因为所以，即即当且仅当即时等号成立。2）利用判别式证明（构造二次函数法）若，则此时不等式显然成立。若，构造二次函数对于xR恒成立，所以此二次函数的判别式0，即得证。3）用数学归纳法证明i）当时，有，不等式成立。当n=2时，。因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设时不等式成立。即当且仅当时等号成立。那么当时， 当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是时不等式成立。由i）i

5、i）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。4）用向量法证明设维空间中有二个向，其中为任意两组实数。由向量的长度定义，有|, 又由内积的定义， ,其中是,的夹角，且有。因|，故，于是|即当且仅当|时，即与共线时等号成立。由,共线可知即由以上，命题得证。5) 利用均值不等式当=0时不等式显然成立当0柯西不等式可化为1 。由均值不等式可知=1即1当且仅当时等号成立。从而柯西不等式得证。而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到。三、柯西不等式的应用：1）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。例3.1.1已知 abcd，求证

6、：。证 因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)0,由柯西不等式知=(a-b)+(b-c)+(c-d) =9从而。例3.1.2：已知， 求证： 证法一：（常用证法） 把上面个不等式相加，得即 证法二：（利用柯西不等式来证明） 分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：由柯西不等式（A）有两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例3.1.3：设（i=1，2，n）且，求证：5 证 注意到恒等式=，只需要证明即上式左边=，得证。例3.1.4：设实数, 满足0,b ,c求证证 因为a0,由均值不等式得= =同理可得 ，故 由柯西不等式可知从而=又=6+故2即2当且仅当时等号成立。例3.1.5：已知为

7、互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式。证明：由柯西不等式： 于是。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的数不小于，最大的不小于，这样就有。所以有。因为而所以有。例3.1.6：设，则证明：5证明：由柯西不等式，对于任意的个实数，有即于是。例3.1.7:设，则。5证 由柯西不等式变式1，得左边= =例3.1.8（第42届IMO预选题）设是任意实数。证明：.证 由柯西不等式，对于任意实数有令=，k=1，2，n.因此原不等式转换为证明1当k2时，有=-当k=1时，1-，因此1-1.故原不等式得证。例3.1.9设，则 .5证 由柯西不等式，得左边=-=例3.1.10.若n

8、是不小于2的正整数，试证： 5证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是： 又由柯西不等式有0，现在我们作如下代换，原不等式等价于，然而我们知道=1（为什么？），故其等价于2.接下来，我们做另一个代换，则不等式等价于1=或者。因此我们只需证明其中。这是很容易的，我们应用均值不等式可以推导出现在我们应用柯西-施瓦茨不等式来证明内斯比特不等式。（内斯比特）对所有的正实数，我们有证明9 应用柯西-施瓦茨不等式我们有，它可变形为或者这里有一关于问题12简短的证明（伊朗1998）证明对所有的1若=2则有方法2我们注意到 。我们应用柯西-施瓦茨不等式则有问题18证明对所有实数有：解 ：我们可以得到如下等式和

9、不等式链= （柯西-施瓦茨不等式） = （均值不等式） （柯西-施瓦茨不等式） =使用证明柯西- 施瓦茨不等式同样的想法，我们发现了一个自然推广：定理15 设为正实数，我们有证明：由于是齐次不等式，同定理11的证明一样，我们可令或者=1,.,n).则不等式变形为或者故足以证明对所有的当有。完成证明后，可以得到如下类似不等式：定理16（均值不等式）设为正实数，则有。证明： 由于不等式是齐次的，我们可以重新调整使得。因此我们只需证明。可以通过对的归纳来证明：当=1时，显然成立；当=2时，我们有.现在我们假设对所有的正整数时，不等式成立。同时令为满足=1的正实数，我们可以假设。（为什么？）由归纳假设

10、可知我们有，因此，只需证明然而我们有下面的简单观察不是很麻烦：设及N。令，对应用均值不等式我们可以得到或者。故对所有正有理数，当我们会有我们马上可以得到定理17 设，0，满足，则对所有0我们有。证明 我们可以选择一正有理数列使其满足，同时令，则有，从前面的观察我们有两边同时取极限我们就可以得到结论。稍微修改上面的结论，我们可以得到定理18 （加权均值不等式）设为正实数，且满足。则对所有我们会有。回想一下应用均值不等式来推导定理12的过程，是对柯西-施瓦茨不等式的概括，因此通过加权均值不等式，我们得到加权的柯西-施瓦茨不等式。把它叫做赫尔德不等式：定理19 （赫尔德）设为实数，为正实数且满足则有。证明：由于不等式是齐次的，同定理12的证明一样，我们重新调整使得其满足对任意，则我们只需证明或者。由加权均值不等式可得 然而我们容易得到。-