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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date正方形综合试题选正方形综合试题选 正 方 形 综 合 试 题 选1如图,直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A,过点B作BEMN于点E,过点C作CFMN于点F,当直线MN经过点D(如图1)时,易证:AF+CF=2BE当直线MN不经过点D时,线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择图(2)、图(3)中的一种情况给予证明2已知四边形ABCD中,A
2、B=BC,ABC=120,MBN=60,MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F当MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;当MBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明3(本溪二模)已知直线l经过正方形ABCD的顶点A,过点C作CE直线l于点E,连接BE(1)如图1,当直线lBC时,CE+AE= BE;(2)如图2,当直线l绕着点A,逆时针旋转到如图位置时,请判断线段BE、AE、CE三者数量关系,并证明;(3)如图3,当
3、直线l绕着点A,逆时针旋转到如图位置时,请补全图形并判断线段BE、AE、CE三者数量关系,不必证明4(天桥区一模)如图1,正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上,连结AD、CF,此时AD=CFADCF成立(1)正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图2,试判断AD与CF还相等吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由(2)正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,求证:ADCF(3)在(2)小题的条件下,AD与OC的交点为G,当AO=3,OD= 时,求线段CF的长5如图,四边形ABCD是正方形,点G是直线BC上的任意一点,DEAG于点E,BFDE,交AG于F(1)
4、当点G在线段BC上时,如图1,求证:DE-BF=EF;(2)当点G在线段CB的延长线上时,如图2,判断线段DE、BF、EF之间的数量关系是; (3)在(2)的条件下,连接AC,过F作FPGC,交AC于点P,连接DP,若ADE=30,GB= ,求DP的长6(黑龙江)正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OEMN于点E,过点B作BFMN于点F(1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明)(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明
5、7(盐城)如图所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1l于点D1,过点E作EE1l于点E1(1)如图,当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合),试说明DD1=AB;(2)在图中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由;(3)如图,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系(不需要证明)8(黔南州)如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AEEF,BE=2(1)求E
6、C:CF的值;(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;(3)在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由9(青海)如图(*),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,AEF=90,且EF交正方形外角平分线CF于点F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题(1)探究1:小强看到图(*)后,很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但ABE和ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,
7、连接EM后尝试着去证AEMEFC就行了,随即小强写出了如下的证明过程:证明:如图1,取AB的中点M,连接EMAEF=90FEC+AEB=90又EAM+AEB=90EAM=FEC点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点AM=EC又可知BME是等腰直角三角形AME=135又CF是正方形外角的平分线ECF=135AEMEFC(ASA)AE=EF(2)探究2:小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论(3)探究3:小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”
8、,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由10(锦州)已知:在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)以AD为边作正方形ADEF,连接CF(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:BDCFCF=BC-CD(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其它条件不变:请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究A
9、OC的形状,并说明理由(4)在(3)的条件下,AD与AB满足什么条件时?AOC是等边三角形.11(黑龙江)在ABC中,BAC=90,AB=AC,若点D在线段BC上,以AD为边长作正方形ADEF,如图1,易证:AFC=ACB+DAC;(1)若点D在BC延长线上,其他条件不变,写出AFC、ACB、DAC的关系,并结合图2给出证明;(2)若点D在CB延长线上,其他条件不变,直接写出AFC、ACB、DAC的关系式12(东营)(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE求证:CE=CF;(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果GCE=
10、45,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,在直角梯形ABCD中,ADBC(BCAD),B=90,AB=BC,E是AB上一点,且DCE=45,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积13(永州)探究问题:(1)方法感悟:如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足EAF=45,连接EF,求证DE+BF=EF感悟解题方法,并完成下列填空:将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:AB=AD,BG=DE,1=2,ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180,因此,
11、点G,B,F在同一条直线上EAF=452+3=BAD-EAF=90-45=451=2,1+3=45即GAF= 又AG=AE,AF=AFGAF =EF,故DE+BF=EF(2)方法迁移:如图,将RtABC沿斜边翻折得到ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且EAF= DAB试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想(3)问题拓展:如图,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足EAF= DAB,试猜想当B与D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想(不必说明理由)14(营口)已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边
12、所在直线上,且随着点P的运动而运动,PE=PD总成立(1)如图(1),当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明);(2)如图(2),当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图(3),当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)15(咸宁)(1)如图,在正方形ABCD中,AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求EAF的度数(2)如图,在RtABD中,BAD=90
13、,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且MAN=45,将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由(3)在图中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3 ,求AG,MN的长16(阜新)如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PB=PE,连接PD,O为AC中点(1)如图1,当点P在线段AO上时,试猜想PE与PD的数量关系和位置关系,不用说明理由;(2)如图2,当点P在线段OC上时,(1)中的猜想还成立吗?请说明理由;(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,请你在图3中画出相应的图形(
14、尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),并判断(1)中的猜想是否成立?若成立,请直接写出结论;若不成立,请说明理由17(赤峰)如图(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F,交BC的延长线于点N,FNBC(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,ECF的面积为y求y与x的函数关系式;当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值18(天水)在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B、D作BEPA、DFPA,垂足分别为E、F,如图(1)请探究BE、DF
15、、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?若点P在DC的延长线上,如图,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢,如图,请分别直接写出结论;(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明19(义乌市)如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2,如图3情形请你通过
16、观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断;(2)将原题中正方形改为矩形(如图4-6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(ab,k0),第(1)题中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由;(3)在第(2)题图5中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值20(海南)如图,在正方形ABCD中,点F在CD边上,射线AF交BD于点E,交BC的延长线于点G(1)求证:ADECDE;(2)过点C作CHCE,交FG于点H,求证:FH=GH;(3)设AD=1,DF=x,试问是否存在x的值,使ECG为等腰三角形?若存在,请求出x
17、的值;若不存在,请说明理由21(大连)如图,小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:“在正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且FAE=EAD,那么EFAE”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图、图、图),其它条件不变,发现仍然有“EFAE”结论你同意小明的观点吗?同意,请结合图加以证明;若不同意,请说明理由22(大连)如图,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CGBC),取线段AE的中点M探究:线段MD、MF的关系,并加以证明说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某
18、种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程后,可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明注意:选取完成证明得10分;选取完成证明得7分;选取完成证明得5分DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45(如图),其他条件不变;在的条件下,且CF=2AD附加题:将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图),其他条件不变探究:线段MD、MF的关系,并加以证明23(东城区一模)阅读下面材料:小炎遇到这样一个问题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,EAF=45,连结EF,则EF=BE+DF,试说明理由小炎是这样思考的:要想
19、解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,最后发现线段AB,AD是共点并且相等的,于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG,再利用全等的知识解决了这个问题(如图2)参考小炎同学思考问题的方法,解决下列问题:(1)如图3,四边形ABCD中,AB=AD,BAD=90点E,F分别在边BC,CD上,EAF=45若B,D都不是直角,则当B与D满足 关系时,仍有EF=BE+DF;(2)如图4,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D、E均在边BC上,且DAE=45,若BD=1,EC=2,求DE的长24(本溪一模)如图,四边形AB
20、CD、BEFG均为正方形,(1)如图1,连接AG、CE,试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明;(2)将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角(0180),如图2,连接AG、CE相交于点M,连接MB,当角发生变化时,EMB的度数是否发生变化?若不变化,求出EMB的度数;若发生变化,请说明理由(3)在(2)的条件下,过点A作ANMB交MB的延长线于点N,请直接写出线段CM与BN的数量关系: 25.(密云县一模)已知:正方形ABCD中,MAN=45,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N(1)如图1,当MAN绕点A旋转到BM=DN时,有BM+DN=MN当MAN绕点A旋
21、转到BMDN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并证明(3)若CN=6,BM=2,求正方形ABCD的边长26(怀柔区一模)探究:(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且EAF=45,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果: (2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,B+D=180,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF= BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若
22、成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;(3)在(2)问中,若将AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明27(莆田质检)在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M是AD边的中点,P是AB边上的一个动点(不与A、B重合),PM的延长线交射线CD于Q点,MNPQ交射线BC于N点(1)若点N在BC边上时,如图1求证:PN=QN;请问 是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请举反例说明;(2)当PBN与NCQ的面积相等时,求AP的值28(高淳区一模)在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交
23、于点O,设锐角AOB=,将DOC按逆时针方向旋转得到DOC(0旋转角90)连接AC、BD,AC与BD相交于点M(1)当四边形ABCD为矩形时,如图1求证:AOCBOD(2)当四边形ABCD为平行四边形时,设AC=kBD,如图2猜想此时AOC与BOD有何关系,证明你的猜想;探究AC与BD的数量关系以及AMB与的大小关系,并给予证明29(宝安区二模)如图1,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,且P是线段DF的中点,连接PG,PC(1)如图1中,PG与PC的位置关系是 ,数量关系是 ;(2)如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形B
24、EFG”其它条件不变,求证:PG=PC;(3)如图3,若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,P是线段DF的中点,连接PG、PC,且ABC=BEF=60,求 PG:PC的值30在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中点,点E是线段AB上一动点,连接EM并延长交线段CD的延长线于点F(1)如图1,求证:ME=MF;(2)如图2,点G是线段BC上一点,连接GE、GF、GM,若EGF是等腰直角三角形,EGF=90,求AB的长;(3)如图3,点G是线段BC延长线上一点,连接GE、GF、GM,若EGF是等边三角形,则AB= 31
25、如图,四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形,连接AE,M是AE的中点,连接MD、MF探究线段MD、MF的关系,并加以说明说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,你可以从下列(1)、 (2)中选取一个补充已知条件,完成你的证明注意:选取(1)完成证明得10分;选取(2)完成证明得7分如图2,正方形CGEF的对角线CE与正方形ABCD的边BC在同一条直线上;如图3,正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,CF=2AD32如图1,若四边形ABCD、GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AGCE(1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时,AG=CE是否
26、成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;(2)当正方形GFED绕D旋转到B,D,G在一条直线(如图3)上时,连结CE,设CE分别交AG、AD于P、H求证:AGCE;如果,AD=25 ,DG=10 ,求CE的长33【观察发现】如图1,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,且点E在边AB上,连接DE和BG,猜想线段DE与BG的数量关系,以及直线DE与直线BG的位置关系(只要求写出结论,不必说出理由)【深入探究】如图2,将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度,其他条件与观察发现中的条件相同,观察发现中的结论是否还成立?请根据图2加以说明【拓展应用】如图3,直线l上有两个动点A、
27、B,直线l外有一点O,连接OA,OB,OA,OB长分别为 、4,以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD,连接OD随着动点A、B的移动,线段OD的长也会发生变化,在变化过程中,线段OD的长是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由(线段OD长的最大值为8)34(济宁三模)如图1,ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BDCF成立(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转(090)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时,如图3,延长BD交CF于点G求证:B
28、DCF;(3)在(2)小题的条件下,AC与BG的交点为M,当AB=4,AD= 时,求线段CM的长35.(德州)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG(1)求证:EG=CG;(2)将图中BEF绕B点逆时针旋转45,如图所示,取DF中点G,连接EG,CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)将图中BEF绕B点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明)36.(黑河/东营)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFAB
29、交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EGCG(1)将BEF绕点B逆时针旋转90,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想(2)将BEF绕点B逆时针旋转180,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明37.(农垦牡丹江管理局)已知ACD=90,MN是过点A的直线,AC=DC,DBMN于点B,如图(1)易证BD+AB=CB,过程如下: 过点C作CECB于点C,与MN交于点E ACB+BCD=90,ACB+ACE=90,BCD=ACE 四边形ACDB内角和为360,BDC+CAB=180 EAC+CAB=180,EAC=BDC 又AC=DC,ACEDCB,AE=DB,CE=CB,ECB为等腰直角三角形,BE=CB 又BE=AE+AB,BE=BD+AB,BD+AB=CB (1)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图(2)给予证明 (2)MN在绕点A旋转过程中,当BCD=30,BD=时,则CD=_,CB=_ -
限制150内